Фед_задачник_итог

Добавил:

Gigol Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Математический аппарат радиотехники

Файл:

Коши W ( y)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.03.2026

Размер:

2.53 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 138 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

7.166. Доказать следующие неравенства: а) если , то M{ } M{ } ;

б) неравенство Коши-Буняковского

M 2 M 2 ; в) для любого

положительного значения P

7.167. Показать, что, если случайные величины и независимы и их

, x 0;

то СВ

+ и

ПВ равны W (x) W (x)

также независимы.

0, x

7.168. Случайные величины и независимы и имеют одинаковые дисперсии. Показать, что СВ Х = + и Y = некоррелированы. Привести пример некоррелированных, но зависимых случайных величин.

7.169. Случайные величины и совместно гауссовские с одинаковыми дисперсиями. Показать, что СВ Х = + и Y = независимы.

7.170. Вычислить коэффициент корреляции случайных величин и+ , если и совместно гауссовские независимые величины с нулевыми средними и дисперсиями D и D соответственно. Конкретизировать ответ для случаев D << D , D >> D и D = D .

7.171. Найти коэффициент корреляции величин и n, если гауссовская случайная величина с нулевым средним.

7.172. Пусть случайная величина, имеющая четную плотность вероятности. Чему равен корреляционный момент и 2?

7.173. Пусть гауссовская случайная величина с математическим ожиданием M и дисперсией D . Чему равен корреляционный момент и 2?

7.174. Чему равен коэффициент корреляции величин а + b и с + d, где a, b, c, d детерминированные константы, а и имеют коэффициент корреляции r?

- 70 -

7.175. Случайный нормальный вектор ( , ) имеет следующие числовые

характеристики	M M 0 ,	1	r	. Доказать, что вероятность
характеристики	M M 0 ,	R		. Доказать, что вероятность
			1
		r	1

P 0 arccos r , а коэффициент корреляции величин 2 и 2 равен r2.

7.176. Две случайные величины имеют соответственно средние, равные 2 и 3, дисперсии, равные 16 и 25, а также коэффициент корреляции, равный 0,25. Найти второй начальный момент их суммы.

7.177. Две случайные величины имеют соответственно средние, равные 2 и 3, дисперсии, равные 16 и 25, а также коэффициент корреляции, равный 0,25. Найти среднее значение их произведения.

		7.178.	СВ 1		и	2 распределены равномерно в квадрате 0 1 1,
0 2 1.			Будут		ли	зависимы случайные величины 1 a 1 b 2 и
	2		2	2 ? Найти математические ожидания, дисперсии и ковариацию
		1
величин 1			и 2 .

7.179. Случайные величины 1 , 2 и 3 независимы, имеют нулевые средние значения и одинаковые дисперсии. Найти коэффициент корреляции

СВ а) Х = 1 + 2 и Y = 3; б) Х = 1 + 2 + 3 и Y = 2 + 3.

7.180. Пусть , , независимые СВ, равномерно распределенные в

интервале (0, 1). Найти вероятность того, что уравнение

x2 x 0

имеет действительные корни.

7.181. Пусть и независимые СВ, равномерно распределенные в ин-

тервале (0, 1). Найти вероятность того, что уравнения а)

x2 x 0 ;

б)

x2 Ax B 0 , где A = min( , ), B = max( , ); имеют действительные

корни.

7.182. Случайные величины X, Y и Z независимы и имеют одинаковое

распределение

N(0, 1). Показать, что СВ

X Y

взаимно независимы и имеют распределение того же вида

N(0, 1).

- 71 -

	7.183. Случайные величины X и Y независимы и имеют одинаковое рас-
						1
пределение			N(0, 1). Показать, что СВ		X1 exp		X 2	Y 2 ,
пределение			N(0, 1). Показать, что СВ		X1 exp		X 2	Y 2 ,
						2
	1		X
Y1		arctg		независимы и равномерно распределены в интервале (0, 1).
Y1	2	arctg		независимы и равномерно распределены в интервале (0, 1).
	2		Y

7.184. СВ Х распределена по нормальному закону с параметрами m1 ,
D X . Случайные величины Y и Z				связаны с Х зависимостями Y X 2 ,
Z X 3 . Найти ковариации K	XY	, K	XZ	, K .
				YZ
7.185. Непрерывная случайная величина имеет ПВ W (x) . Найти ПВ

случайной величины = a + b, где a и b детерминированные константы.

