Laboratorny_praktikum_po_YaMR_Chernov_Butakov_2024

Добавил:

Pug_Chomp Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Челябинский Государственный Университет

Предмет:

Радиофизика

Файл:

N(2I 1)N .

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.03.2026

Размер:

2.06 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

3.Ядерный магнитный резонанс: учеб. пособие / П. М. Бородин [и др.] ; под ред. П. М. Бородина. — Ленинград : Изд-во Ленингр. ун-та, 1982. — 344 с.

4.Жен, П. де. Физика жидких кристаллов / П. де Жен. — Москва : Мир,

1977. — 400 с.

5. Чернов, В. М. Ядерная магнитная релаксация в лиотропном нематике пер-

фторнонаноат цезия — вода / В. М. Чернов // Радиоспектроскопия. Вып. 21. —

Пермь, 1993. — С. 102–113.

6. Веденов, А. А. Надмолекулярные жидкокристаллические структуры в рас-

творах амфифильных молекул / А. А. Веденов, Е. Б. Левченко // Успехи физ. наук.

1983. — Т. 141, вып. 1. — С. 3–53.

7. Сонин, А. С. Лиотропные нематики / А.С. Сонин // Успехи физ. наук. —

1987. — Т. 153, вып. 2. — С. 273–310.

8. Чандрасекар, С. Жидкие кристаллы / С. Чандрасекар. — Москва : Мир,

1980. — С. 166.

9. Адамчик, А. Жидкие кристаллы / А. Адамчик, З. Стругальский. —

Москва : Сов. радио, 1979. — 160 с.

10. Блинов, Л. М. Электро- и магнитооптика жидких кристаллов / Л. М. Бли-

нов. — Москва : Наука, 1978. — 384 с.

11. Жаркова, Г. М. Жидкокристаллические композиты / Г. М. Жаркова,

А. С. Сонин. — Новосибирск : Наука. 1994. — 214 с.

12. Каманина, Н. В. Электрооптические системы на основе жидких кристал-

лов и фуллеренов — перспективные материалы наноэлектроники. Свойства и об-

ласти применения : учеб. пособие / Н. В. Каманина. — Санкт-Петербург :

СПбУИТМО, 2008. — 137 с.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4

ВЫЧИСЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ЛИНИИ ЯДЕРНОГО МАГНИТНОГО РЕЗОНАНСА

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Ознакомление с теорией моментов линий ЯМР. Съемка спектра ЯМР образца твердого тела. Вычисление второго и четвёртого моментов из записанного спектра. Идентификация формы полученного спектра по рассчи-

танным моментам. Теоретический расчет второго момента и сравнение его со вто-

рым моментом, полученным из обработки экспериментального спектра.

ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ: спектрометр ЯМР широких линий, обра-

зец твердого полиметилметакрилата (ПММА).

ТЕОРИЯ

Втвердых телах при учёте диполь-дипольного взаимодействия в системе

сбольшим количеством ядер теоретический расчёт спектров ЯМР оказывается практически невозможным. Тем не менее некоторые параметры линии поглощения можно легко вычислить, используя теорию моментов Ван Флека.

Определим n-е моменты функции формы линии f() выражениями


	n			n f( )d				(1)
				0


				f( )d
		0
и
					n f( )d
					n f( )d
n			0				.	(2)
n							.	(2)

				f( )d
		0
Выражение (2) для n = 2 называется вторым моментом. Очевидно, момент								2
по порядку величины равен квадрату ширины линии, так что
		2 γH			лок	2 .		(3)
					лок

Определяемые выражениями (1) и (2) моменты тесно связаны друг с другом. Эту

связь в	случае n =	2 можно установить следующим		образом. Выписывая
2	2 2 2		и учитывая (1) и (2), получаем
			2 2 2 .	(4)
Очевидно, величину		2	можно рассчитывать либо непосредственно, либо вы-
ражать её через предварительно вычисленные значения 2				и . Мы воспользу-

емся последним способом.

