Фед_задачник_итог
.pdfренное значение дальности отклонится от истинного не более, чем на 15 м; б) при трех независимых измерениях ошибка хотя бы одного измерения не превзойдет по абсолютной величине 15 м.
7.109. Случайные ошибки измерения дальности до неподвижной цели подчинены нормальному закону с математическим ожиданием M 3 м и
дисперсией D 9 м2 . Определить вероятность того, что а) измеренное значение дальности отклонится от истинного не более чем на 5 м; б) при пяти независимых измерениях ошибка хотя бы одного измерения не превзойдет по абсолютной величине 5 м.
7.110. Найти вероятность того, что значение гауссовской случайной величины будет отличаться от среднего а) не более чем на ; б) не менее, чем на 2 ; в) превысит среднее на 1,5 .
7.111. Случайный ток с рэлеевской плотностью вероятности протекает через резистор с сопротивлением 2 Ом. Математическое ожидание тока равно 2 А. Определить а) среднее значение рассеиваемой на резисторе мощности; б) вероятность того, что рассеиваемая мощность будет не более 12 Вт; в) вероятность того, что рассеиваемая мощность превысит 72 Вт.
7.112. Разрабатываемый спутник связи должен характеризоваться средним временем наработки на отказ 5 лет. Считая реальное время наработки на отказ экспоненциально распределенной величиной, определить вероятность того, что спутник а) проработает менее 5 лет; б) проработает не менее 10 лет; в) откажет в течение шестого года.
7.113. Время безотказной работы прибора подчиняется экспоненциальному распределению. Каким должно быть среднее время безотказной работы,
чтобы вероятность отказа за 200 ч не превысила 10 2?
7.114. Непрерывное случайное напряжение, принимающее значения в диапазоне от 10 В до 10 В, необходимо подвергнуть квантованию для представления в виде последовательности двоичных чисел. Определить а) минимальное число уровней квантования, необходимое для получения среднеквадратической ошибки квантования, меньшей 0,01 максимального значения напряжения; б) минимальное число уровней квантования, при котором обеспечивается выполнение требований предыдущего пункта, если оно должно
- 60 -
представлять целую степень числа 2; в) сколько двоичных разрядов потребуется для представления всех уровней квантования.
7.115. Радиостанция передает информацию в течение 10 мксек. Работа станции сопровождается наличием хаотической импульсной помехи, среднее
число импульсов которой за 1 сек составляет 104 . Для срыва передачи достаточно попадания одного импульса помехи в период работы станции. Считая, что число импульсов помехи, попадающих в данный интервал времени, распределено по закону Пуассона, найти вероятность срыва передачи информации.
7.116. Пусть 1, 2, , N – независимые одинаково распределенные СВ
|
|
1 |
M |
|
|
с одинаковыми распределениями вида |
F i (x) |
1 x k , |
1 k M , где |
||
|
|||||
|
|
M i 1 |
|
||
1(x) – функция единичного скачка (функция Хэвисайда). Найти функцию распределения, среднее значение и дисперсию наибольшей и наименьшей из СВ 1, 2, , N .
7.117. Для определения площади квадрата измеряют две его стороны с помощью одного и того же инструмента и результаты измерения перемно-
жают. С какой относительной среднеквадратической ошибкой нужно m1
измерять стороны квадрата, чтобы среднеквадратическая ошибка измерения площади была не более 1 %?
7.118. Пусть и случайные величины с конечными моментами вто-
рого порядка. Показать, что для любых значений А и В выполняется нера- |
|||||||||
венство: |
|
M A B 2 M A B 2 1 r , D , |
где |
||||||
|
|
cov , |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
A |
, B M A M , причем A 0 |
при D 0 . |
|
||||||
|
|
||||||||
0 |
|
D |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
7.119. |
Пусть и |
– |
независимые |
СВ, |
принимающие значения |
|||
x1, x2, , xn |
с вероятностями |
p1, p2, , pn |
и q1, q2, , qn соответственно. |
||||||
Найти вероятность события = . |
|
|
|
||||||
|
7.120. Система случайных величин и имеет распределение с ПВ |
||||||||
W , (x, y). |
Выразить через плотность W , (x, y) |
вероятности следующих |
|||||||
событий: > ; > | |; | | > ; > 7.