	7.186. Непрерывная случайная величина имеет ПВ W (x) . Найти ПВ
случайных величин							;		2	2		;	3 ,		4	tg ,		acrtg ,
случайных величин							;			2		;	3 ,			tg ,		acrtg ,
	exp 2 ,			1									3				5
			2 ,					1
		7						1			,			R2 2 .
											,			R2 2 .
6					8	1		2			9
						1		2

7.187. Натуральный логарифм некоторой случайной величины распределен по нормальному закону с параметрами m1 , D. Найти ПВ случайной величины .

7.188. Случайная величина распределена равномерно в интервале (0, 1). СВ связана с величиной монотонно возрастающей функциональной зависимостью f . Найти ФР и ПВ случайной величины .

7.189. СВ равномерно распределена в интервале (a, b). Найти плотность вероятности и функцию распределения случайной величины = 2 .

7.190. Пусть случайная величина имеет равномерную плотность вероятности на интервале [ 1, 1]. При каком функциональном преобразованииf случайная величина окажется гауссовской с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией?

7.191. Пусть гауссовская случайная величина с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной 9. Найти плотность вероятности слу-

- 72 -

чайной величины

1, 0,

Как изменится

ответ, если

sign

- 1, 0.

m1 3 ?

7.192. Пусть функция распределения F (x)

СВ непрерывна. Показать,

что СВ F (x) равномерно распределена на интервале (0, 1).

7.193. Найти плотность вероятности случайной величины

, > 0,

если W (x)

exp

x m1 x

7.194. Случайная величина , имеющая ПВ W (x) подвергается функци-

ональному преобразованию вида y W (t) dt . Найти ПВ преобразованной

случайной величины.

7.195. Случайная величина имеет ПВ W (x) (рис. 7.11). Найти ПВ случайной величины 1 2 .

										45.	Найти	ПВ		случайной								величины
		W (x)								e ,	если СВ		подчинена						рэлеевскому
														x					x	2
			1							распределению W (x)				x		exp			x				, x > 0.
			1							распределению W (x)						exp							, x > 0.
															2				2		2
																			2
										45.	Найти	ПВ		случайной								величины
	1		0				1 х			exp 2 , если W (x)						x						x		2
																x		exp				x				.
			Рис. 7.11															exp							2	.
			Рис. 7.11														2					2			2
																						2
	7.196. Найти плотность вероятности случайной величины 3 , если
			1						2
W (x)			1		exp	x m1				.
W (x)					exp	x m1				.
				2			2	2
				2			2

- 73 -

7.197.		Найти				ПВ				случайной								величины					2 ,				если
	1		2
W (x)	1	exp	x		.
W (x)		exp		2	.
	2		2	2
	2		2
7.198. Найти плотность вероятности случайной величины																											, если
7.198. Найти плотность вероятности случайной величины																											, если
	1						2
W (x)	1	exp	x m1					.
W (x)		exp	x m1					.
	2		2			2
	2		2
7.199.		Найти			ПВ					случайной						величины							a			,	если
7.199.		Найти			ПВ					случайной						величины							a			,	если
	1		2
W (x)	1	exp	x		.
W (x)		exp		2	.
	2		2	2
	2		2
7.200. Найти ПВ случайных величин																	1 3 и							1	, если СВ
7.200. Найти ПВ случайных величин																	1 3 и					2			, если СВ
														1								2

распределена по закону Коши: W											(x)			1				.

															1 x2
															1 x2
7.201. Найти ПВ случайной величины sin , если																						СВ равномерно
распределена на отрезке								,
распределена на отрезке								,		.
							2		2
7.202. Найти ПВ случайной величины 1 sin ,																					если				СВ равно-
												,
мерно распределена на отрезке												,		.
											2		2
7.203. Найти ПВ случайной величины																			sin	, если		СВ равномерно
7.203. Найти ПВ случайной величины																			sin	, если		СВ равномерно
распределена на отрезке								,
распределена на отрезке								,		.
							2		2

7.204. Дискретная СВ Х имеет биномиальное распределение с параметрами р и N. Пусть число испытаний N представляет собой СВ, подчиняющуюся биномиальному распределению с параметрами q и М (М N). Показать, что СВ Х будет иметь биномиальное распределение с параметрами рq и М.