В качестве иллюстрации общего метода расчета вычислим сначала интеграл


f( )d , пропорциональный площади, ограниченной кривой поглощения.							Затем
0
мы вычислим величины и	2 .
Функция f( ) определяется выражением
f		a	μx	b	2 δ Eа Eb	ω ,	(5)


	a,b

где x — оператор x-компоненты полного магнитного момента ядра, Ea и Eb —

собственные значения энергии многоспинового гамильтониана, а a и b — соот-

ветствующие им собственные функции. Поскольку функция f() является чётной функцией, то

	1		1		a					a δ Ea Eb d .
f( )d		f( )d				μˆx	b	b	μˆx		(6)
	2		2
0				a,b

Вследствие наличия -функции в подынтегральном выражении этот интеграл от-

личен от нуля только в том случае, когда Ea Eb . Но для любой пары состоя-

ний a и b имеется некоторое значение в области между и , которое удовлетворяет условию Ea Eb . Отметим, что при интегрировании от 0 до в интеграл не давали бы вклада состояния, для которых величина Ea Eb отрица-

тельна. По этой причине область интегрирования была распространена на всю

область изменения частоты от до . Заменяя переменную интегрирования на , получаем

f( )d

μˆx

b b

μˆx

a .

(7а)

2 a,b

Применяя основную теорему квантовой механики

ˆ ˆ

β ,

(7б)

справедливую для произвольных операторов A

и B и для любого полного набора

функций

β , находим

Spμˆ2x .

f( )d

μˆx

(8)

2 a

Другая важная теорема утверждает, что при замене полного набора ортого-

нальных функций β другим полным набором функций ξ (функции β могут быть представлены в виде линейных комбинаций функций ξ ) величина следа не меняется. Поэтому для вычисления следа можно пользоваться любым полным набором функций. Выберем в качестве такого набора произведения N собственных функций отдельных спинов, собственные квантовые числа которых равны m1, m2, … , mN. Тогда

	1				μˆ2x

f( )d				m1m2m3...		m1m2m3... .	(9)
f( )d				m1m2m3...		m1m2m3... .	(9)
0	2 m ,m		2	...
	2 m ,m			...
		1
Отсюда при учёте равенства μˆ x μˆ xj находим
		j
		μˆ 2x μˆ xjμˆ xk .					(10)
				j, k

В этом выражении содержатся члены двух типов с j k и с j = k. Рассмотрим сна-

чала члены первого типа. Положим j = 1, k = 2. Фиксируя значения m2, m3, m4, по-

лучаем

m1m2m3...

μˆ1xμˆ2x

m1m2... m1

μˆ1x

m1 m2

μˆ2x

m2 ,

(11)

или (после суммирования по m1)

μˆ1x

μˆ2x

m2 .

(12)

Но m1

μˆ1x

0 . В этом можно убедиться, если заметить, что функции

являются собственными функциями оператора

I1z , а диагональные матричные эле-

менты операторов ˆ1x и μˆ1x , вычисленные с этими волновыми функциями, равны ну-

лю. В противоположность такому выбору в качестве собственных значений m1 можно

было бы выбрать собственные значения операторов ˆ . Но тогда каждому значению

I1x

+m будет соответствовать точно такое же отрицательное значение, что даёт

m1	μˆ1x	m1	γ m1	ˆ	m1	0 .	(13)


				I1x
m1			m1

Таким образом, вклад от членов с j k будет равен нулю. Для членов с j = k, пола-

гая j = 1, находим

1							...	γ2 2				ˆ2		... . (14)
1					2			γ2 2				ˆ2
				m1m2...	μˆ1x	m1m2					m1m2...	I1x	m1m2
2 m ,m		2	...					2 m	,m	2	...
2 m ,m			...					2 m	,m		...
	1							1

Входящий в это выражение матричный элемент не зависит от m2, m3 и т. д. Поэтому сумма будет состоять из множества одинаковых слагаемых. Так как имеется (2I + 1)

квантовых чисел m2, (2I + 1) квантовых чисел m3 и т. д., то матрица, матричные эле-

менты которой зависят от m1, будет встречаться при суммировании (2I + 1)N-1 раз. С

другой стороны, учитывая, что символ Sp1 обозначает след по квантовым числам

спина 1, находим Sp μˆ2		Sp μˆ2 . Это равенство легко проверить непосредствен-
1	1x	1	1y
				ˆ	находим
ным вычислением. С помощью собственных функций оператора I1x					находим
				I
			Sp1μˆ1x2 γ2 2	m2 .	(15а)
			m I
			ˆ	, можно найти аналогично
Применяя собственные функции оператора I1y				, можно найти аналогично
				I
			Sp1μˆ1y2 γ2 2	m2 .	(15б)

m I

Следовательно,

Sp μˆ2		Sp μˆ2		Sp μˆ2		1	Spμˆ2 .	(15в)
Sp μˆ2		Sp μˆ2		Sp μˆ2			Spμˆ2 .	(15в)
1	1x	1	1y	1	1z	3	1
						3