- 61 -
7.121. Независимые случайные величины и имеют равномерные распределения соответственно в интервалах [0, 1] и [ 1, 1]. Найти функцию распределения системы СВ ( , ).
7.122. Вычислить и построить двухмерную функцию распределения F , (x, y) независимых дискретных величин и , если случайная величина
принимает три возможных значения 0, 1 и 3 с вероятностями 1/2, 1/4 и 1/4, а два значения 0 и 1 с вероятностями 1/3 и 2/3.
7.123. Плотность распределения системы двух случайных величин и
имеет вид W , (x, y) |
|
|
|
A |
|
. Найти коэффициент А; вероят- |
|
|
|
|
|
||
|
x2 |
y2 |
x2 y2 |
|||
1 |
|
|||||
ность попадания величины |
( , |
) в квадрат, задаваемый неравенствами |
||||
1 x 1, 0 y 1; функции распределения F , x, y , F (x) , F ( y) ; плотности вероятностей W (x) и W ( y) . Зависимы ли случайные величины и ?
7.124. Плотность распределения системы двух случайных величин и имеет вид W , (x, y) A exp x2 6x y2 2 y 12 . Найти коэффициент А;
плотности вероятностей W (x) и W ( y) . Зависимы ли случайные величины и ?
7.125. Функция распределения двумерной случайной величины задана выражением F , (x, y) 1 exp ( x) exp ( y) exp ( x y), x > 0, y > 0.
Найти а) плотности вероятности W , x, y , W (x) и W ( y) ; б) вероятность попадания СВ в квадрат с вершинами: A(1, 1), B(0, 1), C(0, 0), D(1, 0).
7.126. Пусть отсчет шумового тока, протекающего через резистор сопротивлением R. Записать совместную плотность вероятности отсчетов тока и напряжения, если известна W (x) .
7.127. Независимые гауссовские случайные величины и имеют, соответственно, математические ожидания, равные 1 и 3, и дисперсии, равные
9 и 4. Найти W , x, y и F , x, y .
7.128. Что можно сказать о зависимости или независимости случайных величин, если их совместная плотность вероятности а) экспоненциально
- 62 -
убывает с квадратом расстояния от точки (x, y) до точки (a, b); б) экспоненциально убывает с абсолютной величиной того же расстояния?
7.129. Независимые случайные величины и подчинены показатель-
ным законам распределения W (x) e x , х > 0; |
W ( y) e y , y > 0. За- |
|
|
писать выражения для совместной ПВ W , (x, y) |
и ФР F , x, y системы |
случайных величин и . Найти вероятность совместного выполнения усло-
вий < 5, < 4.
7.130. Функция распределения системы СВ ( ,) равна F , x, y . Найти вероятность попадания
величины ( , ) в заштрихованную область (рис.
7.7).
y C
7.131. Найти вероятность попадания случайной точки (X, Y) в заштрихованную на рис.7.8 область. Координаты точки подчиняются распределению
WX , Y (x, y) |
|
1 |
exp( |
x2 |
y2 |
). |
|
|
|
|
||
2 2 |
2 2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7.132. Плотность распределения си- |
|
|||||||||||
стемы двух случайных величин и име- |
|
|||||||||||
ет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вид |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
|
|
W |
|
|
|
внутри эллипса |
|
|
|
1; |
||||
|
|
|
|
|||||||||
(x, y) |
6 |
|
|
|
|
9 |
|
4 |
|
|||
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0 за пределами эллипса. |
|
|
|||||||||
Доказать, что и – зависимые СВ.
