12ОТЭМПиВ — копия

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

Московский технический университет связи и информатики

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ И ВОЛН

Выполнил:

Группа:

Вариант: 12

Москва 2025

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по курсу

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ И ВОЛНЫ

Задача.

В полупространстве x≥0, ограниченном снизу идеально-проводящей плоскостью x=0 (рис. 1), распространяется гармоническая электромагнитная волна. О векторах поля известно:

(1)

Известные параметры среды и поля волны:

частота f = 600 МГц, амплитуда E₀ = 35 В/м, относительная диэлектрическая проницаемость ε_r = 2,5, относительная магнитная проницаемость μ_r = 1, /k = 0,4, проводимость проводника (для вопроса 9) σ_пр = 45 МСм/м.

Рис. 1. Полупространство и оси координат.

Требуется:

1) определить неизвестные проекции либо сами векторы заданного поля волны и охарактеризовать тип волны;

2) проверить выполнение граничных условий на поверхности x=0;

3) записать выражения для мгновенных значений всех проекций поля волны;

4)записать выражения для мгновенного, комплексного и среднего за период значений вектора Пойнтинга;

5) определить комплексную амплитуду плотности тока, протекающего по поверхности x=0;

6) рассчитать фазовый коэффициент волны;

7) построить частотную зависимость фазовой скорости волны от частоты, т.е.

8) построить зависимости ненулевых мгновенных значений проекции поля волны от координаты xв сечении z = Λ/8 для момента времени t = T/4, где T – период высокой частоты;

9) определить потери мощности волны, приходящиеся на единичную площадку ΔS (x=0), если в качестве поверхности Sиспользовать реальный проводник с удельной проводимостью σ_пр.

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРОВ ПОЛЯ

Воспользуемся уравнениями Максвелла

Нам известно, что волна гармоническая, т.е. зависимость от времени выражается в комплексной форме множителем e^iωt, тогда операция сводится к умножению на iω;

заданы диэлектрическая и магнитная проницаемость среды, поэтому можно записать: , .

сторонние токи отсутствуют, .

Запишем оператор ротора в виде матрицы и учтем, что , , также, согласно рекомендациям, для упрощения положим =0:

1) ,

Если предположить, что компоненты полей взаимосвязаны, и зависимость от z должна быть одинаковой, , то получим:

, откуда следует, что , тогда и

2)

(2)

3)

(3)

Подставляя (2) в (3), получаем:

В п.6 будет показано, что .

Таким образом, получили:

(4)

Остальные проекции равны нулю: , , . Мы получили, что вектор перпендикулярен плоскости падения xOz. Это волна E-типа (TM-волна).

2. ПРОВЕРКА ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ

Граничные условия на металлической поверхности S (x=0): E_ = 0 (касательная к границе проекция), т.е E_y = 0 и E_z = 0 и H_n = 0 (нормальная к границе проекция), т.е. H_x = 0.

и - мы установили в п.1.

Граничные условия выполняются.

3. ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ МГНОВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ

Учтем, что согласно методу комплексных амплитуд, , тогда из (4):

(5)

H_x = 0, H_z = 0, E_y = 0.

4. ВЕКТОР ПОЙНТИНГА

Мгновенное значение вектора Пойнтинга:

Комплексное значение вектора Пойнтинга:

Среднее (по времени) значение вектора Пойнтинга:

.

5. ПЛОТНОСТЬ ПОВЕРХНОСТНОГО ТОКА

Плотность поверхностных токов рассчитывается по соотношению:

,

6. КОЭФФИЦИЕНТ ФАЗЫ

Воспользуемся волновым уравнением для :

Положим – волновое число.

Проектируем на ось Oy, учтем, что зависимости от y нет:

Получили связь между волновыми числами:

В условии задано, что /k = 0,4, тогда

Найдем численные значения:

,869 м

= 0,4_*k = 0,4 _* 19,869 = 7,95 м

β = 0,916_*k = 0,917 _* 19,869 = 18,21 м

0,366984 А/м = 366,98 мА/м

80,20 В/м

35 В/м

366,98 мА/м

7. ПОСТРОИТЬ ЧАСТОТНУЮ ЗАВИСИМОСТЬ ФАЗОВОЙ СКОРОСТИ ВОЛНЫ ОТ ЧАСТОТЫ, т.е.

Критическая частота:

2,40 10⁸ Гц = 240 МГц

Фазовая скорость волны:

,

где f подставляем в МГц.

Рис. 2. Зависимость фазовой скорости волны от частоты.

Фазовая скорость волны:

м/с

Скорость волны в среде с параметрами ε_r, μ_r (см. п. 2):

м/с

Скорость распространения энергии:

м/с.

Длина волны:

,35 м

8. ЗАВИСИМОСТИ ПРОЕКЦИЙ ПОЛЕЙ ОТ КООРДИНАТ

В сечении z = Λ/8 для момента времени t = T/4:

ωt – βz = ωT/4 – βΛ/8 = π/2 –π/4 = π/4.

Рис. 3. Зависимость проекций магнитного поля H_y и электрического поля E_x и E_z от координаты x.

λ_x = 0,79 м – длина «стоячей» волны

9. ПОТЕРИ МОЩНОСТИ

Для определения потерь мощности волны воспользуемся формулой:

Найдем средний (по площади) квадрат амплитуды касательной проекции вектора напряженности магнитного поля:

ΔS = 1 м², тогда

= 2,44·10^–4 Вт/м².