Фед_задачник_итог

вероятностью 1 p. Найти распределение мощности суммарного сигнала. Вычислить среднее значение мощности.

7.241. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины a b , если и гауссовские случайные величины с плотно-

левыми средними и одинаковыми дисперсиями 2 .

- 80 -

7.243. Найти совместную плотность вероятности случайных величин Х

6 X Y

и Y, являющихся решениями системы X Y , если и независимые

нормальные случайные величины с нулевыми средними значениями и одинаковыми дисперсиями.

7.244. Над случайной величиной , имеющей ПВ W (x) , производится п

независимых опытов. Наблюдаемые значения этой СВ располагаются в порядке возрастания, таким образом формируется ряд случайных величин1, 2, , n. Найти плотность вероятности и функцию распределения k-й из этих случайных величин k .

7.245. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию суммы Z случайного числа независимых одинаково распределенных случайных величин Xi , i 1, 2, , N , где каждая из величин X i имеет ПВ

принимает значения 1 и 0 с вероятностями р и q = 1 p соответственно.

n

Найти математическое ожидание и дисперсию СВ i i 1 mod 2 .

i 1

7.247. Доказать, что если случайные величины 1, 2, , n независимы, положительны и одинаково распределены, то выполняется следующее

7.248. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины , представляющей собой ближайшее целое значение, возникающее при округлении непрерывной случайной величины , имеющей ПВ W (x) .

- 81 -

рис.7.16). Все значения угла равновероятны. Найти математическое ожидание длины Х его проекции на горизонтальную ось.

7.257. Светящаяся точка, изображающая наблюдаемый объект на круглом экране радиолокатора диаметром D, может случайным образом занимать любое положение на экране (совместная ПВ координат точки постоянна в

7.260. Случайное напряжение U распределено по нормальному закону с

тическое ожидание и дисперсию СВ Z.

7.261. Случайная точка (X, Y) распределена равномерно внутри круга с центром в начале системы координат и радиусом R. Найти математическое ожидание и дисперсию СВ Z = XY.

- 83 -

7.262. Случайная точка (X, Y) распределена равномерно внутри квадрата с вершинами (0, 0); (0, 1); (1, 0); (1, 1). Найти математическое ожидание и дисперсию СВ Z = XY.

7.263. Координаты двух случайных точек на прямой независимы и равномерно распределены на отрезке [0, 1]. Найти математическое ожидание и дисперсию расстояния между ними.

7.264. Две случайные точки расположены внутри квадрата 0 x 1, 0 y 1. Координаты точек независимы, каждая из них равномерно распределены на отрезке [0, 1]. Найти математическое ожидание и дисперсию расстояния между ними.

7.265. Угол упреждения при воздушной стрельбе определяется по фор-

муле uv sin , где u – скорость цели, v – скорость полета снаряда, кур-

совой угол цели. Найти математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение угла упреждения, если случайная величина, равномерно рас-

пределенная в интервале 600 – 700 км/час, причем u и независимы, а v 1 км/сек и постоянна.

7.266. СВ 1 и 2 определены как 1 cos , 2 sin , где – СВ, имеющая равномерное распределение на отрезке [0, 2 ]. Найти совместную ПВ, математические ожидания, дисперсии и ковариацию величин 1 и 2 .

7.267. Случайные величины и связаны соотношением 2 3 , причем m1 1, D 4 . Определить математическое ожидание и дисперсию СВ , ковариацию и коэффициент корреляции величины и .

привести данный вектор к вектору (x, y) с некоррелированными составляющими. Найти моменты распределения величин х и y.

7.269. Значения независимых случайных величин и и их вероятности приведены в табл. 7.3. Найти законы распределения (значения и вероятно-

- 84 -

сти) случайных величин Z = + и Z = . Вычислить их средние значения и дисперсии.

Таблица 7.3

7.270. По каналу связи передается N сообщений; длительность каждого сообщения случайна, имеет одни и те же математическое ожидание и дисперсию и не зависит от длительностей других сообщений. Найти математическое ожидание и дисперсию суммарного времени Т, за которое будут переданы все N сообщений.

7.271. Решить предыдущую задачу с тем изменением, что длительности сообщений Ti зависимы и коэффициент корреляции СВ Ti и T j равен rij .

7.272. Радиолокационная станция ведет слежение за областью пространства, где находится N объектов. За один цикл обзора i-й объект независимо от других обнаруживается с вероятностью pi , i = 1, 2, …, N. За время наблюдения осуществляется п циклов обзора. Найти математическое ожидание и дисперсию числа объектов, которые будут обнаружены.

7.273. Группа из четырех радиолокационных станций ведет слежение за областью пространства, в которой находится три объекта. Наблюдение ведется в течение некоторого времени Т. За это время каждая из станций обнаруживает каждый из объектов с вероятностью pi , зависящей от номера объекта, и передает его координаты на центральный пульт управления. Найти математическое ожидание числа объектов, координаты которых будут зарегистрированы на пульте.

7.274. Радиолокационная станция ведет слежение за областью пространства, где находится четыре объекта. Вероятность обнаружения отдельного объекта в зависимости от времени наблюдения выражается функцией p(t) и не зависит от того, обнаружены ли другие объекты. Найти математическое ожидание времени, за которое будет обнаружен хотя бы один объект. Найти математическое ожидание времени, за которое будут обнаружены все четыре объекта.

- 85 -

7.278. Ошибка измерений некоторой величины при одном методе равна 2 , где нормально распределенная случайная величина с нулевым математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением = 5. При другом методе измерений ошибка 1 2 представляет собой сумму двух независимых нормально распределенных СВ с нулевыми математическими ожиданиями и среднеквадратическими отклонениями 1 = 2 = 5. Какой метод измерений предпочтительнее?

7.279. Найти математическое ожидание и дисперсию произведения независимых случайных величин и , равномерно распределенных, соответственно, в промежутках (a, b) и (c, d).

- 86 -