7.133. Случайные величины x и y описываются
B |
|
0 |
A x |
|
Рис. 7.7 |
y R/3
R
x
2R/3
Рис.7.8
двухмерной плотностью
вероятности |
W , (x, y) |
1 |
|
exp ( |
x2 |
y2 |
2xyr |
|
За- |
||
|
|
|
|
) ch |
|
|
. |
||||
2 2 (1 |
r 2 ) |
|
|
2 2 |
(1 r 2 ) |
||||||
|
|
|
2 2 (1 r 2 ) |
|
|
||||||
висимы ли они при r = 0 ? При r 0 ? Каков их коэффициент корреляции?
- 63 -
7.134. Совместная ПВ двух случайных величин и задана выражением
|
|
1 |
|
|
|
(x 2) |
2 |
1,2(x 2)( y 3) ( y 3) |
2 |
|
|
(x, y) |
|
|
|
|
|
|
|||
W |
|
exp |
|
|
|
|
|
. Найти коэффи- |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
, |
|
1,6 |
|
|
|
|
|
1,28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
циент корреляции случайных величин и .
7.135. Система случайных величин и распределена с постоянной плотностью вероятности внутри квадратов со сторонами а и различным расположением (рис. 7.9 а, б, в). Записать выражение для совместной ПВ
W , (x, y) |
и плотностей вероятности W (x) |
и W ( y) . Построить ФР |
F , x, y |
системы. Определить, зависимы ли случайные величины и . |
|
Найти их коэффициент корреляции. |
|
|
y |
y |
y |
|
|
|
0 |
|
x |
0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
б |
с |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рис. 7.9
7.136. Совместная плотность вероятности двух случайных величин и равномерна в круге радиуса R а) с центром в точке (a, b); б) с центром в начале координат; и равна нулю за его пределами. Найти одномерные плотности вероятности и . Зависимы или нет эти величины? Каков их коэффициент корреляции?
7.137. Плотность вероятности системы случайных величин и W , (x, y) представляет собой прямой круговой конус. Основанием конуса
является круг с центром в начале системы координат и радиусом R. Вне этого круга совместная ПВ величин и равна нулю. Записать выражение для совместной ПВ W , (x, y). Найти плотности вероятности W (x) , W ( y) ,
W (x / y) , W ( y / x) . Определить, зависимы ли случайные величины и .
Определить, коррелированы ли случайные величины и .
- 64 -
7.138. Найти вероятность того, что составляющая Х двумерной случай-
ной величины примет значение X 12 , и при этом составляющая Y примет значение Y 13 , если известна функция распределения системы
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
FX , Y (x, y) |
|
|
arctg 2x |
|
|
|
|
|
|
arctg3y |
|
|
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7.139. Найти вероятность попадания случайной точки X , Y |
в прямо- |
||||||||||||||||||||||
угольник, ограниченный прямыми |
x , |
x |
, y , y , |
если известна |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
6 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
функция распределения F |
|
(x, y) sin xsin y , |
0 x , 0 y . |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
X , Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7.140. Найти вероятность выполнения неравенства x y , |
если СВ и |
||||||||||||||||||||||
|
exp ( x), x 0; |
|
|
W |
|
|
|
exp( |
|
y), y 0; |
|
||||||||||||
независимы и |
W (x) |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
, |
|
( y) |
|
2 |
|
|
2 |
|
, |
|||
|
0, x<0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, y<0 |
|
|
|
|
||||||
1, 2 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.141. Найти вероятность выполнения неравенства x y , |
если СВ и |
||||||||||||||||||||||
|
0,5, x 0, 2 ; |
|
|
|
|
1/ 3, y 0, 3 ; |
|
|
|
|
|
||||||||||||
независимы и W (x) |
0, 2 |
, W ( y) |
|
|
0, 3 |
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
0, x |
|
|
|
|
|
0, y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
7.142. Найти вероятность выполнения неравенства x y , |
если СВ и |
||||||||||||||||||||||
|
ax, x 0, 2 ; |
, W ( y) |
|
|
by, y 0, 3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
независимы и W (x) |
0, 2 |
|
|
|
|
0, 3 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
0, x |
|
|
|
|
|
0, y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7.143. Найти совместную плотность вероятности системы двух СВ и |
|||||||||||||||||||||||
по известной |
функции |
распределения |
|
|
F |
|
|
(x, y) |
1 e 2x 1 e 3y , |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x 0, y 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.144. Внутри прямоугольника, ограниченного прямыми |
x 0 , x |
, |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
y 0 , y 2 , плотность вероятности системы двух случайных величин и
- 65 -
W , (x, y) C sin( x y) ; вне прямоугольника W , (x, y) 0 . Найти величи-
ну С и совместную функцию распределения.
