ЛР4 Бронников Корнилов

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)

Кафедра ТОР

отчет

по лабораторной работе №4

по дисциплине «Цифровая обработка сигналов»

Тема: ПРОЕКТИРОВАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ ФИЛЬТРОВ

Вариант 29

Студенты гр. 0182		Корнилов А.М. Бронников Д.Д.
Преподаватель		Апалина П.В.

Санкт-Петербург

2023

Цели работы: Синтез дискретного ФНЧ, удовлетворяющего заданным требованиям, путем использования нескольких алгоритмов:

• билинейного преобразования и четырех стандартных аналоговых прототипов;

• синтеза с использованием оконных функций;

• минимаксного синтеза;

• минимизации среднеквадратической ошибки.

Задание:

Таблица 1. Коэффициенты функции передачи

Fд, кГц	Fpass, кГц	Fstop, кГц	Apass, Дб	Astop, Дб
3	0,75	0,78	0,5	40

Пояснение к заданию:

Fд — частота дискретизации;

Fpass — граница полосы пропускания;

Fstop — граница полосы задерживания;

Apass — допустимая неравномерность АЧХ в полосе пропускания;

Astop — требуемое подавление сигнала в полосе задерживания.

Рис. 1 – Параметры, требуемые для синтеза ФНЧ

Обработка результатов эксперимента

1. Метод билинейного преобразования

1. 1. Фильтр Баттерворта

Рис. 2 – АЧХ (синяя) и ФЧХ (оранжевая) фильтра Баттерворта

Рис. 3 – График групповой задержки фильтра Баттерворта

Рис. 4 – График импульсной характеристики фильтра Баттерворта

Рис. 5 – Расположение нулей и полюсов фильтра Баттерворта

1. 2. Фильтр Чебышева 1-го рода

Рис. 6 – АЧХ (синяя) и ФЧХ (оранжевая) фильтра Чебышева 1-го рода

Рис. 7 – График групповой задержки фильтра Чебышева 1-го рода

Рис. 8 – График импульсной характеристики фильтра Чебышева 1-го рода

Рис. 9 – Расположение нулей и полюсов фильтра Чебышева 1-го рода

1. 3. Фильтр Чебышева 2го рода

Рис. 10 – АЧХ (синяя) и ФЧХ (оранжевая) фильтра Чебышева 2-го рода

Рис. 11 – График групповой задержки фильтра Чебышева 2-го рода

Рис. 12 – График импульсной характеристики фильтра Чебышева 2-го рода

Рис. 13 – Расположение нулей и полюсов фильтра Чебышева 2-го рода

1. 4. Эллиптический фильтр

Рис. 14 – АЧХ (синяя) и ФЧХ (оранжевая) эллиптического фильтра

Рис. 15 – График групповой задержки эллиптического фильтра

Рис. 16 – График импульсной характеристики эллиптического фильтра

Рис. 17 – График импульсной характеристики эллиптического фильтра

Таблица 2. Результаты измерения параметров фильтров

Тип фильтра	Порядок фильтра	Fpass, кГц	Fstop, кГц	τmin, отсчёты	τmax, отсчёты
Баттерворта	90	0,75	0,78	28,3	153,15
Чебышева 1го рода	18	0,75	0,779	7,93	139,4
Чебышева 2го рода	18	0,751	0,78	1,61	41,55
Эллиптический	7	0,75	0,7783	1,713	69,77

τ – величина групповой задержки в полосе пропускания фильтра;

Fpass, Fstop – реальные границы переходной зоны получившегося фильтра

2. Синтез цифрового нерекурсивного фильтра с помощью методов:

оконный, минимаксный, среднеквадратичный

2. 1. Синтез с использованием окон

Рис. 18 – АЧХ синтезированного оконным методом фильтра

Рис. 19 – Импульсная характеристика синтезированного оконным методом фильтра

Рис. 20 - Расположение нулей и полюсов синтезированного оконным методом фильтра

2. 2. Синтез минимаксному критерию

Рис. 21 – АЧХ синтезированного по минимаксному критерию фильтра

Рис. 22 – Импульсная характеристика синтезированного по минимаксному критерию фильтра

Рис. 23 – Расположение нулей и полюсов синтезированного по минимаксному критерию фильтра

Рис. 24 – Расположение нулей и полюсов синтезированного по минимаксному критерию фильтра в другом масштабе

2. 3. Синтез путем минимизации среднеквадратической ошибки

Рис. 25 – АЧХ синтезированного путем минимизации среднеквадратической ошибки фильтра

Рис. 26 – Импульсная характеристика синтезированного путем минимизации среднеквадратической ошибки фильтра

Рис. 27 – Расположение нулей и полюсов синтезированного путем минимизации среднеквадратической ошибки фильтра

Таблица 3. Результаты измерений параметров фильтров, синтезированных разными методами

Тип фильтра	Порядок фильтра	Kp min, Дб	Kp max, Дб	Kstop max, Дб	Wstop
Оконный	224	-0,26	0,087	-40,4	—
Минимаксный	163	-0,26	0,255	-39,736	3
Среднеквадратичный	163	-1,81	0,475	-40	400

Wstop – весовой коэффициент для полосы задерживания

Kp min, Kp max – минимальный и максимальный коэффициенты передачи фильтра в полосе пропускания

Теоретический расчёт

Вывод формулы и построение графика импульсной характеристики идеального дискретного ФНЧ с частотой среза, равной Fpass = 0,75 кГц:

Рис. 28 – АЧХ идеализированного ФНЧ

Связь дискретной импульсной характеристики с её аналоговым прототипом:

Таким образом, получившаяся импульсная характеристика идеального дискретного ФНЧ:

Рис. 29 – График ИХ дискретного ФНЧ

Вывод

В работе был исследован синтез дискретного ФНЧ путем билинейного преобразования (метод синтеза с использованием аналогового прототипа), с помощью оптимальных (в которых численными итерационными методами ищется минимум заданной функции качества) и субоптимального метода.

Для метода билинейного преобразования все типы фильтров удовлетворяют заданию, однако в полосе задерживания фильтры Баттерворта и Чебышева 1-ого обладают не настолько крутой характеристикой, как остальные два. Порядок фильтра наименьший для эллиптического фильтра, что в совокупности с выполнением им ТЗ делает его простейшим среди рассмотренных вариантом для реализации. Фильтры Баттерворта и Чебышева 1-ого имеет более близкую к линейной ФЧХ чем остальные два, то есть их групповая задержка должна была быть меньше и близкой к константе. Однако из-за того, что ФЧХ у эллиптического и Чебышева 2 рода изменяется в значительно меньших пределах, их групповая задержка имеет не такой большой скачок в переходе.

Для фильтров, синтезированных путем минимизации среднеквадратической ошибки, оконный метод обладает наименьшим разбросом коэффициента передачи в полосе пропускания, среднеквадратичный же обладает неприемлемо большим (больше 2 дБ). Однако оконный фильтр обладает большим порядком, чем другие.