Оператор μˆ12 имеет (2I + 1) диагональный матричный элемент, каждый из которых равен γ2 2I(I 1). Поэтому

Sp μˆ2		γ2 2I(I 1)	(2I	1) .
Sp μˆ2			(2I	1) .
1	1x	3
		3

Учитывая, что имеется N одинаковых членов с j = k, получаем

Вычислим теперь изменение средней частоты линии поглощения , обу-

словленное дипольным взаимодействием. Существование такого сдвига средней частоты предполагает, что создаваемые соседними магнитными моментами ло-

кальные магнитные поля направлены преимущественно параллельно приложенно-

му полю. Этот эффект связан с лоренцевым локальным полем H, которое должно быть равно по порядку величины nH0, где n — статическая магнитная восприим-

чивость ядер. Величину n можно определить по формуле Ланжевена — Дебая

χ n	Nγ2 2I(I 1)	,
	3kT

где N — число ядер в единице объёма. Если расстояние между ближайшими ядра-

ми равно а, то N 1/a3 . Следовательно,

ΔH	γ	γ H0	H	лок	γ H0	.

	a3 kT				kT

Этой величиной в большинстве случаев можно пренебречь, так как она очень мала по сравнению с шириной линии Hлок вследствие того, что зеемановская энергия яд-

ра γ H0 во много раз меньше величины kT. Физический смысл полученного вы-

ражения для ΔH состоит в том, что магнитные моменты соседних ядер, хотя и в слабой степени, но всё же ориентируются преимущественно параллельно посто-

янному полю, входящему в аргумент больцмановского множителя γ H0/kT . 66

Среднее значение Hлок отличается от нуля на величину γ H0/kT . Вычисленные с помощью равенства (5) величины H и должны равняться 0 и 0 соответствен-

но, поскольку (5) верно в случае бесконечно большой температуры.

Строгое вычисление средней частоты, или первого момента

		f( )d
	0		,
			,

	f( )d
0

представляет собой более сложную задачу, чем вычисление интеграла f( )d .

В (6) удобно было перейти к интегрированию от до . После такого изме-

нения пределов интегрирования каждой паре уровней энергии всегда можно было сопоставить такое значение частоты , чтобы равенство Ea Eb выполнялось как для положительных, так и для отрицательных значений Ea Eb . В выражении для величины такого преобразования сделать нельзя, так как


f()d 0	(17)
-

вследствие нечётности подынтегральной функции. Поэтому мы вынуждены вы-

числять f( )d :

f( )d

a δ Ea Eb d

μˆx

b b

μˆx

a,b 0

μˆx

a Ea Eb .

(18)

Ea Eb

Как было отмечено выше, энергии Ea и Eb равны суммам зеемановских и диполь-

ных вкладов γ H0M Ea . Предположим, что при приводящих к поглощению переходах изменение дипольной энергии всегда много меньше изменения

зеемановской энергии, соответствующего поглощению на частоте, равной пример-

но 0. Поскольку Ea > Eb, мы можем написать

Ea γ H0M E ,
Eb γ H0 (M 1) E	(19)

Ea Eb 0 Eα Eα

Спомощью этих соотношений перепишем равенство (18) в виде

	1	Mα		M 1 α M 1 α		Mα 0 Eα Eα .
f( )d			μˆx		μˆx

0	2 M,α,α

Рассмотрим сначала в этом выражении член, пропорциональный 0 :

0	Mα	μˆ x	M 1 α M 1 α	μˆ x	Mα .

2
	M, α,α

(20)

(21)

Это выражение можно было бы записать в виде следа, если бы не была фиксирова-

на величина M + 1. От этого ограничения можно избавиться, если воспользоваться свойствами повышающих и понижающих операторов и учесть равенство

μˆ

μˆ μˆ .

(22)

Тогда

M 1 α

μˆ

Mα

M 1

μˆ

Mα .

Поскольку оператор μˆ , связывающий состояния M и M, имеет отличные от нуля

матричные элементы M α

μˆ

Mα

только для переходов, при которых выполняет-

ся условие M M 1, выражение (21) можно записать в форме, где суммирование

проводится по всем значениям величины M :

μˆ

Sp μˆ μˆ 0

Sp μˆx iμˆ y μˆx iμˆ y

Mα

μˆ

M α

Mα

4 2

M, M

α,α

Sp μˆ2 μˆ2

i μˆ

μˆ

Spμˆ2 .

