Задание 5.

Модулированный сигнал поступает на вход приемного устройства в сумме с аддитивным нормальным белым шумом со спектральной плотностью энергии

G₀ = (m + n + 1)*10^–6 = (1 + 2 + 1)*10^–6 = 4*10^–6 В²/Гц.

Рассчитайте функцию корреляции белого шума на выходе идеального полосового фильтра с полосой пропускания, соответствующей ширине спектра и несущей сигнала АМ, определенной в п.2. Запишите выражение для функции плотности вероятности (ФПВ) шума на выходе идеального полосового фильтра, определите дисперсию шума и постройте график ФПВ. Рассчитайте вероятность того, что значения шума превысят 0 В,  В и 1 В.

Решение.

Энергетический спектр шума на выходе идеального полосового фильтра:

G_вых() = G₀K₀² при ₀ –  <  < ₀ + 

Функция корреляции выходного шума:

Дисперсия шума на выходе фильтра (примем K₀ = 1):

² = B(0) = 2G₀K₀² /  = 4G₀F = 4*4*10^–6 *4000 = 0,064 В²

Процесс на выходе фильтра является нормальным со средним значением, равным нулю, и с дисперсией ². Тогда можно записать ФПВ шума на выходе фильтра:

Подставим численные значения:

В^-1.

Рис. 8. Функция плотности вероятности (ФПВ) шума на выходе идеального полосового фильтра.

Вероятность того, что значение шумового напряжения превысит уровень U₀, определяется интегралом от ФПВ шума:

, где Ф() – функция Лапласа.

Рассчитаем вероятность того, что значения шума превысит:

1) 0 В. Поскольку Ф(0) = 0,5, то P(u>0) = 0,5. Этот результат понятен, поскольку шум – нормальный процесс с нулевым средним;

2)  В. Положим U₀ = ; U₀/ = 1; Ф(1) = 0,841; P(u>) = 0,159;

3) 1 В. P(u>1В) = 1 – Ф(1 / ) = 3,86*10^–5.

Задание 6.

Модулированные сигналы АМ и ЧМ поступают на вход соответственно амплитудного детектора и частотного детектора. Начертите принципиальные схемы амплитудного диодного детектора и частотного детектора на расстроенных контурах. Поясните принципы работы амплитудного и частотного детекторов.

Рассчитайте спектр тока через диод для АМ детектора (этот расчет справедлив для каждого из диодов частотного детектора). ВАХ диода аппроксимирована отрезками прямых:

i = 0 при u < 0

i = Su при u > 0, S = (m + 5) = 1 + 5 = 6 мА/В.

Сопротивление нагрузки детектора R = (m + 10) = 1 + 10 = 11 кОм.

Параметры входного АМ сигнала из п. 2:

u_ам(t) = 3*(1 + 0,609 cos (2,51310⁴ t)) cos (1,26910⁶ t) В

Рассчитайте спектр напряжения на выходе RC-фильтра детектора, выбрав постоянную времени RC-фильтра нижних частот так, чтобы амплитуда несущей составляла не более 0,1 от амплитуды полезного сигнала. Рассчитайте значение емкости RC-фильтра.

Постройте графики спектров тока и напряжения на выходе детектора, на которых укажите значения амплитуд и частот гармоник спектров.

Решение.

Рис. 9. Принципиальная схема амплитудного диодного детектора.

Принцип работы амплитудного диодного детектора аналогичен принципу работы обычного однополупериодного выпрямителя. В течение времени, когда разность потенциалов между точками 1 и 2 (рис. 9) выше, чем напряжение на конденсаторе, через диод протекает ток, заряжающий конденсатор. В течение остального времени ток через диод не протекает, и конденсатор разряжается в цепь нагрузки. Если выбрать постоянную времени RC-цепочки таким образом, что

1/₀ << RC << 1/,

то напряжение на конденсаторе будет успевать отслеживать изменение модулирующего сигнала и сглаживать высокочастотные колебания.

Рис. 10. Принципиальная схема частотного детектора на расстроенных контурах.

Работа частотного детектора основана на том, что если резонансная частота контура отличается от средней частоты модулированного колебания, то изменение амплитуды напряжения на контуре повторяет (в некоторых пределах) изменение частоты входного напряжения. В схеме детектора на двух расстроенных контурах (рис. 10) выходное напряжение есть разность двух выпрямленных напряжений U₀₁ и U₀₂, создаваемых на сопротивлениях R₁ и R₂ транзисторами T₁ и T₂.

При частоте входного сигнала ₀ напряжения на R₁ и R₂ одинаковы. При увеличении частоты на  амплитуда напряжения на контуре, настроенном на более высокую частоту, возрастает, следовательно, возрастает и напряжение на R₁ (и соответственно, убывает на R₂). Разность этих напряжений и дает НЧ сигнал, при малых отклонениях частоты от ₀ приблизительно пропорциональный .

Представим ток через диод в виде ряда Фурье:

i = I₀ + I₁ cos ₀t + I₂ cos 2₀t + I₃ cos 3₀t+ I₄ 4cos ₀t +…

Рассчитываем амплитуды гармоник тока:

I_k = S U₀ (1 + M_а cos t) _k()

Определим  из соотношения: tg (SR)

SR = 6 мА/В * 11 кОм = 66

tg (SR) = 66, откуда  = 0,5043 рад = 28,9

₀() = 0,0133, ₁() = 0,0259.

Требуется выполнить расчет только для частот: 0, , ₀–, ₀, ₀+.

u_ам(t) = 3*(1 + 0,609 cos (2,51310⁴ t)) cos (1,26910⁶ t) В

I₀ = S U₀ ₀() (1 + M_а cos t) = 0,239 (1 + 0,609 cos (2,51310⁴ t)) мА

I₁ = S U₀ ₁() (1 + M_а cos t) = 0,466 (1 + 0,609 cos (2,51310⁴ t)) мА

Достаточно рассчитать две гармоники, так как остальные гармоники дадут частоты выше ₀+.

Воспользуемся формулой:

cos  * cos  = 0,5*(cos(+)+cos(–))

Тогда искомые гармонические составляющие тока можно записать в виде:

I = 0,239 + 0,145 cos t + 0,466 cos ₀t + 0,142 cos (₀–)t + 0,142 cos (₀+)t

Выберем постоянную RC-фильтра таким образом, что

1/₀ << RC << 1/

1/₀ = 7,88*10^–7 с

1/ = 3,98*10^–5 с.

Пусть RC = 3,3*10^–5 с (R = 11 кОм, C = 3 нФ).

Амплитуда напряжения на выходе RC-фильтра равна:

Результаты расчетов запишем в виде таблицы:

Таблица 4. Спектр напряжения и тока на выходе RC-фильтра.

	0		0–	0	0+
, рад/с	0	2,513104	1,244106	1,269106	1,294106
I, мА	0,239	0,145	0,142	0,466	0,142
U, В	2,626	1,231	0,038	0,122	0,036

Рис. 11. Спектр тока на выходе RC-фильтра.

Рис. 12. Спектр напряжения на выходе RC-фильтра.