- 74 -

7.205. СВ Х имеет биномиальное распределение с параметрами р = 0,5 и

N. Найти математическое ожидание	СВ
		F (x)
sin 2 .		1
		1
7.206. Непрерывная случайная величина
имеет функцию распределения F (x) (рис. 7.12).
Найти и построить качественно функцию рас-		0	х
пределения случайной величины = \| \|.		0	х
пределения случайной величины = \| \|.		Рис. 7.12
		Рис. 7.12

7.207. Известно, что W (x) 4x3, x 0,1 ;

2 . Найти характеристическую функцию СВ (v) , после чего опре-

делить ПВ W ( y) .
7.208. Показать, что функция распределения случайной		величины
			y	2
cos , где СВ имеет рэлеевское распределение W	( y) y exp		y		, а
cos , где СВ имеет рэлеевское распределение W	( y) y exp				, а
			2
			2

СВ равномерно распределена на отрезке [ , ], подчиняется нормальному

распределению W (x)

exp

7.209. Смешанная случайная величина

F (x)

принимает

отрицательное значение

x1 с

вероятностью

p , положительное значение

р2

x2 с вероятностью

p2 , а в промежутке меж-

ду ними функция распределения СВ F (x)

р1

непрерывна (рис. 7.13). Найти и построить

х1

функцию распределения случайной величи-

Рис. 7.13

ны = | |.

50. Радиус круга R случайная величина, распределенная по закону Рэ-

лея W (x)

exp

, где

x 0

. Найти закон распределения площади

круга.

- 75 -

7.210. Найти плотность вероятности случайной величины = cos , если

2 / , x / 4,
W (x)	0, x / 4.

7.211. Случайная величина подчинена показательному закону распре-

деления W (x) e x , х > 0, > 0. Каким функциональным преобразовани-

ем можно превратить ее в случайную величину , распределенную по закону

7.212. Какому функциональному преобразованию надо подвергнуть СВ, распределенную равномерно в интервале (0, 1), чтобы получить СВ , рас-

пределенную по показательному закону W (x) e x , х > 0?

7.213. Имеющийся программный датчик случайных чисел формирует последовательность независимых случайных величин 1, 2, , n , , равномерно распределенных на интервале [0, 1]. Для моделирования часто необходимо иметь последовательность независимых нормальных случайных величин1, 2, , n , . Найти вид функционального преобразования, обеспечива-

ющего формирование нормальной случайной величины по правилу

i f i .

7.214. Определить ПВ случайной величины , такой, что СВ n распределена по нормальному закону N(0, 1).

7.215. Случайная величина имеет плотность вероятности W x . Пусть

функция вида f (x) W (x) W ( x) , определена на множестве значений

W (x) W ( x)

x, для которых W (x) W ( x) 0 . Доказать, что средний квадрат случайной величины и ее среднее значения совпадают.

7.216. Случайная точка (Х, Y) распределена	y
равномерно в квадрате со стороной, равной единице	y
равномерно в квадрате со стороной, равной единице
(рис. 7.14). Найти закон распределения площади пря-	1
моугольника со сторонами Х, Y.	1
моугольника со сторонами Х, Y.
	Y	(X, Y)
	Y
- 76 -

	0	X	1 x
		Рис. 7.14

7.217. Найти закон распределения отношения двух независимых нор-

мально распределенных СВ и с характеристиками M = M = 0,

и .

7.218. СВ и независимы и каждая из них имеет нормальное распре-

деление N(0, 1). Показать, что СВ X 0,5 2 2 имеет функцию распреде-

ления F x 1 e x , x 0 .

83. Случайные величины 1 и 2 независимы и равномерно распределе-

ны в интервале (0,

1).

Показать,

что СВ 1 cos и

2 sin , где

2ln 1 ,

2 2 независимы и каждая имеет нормальное распределе-

ние N(0, 1).

7.219. Случайные величины и независимы и имеют нормальные рас-

пределения с параметрами M = M = 0, и . Показать, что СВ

имеет нормальное распределение с нулевым математическим

2 2

ожиданием

среднеквадратическим

отклонением

X ,

причем

7.220. Случайная точка (Х, Y) распределена равномерно в круге единич-

ного радиуса,

т.е. W

(x, y)

x2 y2

1. Найти закон распределения

X , Y

СВ Z Y / X .

7.221. Пусть и независимые СВ, равномерно распределенные на

отрезке

, A

, где А – произвольное число. Показать, что СВ

имеет ПВ, не зависящую от А. Найти эту ПВ.

7.222.

Известно,

что

для

рэлеевского

распределения

и m

W (x)

exp

где x 0 ,

моменты распределения

- 77 -

равны соответственно m2 2 2 , m4 8 4 . Найти среднее и дисперсию СВ 2 .

7.223. Найти закон распределения суммы двух независимых случайных величин и , имеющих ПВ, соответственно, W (x) e x , х > 0,

W ( y) e y , y > 0.

7.224. Найти закон распределения суммы двух независимых случайных величин и , каждая из которых распределена по закону Пуассона:

P k	k1	e 1 , P m		m2	e 2 .
P k		e 1 , P m			e 2 .
	k!			m!
7.225. Найти закон распределения разности двух независимых случай-
ных величин и ,			имеющих ПВ,			соответственно, W (x) e x , х > 0,

W ( y) e y , y > 0.

7.226. Найти закон распределения суммы двух независимых случайных
величин и , а) имеющих ФР					F (x) F (x)		1	1	arctg x ; б) равномерно
величин и , а) имеющих ФР					F (x) F (x)				arctg x ; б) равномерно
							2
							2

распределенных в интервалах, соответственно, ( 5, 1) и (1, 5); в) имеющих

ПВ W (x) W (x) 21 e , > 0.

7.227. Какова вероятность того, что сумма двух независимых случайных величин, равномерно распределенных на интервале [ a, a], не превысит a?

7.228. Найти законы распределения суммы и разности двух независимых случайных величин и , имеющих нормальные распределения с различными математическими ожиданиями и дисперсиями.

7.229. Ножки циркуля, каждая длиной l, раздвинуты на случайный угол, равномерно распределенный в интервале [0, ]. Найти плотность вероятности расстояния между остриями ножек. Вычислить среднее значение этого расстояния.

- 78 -

7.230. Доказать, что для суммы независимых случайных величин

				n		n
1, 2, , n			M 3			M 3 i ,
1, 2, , n	справедливы	формулы:	M 3		i	M 3 i ,
						i 1
				i 1		i 1

	n
M 4
M 4		i

	i 1

n	i 6 M 2 i M 2 j .
M 4	i 6 M 2 i M 2 j .
i 1	i j

7.231. Найти закон распределения суммы п независимых одинаково распределенных СВ 1, 2, , n , если каждое слагаемое распределено по

нормальному закону со средним значением а и дисперсией 2 .

7.232. 1, 2, , n независимые нормальные случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и дисперсиями D i . Найти сов-

m		n
местную плотность вероятности величин X i		и Y i , m < n.
i 1		i 1
7.233. Случайные величины 1, 2, , n	независимы и равномерно

распределены на отрезке [0, 1]. СВ равна такому значению k, при котором

k
сумма i	впервые превосходит единицу. Найти среднее значение .
i 1

7.234. Напомним, что распределение числа испытаний до первого успеха в схеме последовательных независимых испытаний с вероятностью успеха в каждом испытании р, называемое геометрическим, имеет вид

P(k) (1 p)k p . Найти распределение суммы п независимых одинаково распределенных СВ, подчиняющихся геометрическому распределению. Определить среднее значение и дисперсию суммы.

7.235. Найти распределение СВ i , где i – независимые СВ,

i 1

принимающие значение +1 с вероятностью р и –1 с вероятностью q = 1 – p. Определить среднее значение и дисперсию СВ .

7.236. Складываются N колебаний вида ai cos t , где ai независимые случайные величины, принимающие два значения: a с вероятностью p и a с

- 79 -

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 138 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический аппарат радиотехники

#
21.03.20262.03 Mб06.docx
#
21.03.20262.11 Mб0МАРТ_Часть1_Глава6.pdf
#
21.03.20261.76 Mб0МАРТ_Часть1_Главы1_5.pdf
#
21.03.20261.86 Mб0МАРТ_Часть2_Главы1_3.pdf
#
21.03.20261.81 Mб0МАРТ_Часть2_Главы4_8.pdf
#
21.03.20262.53 Mб0Фед_задачник_итог.pdf