Курсовая / МЕТОДА

расчете значения Sɺ(0) требуется раскрытие неопределенности по правилу Лопиталя. Для контроля следует представить спектральную функцию сигнала в виде

∞

где S (0) = u(t)dt — «площадь» входного сигнала u(t ) в системе координат

−∞

«время – сигнал».

3.2. Разработка структурной схемы согласованного фильтра

Получите аналитическое выражение для коэффициента передачи СФ, используя формулу (2.16) и найденное при выполнении пункта 3.1 выражение для спектральной функции сигнала. Значение константы А при этом следует выбрать из соотношения

и положить t0 = T2 .

Постройте график ФЧХ СФ.

График АЧХ согласованного фильтра с точностью до постоянного множителя А совпадает с графиком модуля спектральной функции входного сигнала.

Используя (2.16), определим коэффициент передачи СФ:

который для удобства синтеза структурной схемы представим в виде

.

K s (ω) = K1Kɺ2 − Kɺ22 K3 + Kɺ22 K3Kɺ4 ,

Рис. 3.2

где K1 = AU 0 , K3 = AU 0 Tи — коэффициенты передачи масштабных преобразователей; Kɺ2 = 1 jω и Kɺ4 = exp(− jωTи ) — коэффициенты передачи иде-

ального интегратора и линии задержки соответственно. Полученное выражение определяет структурную схему СФ (Рис. 3.2).

Упростите структурную схему, используя объединения элементов, линию задержки с отводами и т.д. Например, структурная схема, приведенная на Рис. 3.2, может быть преобразована в соответствии с иной формой записи выражения (3.1) для комплексного коэффициента передачи фильтра:

Вход

Выход

Рис. 3.3

12

Упрощенная структурная схема приведена на Рис. 3.3.

Постройте временные зависимости напряжений в различных точках структурной схемы, иллюстрирующие процесс формирования импульсной реакции согласованного фильтра при подаче на его вход сигнала в виде δ- функции.

На Рис. 3.4 приведен пример построения графиков напряжений в различных точках схемы (Рис. 3.3). Как видно из Рис. 3.4, импульсная реакция СФ hs (t ) в соответствии с (2.17) представляет собой копию входного сигнала,

зеркально отображенного относительно оси ординат (оси напряжения) и задержанного во времени на интервал Tи .

u(t ) = u1(t ), t [0,T1], и u(t ) = u2 (t ), t [T1,T2 ]. Очевидно, что КФ для каждого из представленных вариантов взаимного расположения сигнала и его копии

13

Рис. 3.5

должна быть записана следующим образом:

τ

Подставляя в формулы выражения для u1(t ) и u2 (t ) в явном виде и ин-

тегрируя, получите аналитические выражения для КФ на различных интервалах аргумента τ , а с учетом формулы (2.18) — и для сигнала на выходе согласованного фильтра. При записи полного выражения для КФ в области τ < 0 воспользуйтесь свойством ее четности.

«Вручную» рассчитайте значения КФ при τ = T2 − T1 по формулам для интервалов τ [0,T2 − T1] и τ [T2 − T1, T1] и убедитесь в том, что вычисленные значения B(T2 − T1 ) совпадают. Аналогично проверьте совпадение значений

КФ, вычисленных для интервалов τ [T2 − T1, T1] и τ [T1, T2 ] при τ = T1 . Вычислите значение B(0).

Для сигнала u(t ) c T1 < T2 − T1 используется аналогичная методика рас-

чета КФ.

С помощью программы математического моделирования рассчитайте и занесите в таблицу значения входного и выходного сигналов. Постройте график выходного сигнала uвых(t) . Используя полученные аналитические выра-

жения, «вручную» рассчитайте значения выходного сигнала в двух-трех кон-

14

трольных точках, выбрав значения t таким образом, чтобы обеспечить возможность сопоставления результатов с данными, полученными при машинном расчете.