(23)

Здесь мы воспользовались равенствами Spμˆ2

Spμˆ2

Sp μˆ xμˆ y μˆ yμˆ x γ

(24)

Sp Ix Iy IyIx

iSpIz 0

До сих пор рассматривался только член в (20), пропорциональный 0 . Легко рас-

смотреть член этого равенства, пропорциональный E E . Известно, что

ˆ 0

Mα

Eα

H d

Mα . Поэтому для произвольного оператора P справедливо равенство

M α

ˆ ˆ 0

Mα

ˆ 0

Eα

M α

Mα .

(25)

PH d

uM α PH d uMαdτ uM α PEα uMαdτ

При учёте эрмитовости оператора H d далее находим

M α

0 ˆ

ˆ 0 ˆ

ˆ 0

H d P

Mα uM α H d PuMαdτ H d uM α

PuMαdτ

(26)

Eα

M α

Mα

Eα uM α PuMαdτ

Поэтому

Mα

μˆ

M α Mα

μˆ

M α Eα Eα

M, M

α,α

Mα

ˆ 0

,μˆ

M α M α

μˆ

ˆ 0

,μˆ

μˆ

(27)

H d

Mα Sp H d

M,M

α,α

Детальное вычисление следа в (27) показывает, что он равен нулю. Поэтому из

(20), (23) и (27) получаем

			0 Spμˆ 2x .
f()d			0 Spμˆ 2x .			(28)
0			2
0
Но, согласно (8),
			1	Spμˆ2x ,
f( )d			1
f( )d
0			2
0
поэтому

	f( )d
	0				0	(29)
					0	(29)
		f( )d
		0

Следовательно, среднее значение частоты не изменяется в присутствии дипольного взаимодействия.

Для вычисления упомянутой выше поправки, обусловленной локальным полем,

необходимо было бы вернуться к выражению (5) и включить в него экспоненциаль-

ный множитель, опущенный в (5). (Необходимость включения такого множителя вытекает из того, что выражение ΔH Hлок γ H0 /kT зависит от температуры,

а в выражение (5) температура входит только через экспоненциальный множитель.)

Второй момент 2 можно вычислить аналогичным образом:

2 f( )d

2	0		.	(30)
2			.	(30)

		f( )d
		0

В выражении (30) необходимо вычислить только числитель, так как знаменатель уже вычислен выше:

	2	1	2				1		2			ˆ			ˆ
	2	1	2				1		2			ˆ			ˆ
	f()d		f()d								a	μx	b	b	μx	a δ Ea Eb	d
	f()d	2	f()d				2										d
		2					2
0								a,b
				1						2		ˆ			ˆ
				1						2

					3 Ea Eb											a .	(31)
				2							a	μx	b	b	μx		(31)
											a	μx	b	b	μx
						a,b
						a,b

Так же, как это было сделано при выводе равенств (26) и (27), при учёте уравнения

a находим

2 .

2f()d

ˆ μˆ

μˆ

ˆ μˆ

μˆ

ˆ ,μˆ

(32)

a,b

ˆ 0

, далее получаем

Учитывая, что H H z

H d

ˆ 0

f( )d

3 Sp

. (33)

z ,μx

3 Sр

z ,μx

,μx

Здесь при преобразовании перекрёстных членов,

включающих операторы H z ,μˆ x

и ˆ

,μˆ

, было использовано справедливое для пары любых операторов A

и B

равенство

ˆ ˆ

(34)

Sp AB Sp(BA)

которое легко проверить при помощи (7б).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Радиофизика

#
23.03.2026508.47 Кб1lab1-1.docx
#
22.03.2026211.79 Кб1lab1.docx
#
23.03.2026192.93 Кб1lab2-1.docx
#
22.03.2026192.28 Кб1lab2.docx
#
22.03.20262.06 Mб1Laboratorny_praktikum_po_YaMR_Chernov_Butakov_2024.pdf
#
23.03.202684.43 Кб0Lab_1-1.xlsx
#
22.03.202683.91 Кб0Lab_1.xlsx
#
23.03.202667.81 Кб0Lab_2-1.xlsx
#
22.03.202667.81 Кб0Lab_2.xlsx