МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)

Кафедра ТОР

отчет

по лабораторной работе №2

по дисциплине «Цифровая обработка сигналов»

Тема: ДИСКРЕТНЫЕ ФИЛЬТРЫ

Вариант 29

Студенты гр. 0182		Корнилов А.М. Бронников Д.Д.
Преподаватель		Апалина П.В.

Санкт-Петербург

2023

Цели работы

• Пропускание дискретного сигнала через дискретный фильтр и получение графика выходного сигнала.

• Анализ сигналов, проходящих через элементы памяти фильтра, при реализации фильтра в разных формах.

• Получение графиков характеристик фильтра с помощью среды визуализации фильтров FVTool.

• Разложение функции передачи фильтра на простые дроби и получение аналитической формулы для импульсной характеристики фильтра.

1. Пропускание сигнала через дискретный фильтр

Дискретный рекурсивный фильтр 4-го порядка имеет функцию передачи:

clear all;

close all;

clc

u1 = 10; u2 = 5; u3 = 3; u4 = 6;T1 = 3; T2 = 9; F_d = 3;

B0 = 0.0183; B1 = -0.0093; B2 = 0.0257; B3 = -0.0093; B4 = 0.0183;

A0 = 1; A1 = -2.6566; A2 = 2.8076; A3 = -1.3629; A4 = 0.2555;

t1 = 0:1/F_d:T1;t2 = T1+1/F_d:1/F_d:T2;

t = [t1 t2];

a1 = (u2 - u1)/T1;

a2 = (u4 - u3)/(T2 - T1);b1 = u1;

b2 = u4 - a2 * T2;

s1 = a1 * t1 + b1;s2 = a2 * t2 + b2;

s = [s1, s2];

stem (s);xlabel('N, numbers');

ylabel('U, V');

grid on;

% Прямая

s0 = [s, zeros(1, length(s))];

b_s = [B0 B1 B2 B3 B4];

a_s = [1 A1 A2 A3 A4];

y = filter(b_s, a_s, s0);

figure;

stem (y);xlabel('N, numbers');

ylabel('U, V');grid on;

Рис. 1 — Сформированный дискретный сигнал

Рис. 2 — Сигнал после прохождения фильтра прямой реализации

2. Анализ прямой формы реализации дискретного фильтра

При использовании прямой формы реализации дискретного фильтра в элементах памяти (элементах задержки) хранятся непосредственно отсчеты входного и выходного сигналов, поэтому все необходимые для анализа этой формы сигналы уже были получены при выполнении предыдущего пункта работы. Определим и сохраним в рабочее пространство максимальное по модулю значение сигналов, хранящихся в элементах памяти при работе фильтра:

input_max = max(abs(s));

straight_max = max(abs(y));

x_max = max(input_max, straight_max);

3. Анализ канонической формы реализации дискретного фильтра

Аналогичные процедуры, которые проводились для прямой реализации фильтра, целесообразно повторить для канонической реализации с функцией передачи:

b_k = [1];

a_k = [1 A1 A2 A3 A4]

y = filter(b_k, a_k, s0);

figure;

stem (y);xlabel('N, numbers');

ylabel('U, V');grid on;

canon_max = max(abs(y1));

x_max = max(x_max, canon_max);

Рис. 3 — Сигнал после прохождения фильтра канонической реализации

4. Анализ транспонированной формы реализации дискретного фильтра

% Транспонированная

states = []; % заготовка матрицы внутренних состояний

q = []; % текущее состояние фильтра

for k = 1:length(s0)

% обработка одного отсчета с заданием и сохранением

% внутреннего состояния фильтра

[y(k), q] = filter(b_s, a_s, s0(k), q);

states = [states q]; % добавление нового столбца к матрице состояний

end

figure;

plot(states');xlabel('N, numbers');

ylabel('U, V');grid on;

legend('Элемент 1','Элемент 2','Элемент 3','Элемент 4','Location','southeast');

A_max = max(max(abs(states)));

x_max = max(x_max, A_max);

Рис. 4 — Сигнал после прохождения фильтра транспонированной реализации

Сравним максимальные по модулю значения сигналов, хранящихся в элементах памяти при работе различных фильтров:

Форма реализации фильтра	Максимальное по модулю внутреннее состояние
Входной сигнал	10
Прямая	8.8072
Каноническая	4,0668
Транспонированная	14,9639

5. Получение графиков характеристик фильтра

Выбор просматриваемых характеристик и управление параметрами анализа производятся с помощью средств графического интерфейса окна, открывающегося после вызова функции fvtool(b_s, a_s).

Рис. 5 — АЧХ и ФЧХ фильтра

Рис. 6 — Групповая задержка

Рис. 7 — импульсная характеристика

Рис. 8 — расположение нулей и полюсов функции передачи на комплексной плоскости

6. Получение аналитической формулы для импульсной характеристики фильтра

[r, p, k] = residuez(b_s, a_s);

ampl_r = abs(r);

faz_r = angle(r);

ampl_p = abs(p);

faz_p = angle(p);

	Модуль	Фаза, рад
	Вычеты
r1	0,21	2,73
r2	0,21	-2,73
r3	0,67	-1,33
r4	0,67	1,33
	Полюсы
p1	0,85	0,48
p2	0,85	-0,48
p3	0,6	0,26
p4	0,6	-0,26
	Целая часть
k	0.072

Представление дробно-рациональной функции передачи в виде суммы простых дробей при отсутствии кратных корней у знаменателя может быть записано следующим образом:

В результате импульсная характеристика системы с функцией передачи принимает следующий вид:

Для фильтра, исследуемого в работе:

Пара комплексно-сопряженных полюсов дает пару слагаемых импульсной характеристики в виде комплексно-сопряженных экспонент. Сумма таких слагаемых представляет собой вещественную синусоиду с экспоненциально меняющейся амплитудой:

Для фильтра, исследуемого в работе:

Вывод

В ходе выполнения данной лабораторной работы были изучены основные принципы анализа дискретных фильтров, их свойства (АЧХ, ФЧХ, ИХ, полюсы, нули и т.д.), способы их расчёта и построения на практике в среде MatLab.