Получите аналитические выражения для выходного сигнала согласованного фильтра при подаче на его вход сигнала, указанного в п. 3в раздела «1. Задание». При этом используйте совпадение формы выходного сигнала с ВКФ входного сигнала и сигнала, с которым согласован фильтр, — соотношения (2.19) и (2.20). Методика вычисления ВКФ кусочно-заданных сигналов аналогична рассмотренной методике вычисления КФ с той лишь разницей, что при нахождении ВКФ, которая свойством четности не обладает, необходимо рассматривать все варианты взаимного расположения сигналов, не ограничиваясь значениями t ³ 0. В качестве примера на Рис. 3.6 представлены некото-

U U U

Рис. 3.6

рые случаи взаимного расположения сигнала uv (t ) — прямоугольного импульса длительностью Tи и амплитудой U — и копии сигнала u(t ) при t ≤ 0. Рассматривается случай, когда T1 < Tи < T2 и T1 > T2 − T1 . Используя уже введенные для интервалов входного сигнала u(t ) при t [0,T1] и t [T1, T2 ] обозначения u1(t ) и u2 (t ), запишем для ВКФ Bv (τ) при t ³ 0:

15

0

Для сигналов с другими соотношениями Tи, T1, T2 анализ проводится

аналогично. Используя полученные выражения и соотношение (2.19), рассчитайте и постройте график временной зависимости напряжения на выходе СФ для сигнала, заданного в п. 3в раздела «1. Задание». Найдите максимальное значение выходного напряжения. Данные расчета сведите в таблицу и постройте график.

Определите отношение с/ш на входе и выходе фильтра для сигнала, согласованного с ним, а также для сигнала, указанного в п. 3в раздела «1. Задание». При этом принимают:

(с/ ш)вх = U max , σвх

где σвх — среднеквадратичное значение шума, U max — максимальное значение сигнала на входе. Согласно (2.8)

Для случая, когда на вход фильтра подается согласованный с ним сигнал, отношение с/ш на выходе (для упрощения вычислений) определяют по формуле (2.22) — т. е. заданный входной шум аппроксимируют белым шумом с неограниченной шириной СПМ — и значение отношения получается несколько заниженным. В остальных случаях отношение с/ш на выходе рассчитывают по формуле

(с / ш)вых = U выхmax , σвых

где U вых max — наибольшее значение выходного сигнала, σвых — средне-

квадратичное значение шума на выходе, определяемое по формуле (2.23). Рассчитайте отношение с/ш на входе и выходе для двух рассмотренных

выше в этом подразделе сигналов и определите, как изменяется это отношение при прохождении сигналов через СФ.

Рассчитайте спектр мощности шума на выходе СФ, используя (2.21). Постройте соответствующий график.

16

3.4. Расчет преобразования сигнала и шума квазиоптимальным RС- фильтром нижних частот

Курсовую работу завершает анализ прохождения заданных сигнала и шума через квазиоптимальный фильтр. По сравнению с согласованным квазиоптимальный фильтр технически реализуется существенно проще и при этом обеспечивает относительно небольшой по сравнению с СФ проигрыш в отношении с/ш на выходе. Такие устройства могут применяться и для фильтрации простых сигналов, база (произведение длительности сигнала на эффективную ширину его спектра) которых мала.

Для видеоимпульсов простейшим фильтром такого рода является RС- фильтр нижних частот (интегрирующая RС-цепь), показанный на Рис. 3.7.

Рис. 3.7

Определите оптимальное значение постоянной времени RС-цепи τ = RC (не смешивать с τ — аргументом КФ и ВКФ), при котором отношение с/ш на выходе квазиоптимального фильтра для заданного сигнала максимально. Для этого:

1. Оцените предварительно значение оптимальной постоянной времени следующим образом: τopt ≈ 1 f0,1 , где f0,1 — верхняя граничная частота спек-

тра входного сигнала, определенная в 3.1.

2. Для 10 — 15 значений, выбранных следующим образом: (1 ± 0,1)τopt , (1 ± 0,2)τopt , …, (1 ± 0,7)τopt …, рассчитайте среднеквадратичные значения

напряжения шума σвых на выходе квазиоптимального фильтра. Для расчета

воспользуйтесь формулой (2.8), в которую подставляют спектр мощности выходного шума, определенный по соотношению (2.14).

