Контрольные вопросы по курсу ртЦиС (часть I)

1. Запишите формулы представления сигнала в виде ряда Фурье в вещественной и комплексной формах. Что такое амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала?

Ответ: Вещественный ряд Фурье

Амплитудный спектр – совокупность и коэффициентов A_k периодического сигнала

Фазовый спектр – совокупность периодического сигнала

Представление сигнала в виде ряда Фурье в комплексной форме:

Пусть и есть «отрицательный частоты» , тогда , введя обозначение получим

Амплитудный спектр периодического сигнала – совокупность коэффициентов

Фазовый спектр периодического сигнала – совокупность коэффициентов

2. Запишите разложение периодического сигнала в ряд Фурье по синусам и косинусам. Каковы условия сходимости данного ряда?

Ответ: Данное разложение существует, если r(t) на периоде T удовлетворяет условиям Дирихле: Не имеет разрывов 2-го рода; имеет конечное число разрывов 1-го рода; имеет конечное число экстремумов.

3. Комплексный коэффициент на некоторой положительной частоте _n равен 1,5 exp(j). Какой физический смысл имеют коэффициенты 1,5 и ?

Ответ: Коэффициент 1,5 говорит о том, что амплитуда данной гармоники равна 3, а аргумент косинуса равен пи/4.

4. Запишите выражения для спектральной функции одиночного импульса и комплексной амплитуды (через A_n и _n) ряда Фурье, описывающего периодическую последовательность, составленную из таких импульсов. Как связаны между собой и  ?

Ответ:

5. У периодического сигнала изменилась полярность. Как изменятся его амплитудный и фазовый спектры? Почему?

Пусть g(t)=-r(t), при этом ряд Фурье:

6. Если сигнал является периодическим, то его спектр дискретен. Справедливо ли обратное утверждение? Почему?

Ответ: нет, не всегда. Для того, чтобы сигнал был периодическим недостаточно дискретности спектра, необходимо, чтобы частоты гармоник были кратны частоте первой гармоники.

7. Приведите формулы прямого и обратного преобразования Фурье. При каких условиях можно пользоваться формулой прямого преобразования Фурье?

Ответ: прямое преобразование Фурье:

Обратное преобразование Фурье:

Прямое преобразование Фурье существует, если сигнал s(t) на любом интервале конечной длительности удовлетворяет условиям Дирихле:

• Не имеет разрывов второго рода;

• Число разрывов первого рода конечно;

• Число экстремумов конечно;

А также является абсолютно интегрируемым:

8. Какой физический смысл имеют модуль и аргумент спектральной функции непериодического сигнала?

Ответ: сигнал s(t) представляется в виде суммы бесконечно большого числа гармонических составляющих с бесконечно малыми амплитудами, непрерывно заполняющих интервал частот от 0 до бесконечности. Начальные фазы этих составляющих заданы фазовым спектром, а частотная зависимость «плотности» бесконечно малых амплитуд описывается амплитудным спектром.

9. Спектральная функция непериодического сигнала на некоторой положительной частоте  равна 1,5 exp(j). Какой физический смысл имеют коэффициенты 1,5 и ?

Ответ: имеется гармоника с бесконечно малой амплитудой с коэффициентом при амплитуде 3 и начальной фазой .

10. Как изменяется спектральная функция при умножении сигнала s(t) на cos ₀t ? (Привести формулу и график).

Ответ: пусть даны

Тогда

Умножение приводит к смещению спектра видеоимпульса влево и вправо по оси частот на величину w₀

11. Приведите выражения для амплитудного и фазового спектров задержанного непериодического сигнала.

Ответ: пусть сигналу s(t) соответствует спектральная функция S(w). Тогда, для запаздывающего сигнала s(t-t₀) будет справедливо

При задержке сигнала амплитудный спектр сигнала не изменяется, а в фазовом спектре появляется дополнительная компонента -wt₀. Множитель e^-jwt0 – оператор задержки сигнала.

12. Как выражается спектральная функция произведения двух функций, если известны спектральные плотности сомножителей? (Привести формулу.)

Ответ: Спектральная функция произведения сигналов есть свертка их спектральных функций.

Пусть есть сигналы f(t) и g(t), при этом s(t)=f(t)*g(t). Тогда сигналу s(t) соответствует спектральная функция

13. В чем заключается фильтрующее свойство -функции? Докажите.

Ответ:

Доказательство: подынтегральная функция равна 0 при любом t не равном t₀. Тогда имеем

14. Дайте определения текущему и мгновенному спектрам сигнала. (Приведите соответствующие формулы.) Чем вызвана необходимость введения этих понятий?

Ответ: Для нахождения спектра необходимо выполнить интегрирование по времени в бесконечных пределах. Это возможно, если исследуемый сигнал известен на всём промежутке времени. Однако в реальности это не так. В связи с этим интегрирование следует выполнять лишь в текущий момент времени: происходит поиск текущего спектра:

В действительных условиях наблюдение процесса также начинается в какой-то определенный момент времени, находящийся на удалении от текущего момента, который может быть принят за начало отсчёта времени. Тогда найдём мгновенный спектр: