Praktika_4

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)

Кафедра РС

отчет

по лабораторной работе №4

по дисциплине «Основы построения инфокоммуникационных систем»

Тема:

Студент гр. 0182		Матросов Р.М.
Преподаватель		Маркелов О.А.

Санкт-Петербург

2023

Цель работы:

1. Получение информационных символов, представив номер фамилии в списке группы, 4-х разрядным двоичным позиционным кодом.

2. Для этих информационных символов получить кодовое слово тремя способами.

Теоретические сведения

Кодом называется множество кодовых слов – последовательностей символов, которым соответствуют определенные сообщения источника информации. Если это множество является линейным подпространством, то код называется линейным. Код предназначен для обнаружения и исправления ошибок, возникающих из-за помех в канале связи.

Для простоты ограничимся рассмотрением систематических линейных кодов, у которых кодовые слова имеют вид: , где – информационные символы (биты), – проверочные (избыточные, контрольные).

Число k это размерность кода как линейного подпространства или число информационных символов.

Число n– длина кода, или число символов в кодовом слове, или размерность линейного пространства, в котором расположен код.

Эти числа входят в обозначение кода ( . Они определяют количество избыточных символов и скорость кода .

Параметром, определяющим помехоустойчивость кода, служит его кодовое расстояние. Кодовым расстоянием кода называется минимальное расстояние Хэмминга между любой парой несовпадающих кодовых слов

.

Расстояние Хэмминга есть число позиций, в которых один вектор отличается от другого. Чем больше кодовое расстояние, тем выше помехоустойчивость кода. Иногда в таблицах хороших линейных кодов кодовое расстояние включают в обозначение кода

На практике помехоустойчивость кода оценивается числами и . Эти числа показывают, что код способен обнаружить все ошибки, кратность которых , или исправить все ошибки кратности . Кратность ошибки — это число искаженных символов в принятой комбинации.

Например, при код способен исправить все однократные ошибки (их n штук), все двукратные (их штук) и все трехкратных, где ( ) – число сочетаний из n по3.

Между этими числами и кодовым расстоянием существует связь:

, если решается только задача обнаружения ошибок,

, если код используется только для исправления ошибок,

причем , если ошибки малой кратности исправляются, а более высокой обнаруживаются.

Способы задания линейного кода

Способы задания линейного кода определяют структуру кодера, который для систематических кодов должен по известным информационным битам найти проверочные и сформировать кодовое слово .

Способы задания линейного кода есть способы задания линейного подпространства размерности k в пространстве размерности n.

Вектор, принадлежащий подпространству, имеет только k независимых координат, а остальные зависимы от них. Поэтому каждый проверочный бит b_i есть линейная комбинация некоторых, вполне определенных информационных, например b_i = a₁ + a₃ + a₆. Благодаря свойствам сложения по модулю 2 последовательность a₁, a₃, a₆, b_i содержит четное число 1. Поэтому b_i часто называют битами контроля четности. Для задания кода такие соотношения должны быть определены для всех контрольных бит.

Любое подпространство (код) может быть задано с помощью базиса, содержащего k линейно независимых векторов (кодовых слов). Если кодовые слова выписать в столбик, то получим матрицу размерности

.

Для сообщения источника в виде вектора слово линейного кода может быть получено по формуле

.

Кодовое слово представляет собой произведение информационного вектора на матрицу , которую по этой причине называют порождающей матрицей линейного кода.

С каждым линейным подпространством связана матрица H, содержащая n столбцов и строк и проектирующая любое кодовое слово на перпендикуляр к этому подпространству. Поэтому для любого кодового слова справедливо

,

где нулевой вектор содержит разрядов, а индекс T означает транспонирование матрицы, чтобы матричное произведение было выполнимо.

Это свойство использует декодер для проверки: принадлежит ли наблюдаемый на выходе канала сигнал коду или нет. Поэтому матрица H называется проверочной.

Таким образом, линейный код может быть задан как порождающей и проверочной матрицами, так и соотношениями, устанавливающими связь между проверочными и информационными символами кодовых слов.

Способы задания кода (7,4)

В таблицах хороших циклических кодов указано, что код (7,4) образуется с помощью порождающего многочлена . При этом достигается кодовое расстояние , и корректирующая способность оценивается числами .

Кодовое слово систематического, разделимого кода содержит 4 информационных символов и 3 проверочных .

Число кодовых слов , а число последовательностей на выходе канала .

Порождающая матрица может быть записана в виде:

.

Проверочные биты слов в каждой строке матрицы могут быть получены с помощью алгоритма кодирования информационных символов этой строки.

Связь проверочных символов с информационными задается уравнениями:

,

,

.

Проверочная матрица кода (7,4) имеет вид:

.

Проверить, что для любого кодового слова

.