3.Для тех же значений постоянной времени, используя программу математического моделирования, рассчитайте максимальные значения напряжения сигнала на выходе квазиоптимального фильтра.

4.Рассчитайте и постройте график зависимости отношения с/ш на вы-

ходе квазиоптимального фильтра от постоянной времени RС-цепи τ = RC, используя полученные при расчетах данные. По графику уточните значение оптимальной постоянной времени τopt , максимизирующее отношение с/ш. Если

на графике точки максимума не окажется, рассчитайте в направлении возрастания отношения с/ш еще несколько значений отношения по пп.2 и 3.

17

Определите выигрыш в отношении с/ш и сравните его со значением, полученным для СФ.

Рассчитайте с помощью программы математического моделирования временную зависимость выходного сигнала квазиоптимального фильтра при τ = τopt . Данные расчета занесите в таблицу, постройте график.

Получите аналитическое выражение для выходного сигнала квазиоптимального фильтра с постоянной времени τopt , используя его импульсную ре-

акцию

Рис. 3.8

и интеграл Дюамеля (2.12). Вычисление свертки, как и вычисление КФ и ВКФ, для сигналов кусочно-заданных имеет свои особенности. На Рис. 3.8 представлены три возможных случая взаимного расположения сигнала и инвертированной во времени импульсной реакции h(t) в системе координат «вспомога-

тельная переменная λ — сигнал».

Как следует из графиков, выходной сигнал может быть записан следующим образом:

где вновь использованы уже введенные для входного сигнала u(t ) на интервалах t [0,T1] и t [T1, T2 ] обозначения u1(t ) и u2 (t ).

18

Произведите по полученным формулам «ручной» контрольный расчет трех значений uвых (t ), в том числе непременно значения максимума выход-

ного напряжения и сопоставьте результаты расчета с данными, полученными на ПК.

19

4.Содержание пояснительной записки

1.ВВЕДЕНИЕ, содержащее постановку задачи и краткие теоретические сведения.

2.ЗАДАНИЕ

2.1.Таблица с параметрами задания.

2.2.Представление заданного сигнала u(t) в аналитической форме, график

u(t) . Расчет энергии E сигнала u(t) и параметров шума fш.гр и СПМ W0 (ω) ;

график W0 (ω) .

3. РАСЧЕТ СПЕКТРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СИГНАЛА 3.1. Вывод аналитического выражения для спектральной функции выбранного

сигнала. Запись спектральной функции в виде Sɺ(ω) = Re Sɺ(ω) +j Im Sɺ(ω) .

рассчитанных Sɺ( f ) с указанием найденных значений f0,1 .

3.4.Расчет фазового спектра ϕs (ω) для выбранного сигнала. Приводится график.

3.5.Контрольный ручной расчет Sɺ(ω) , Re Sɺ(ω) , Im Sɺ(ω) для произвольных

значений ω1,2 = 2pf1,2 ¹ 0 .

4.РАЗРАБОТКА СТРУКТУРНОЙ СХЕМЫ СФ 4.1. Вывод аналитического выражения для комплексного коэффициента пере-

дачи СФ в виде Kɺs (ω) = ASɺ (ω) e−ωt0 . Коэффициент А выбирается из условия Kɺs (0) = 1. Приводятся графики АЧХ Kɺ( f ) и ФЧХ ϕK ( f ) .

4.2.Синтез и модификация (упрощение) структурной схемы СФ. Приводятся синтезированная по выражению для Kɺs (ω) и модифицированная схемы.

4.3.Построение временных диаграмм, иллюстрирующих форму сигнала в различных точках и на выходе структурной схемы СФ при подаче на вход схемы δ-импульса.

5. РАСЧЕТ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛА И ШУМА СОГЛАСОВАННЫМ ФИЛЬТРОМ

5.1.Вывод аналитического выражения для выходного сигнала uвых (t) .

5.2.Расчет выходного сигнала uвых (t) . Приводится график.

5.3.Запись аналитического выражения и расчет СПМ Wвых (ω) на выходе СФ. Приводится график Wвых ( f ) .

20