Кодирование циклическим кодом (7,4)

1. Получилм информационные символы, представив выданный вариант «17» в четырехразрядном двоичном виде

17₁₀ =1₁₀ = 0001₂

A = а₁а₂а₃а₄ = 0001₂

Получим кодовое слово тремя способами:

1. Порождающая матрица:

,

2. Связь проверочных символов с информационными задается уравнениями

b₁= а₁ ⊕ а₂ ⊕ а₃ = 0 ⊕ 0 ⊕ 0 = 0

b₂ = а₄ ⊕ а₂ ⊕ а₃ = 1 ⊕ 0 ⊕ 0 = 1

b₃ = а₁ ⊕ а₂ ⊕ а₄ = 0 ⊕ 0 ⊕ 1 = 1

C = а₁, а₂, а₃, а₄, b₁, b₂, b₃, = 0001011

3. Алгоритм кодирования циклическим систематическим кодом

А(х) = х² ⊕ х¹ ⊕ х⁰ = х² ⊕ х ⊕ 1

Произведем сдвиг информационных символов. А(х) сдвигается влево на n – k разрядов: A(x) · x^n-k

x^n-k = x^7-4 = x³

А(х) · x³ = х⁵ ⊕ х⁴ ⊕ х³

B(x) = A(x) · x^n-k mod g(x), где g(x) = х³ ⊕ х¹ ⊕ 1

С(х) = A(x) · x^n-k ⊕ B(x)

С(х) = х⁵ ⊕ х⁴ ⊕ х³ ⊕ х¹ = 0001001₂

Проверим, что для любого кодового слова CH^T = 0

,

2. Моделирование работы кодера

Рис.1 – Модель кодера

Рис.2 – Работа кодера при подаче на вход сигнала (0001)

3. Декодер циклического кода (7,4)

Рис.3 – Структурная схема модели декодера

Работа декодера при одной ошибке:

Ошибка задаётся многочленом xⁱ, где находится из сравнения

i = (# + L) mod7

# = 17, L = 5

i = 22 mod 7 = 1 => Ошибка задаётся многочленом x¹

Рис.4 – Работа декодера при подаче на вход сигнала (0001011) и вектора ошибок (0000010)

Декодер регистрирует и исправляет ошибку

С = (0001011) – отправленное сообщение

Y = (0001001) – принятое сообщение

e = (0000010) – вектор ошибки

v = (0001011) – исправлена одна ошибка

Работа декодера при двух ошибках:

Ошибка задаётся многочленом xⁱ(1 + x^F), где находится из сравнения

i = (# + L) mod7. F – удовлетворяет неравенству i + F < 7

i = 1, F = 3 => Ошибка задаётся многочленом x⁴ + x¹

Рис.5 – Работа декодера при подаче на вход сигнала (0001011) и вектора ошибок (0010010)

Декодер регистрирует и исправляет ошибку, но в неправильном месте

С = (0001011) – отправленное сообщение

e = (0000100) – вектор ошибки

u = (0011101) – ошибки не исправлены, добавлена одна новая ошибка

Работа декодера при трёх ошибках:

Рис.6 - Работа декодера при подаче на вход сигнала (0001011) и вектора ошибок (0101010)

Декодер регистрирует и исправляет ошибку, но в неправильном месте

С = (0001011) – отправленное сообщение

Y = (0100001) – принятое сообщение

e = (0010000) – вектор ошибки

u = (0110001) – ошибки не исправлены, добавлена одна новая ошибка

Рис.7 – Работа декодера при подаче на вход сигнала (0001011) и вектора ошибок (0110001)

Декодер не регистрирует и не исправляет ошибку

С = (0001011) – отправленное сообщение

Y = (0111010) – принятое сообщение

e = (0000000) – вектор ошибки

u = (0111010) – ошибки не исправлены

Рис.8 – Работа декодера при подаче на вход сигнала (0001011) и вектора ошибок (1100010)

Декодер не регистрирует и не исправляет ошибку

С = (0001011) – отправленное сообщение

Y = (1101001) – принятое сообщение

e = (0000000) – вектор ошибки

u = (1101001) – ошибки не исправлены

Вывод

В ходе лабораторной работы были получены информационные символы кодового слова, используя свой порядковый номер в списке группы. На основании информационных символов были получены проверочные символы, используя 3 разных способа. Во всех трёх случаях кодовые слова совпали, а равенство С· Н^Т выполнилось.

Далее было проведено моделирование декодера в 4 различных случаях его работы: без ошибок, с однократной, двухкратной, трёхкратной и такой трёхкратной, что декодер не выдаёт сообщение об ошибке. В случае отсутствия ошибки декодер работает стабильно. При наличии однократной ошибки он её обнаруживает и исправляет, получая в итоге верное сообщение. При наличии двухкратной ошибки декодер обнаруживает её, но неправильно исправляет принятое сообщение. При наличии трёхкратной ошибки и при ненулевом синдроме декодер работает как в случае с двухкратной ошибкой. При наличии трехкратной ошибки с нулевым синдромом декодер не обнаруживает ошибку и не исправляет ее.