7.145. Система двух случайных величин и распределена равномерно: в прямоугольнике, ограниченном прямыми x = 4, x = 6, y = 10, y = 15, плотность вероятности W , (x, y)сохраняет постоянное значение, а вне этого
прямоугольника она равна нулю. Найти совместную плотность вероятности и функцию распределения.
7.146. Система двух случайных величин и имеет плотность вероятности W , (x, y) Axy в пределах области, ограниченной прямыми x + y = 1,
x = 0, y = 0. Найти а) величину A; б) средние значения, дисперсии и коэффициент корреляции случайных величин и .
7.147. Случайная точка А изображает объект на круглом экране радиолокатора единичного радиуса. Положение точки в пределах этого круга равновероятно. Найти совместную ПВ полярных координат (R, ) точки А. Зависимы ли случайные величины R и ?
7.148. Плотность вероятности системы двух случайных величин и
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
W , (x, y) |
4 x2 9 y2 |
. |
Найти величину С и функцию распределения |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
системы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.149. Двумерная СВ |
задана совместной |
плотностью |
вероятности |
|||||||||
|
|
|
|
|
exp 4x2 |
6xy 9 y2 . Найти условные законы распреде- |
||||||
W |
(x, y) |
3 |
|
3 |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ления составляющих и . |
|
|
|
|
|
|||||||
7.150. Плотность вероятности СВ имеет вид |
a exp (ax), x < 0; |
|
||||||||||
W (x) |
0, x 0, |
, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а условная ПВ величины |
|
x exp (xy), y 0, |
||||||||||
при условии = х W ( y / x) |
0, y < 0. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти безусловную плотность вероятности .
- 66 -
7.151. Найти условную плотность вероятности СВ при условии = х,
если известно, что W |
(x, y) |
1 |
|
|
exp ( |
x2 y |
2 2rxy |
) . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
, |
|
|
2 2 1 |
r 2 |
2 2 (1 r 2 ) |
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||
7.152. Совместная плотность вероятности системы двух случайных ве- |
||||||||||||
личин и равна W |
|
(x, y) |
1 |
exp 0,5x2 xy 2,5y2 |
. Найти плотности |
|||||||
|
|
|||||||||||
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
вероятности и ; плотность вероятности СВ Х = + ; совместную ПВ случайных величин Х = + и Y = .
|
7.153. Показать, что для независимых одинаково распределенных слу- |
||||||
чайных |
величин |
X, |
Y |
имеет |
место |
равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y 2WX ,Y x, y dxdy 2M 2 , |
где |
M 2 дисперсия рассматриваемых |
||||
величин.
7.154. СВ 1, 2, , n независимы и распределены по одному и тому же нормальному закону N(a, ). Найти совместную плотность вероятности
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
m |
|
|
системы двух случайных величин Х и Y, где X i , Y |
i , m < n. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
i 1 |
|
|
|
7.155. |
Совместная |
ПВ случайных |
величин 1 |
и 2 |
имеет |
вид |
|||||||
W (x, y) Asin( x y) , |
0 x , 0 y . Определить постоянную А. Выяс- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
нить, зависимы ли 1 |
и 2 . Найти ПВ и ФР, средние значения и дисперсии |
|||||||||||||
величин 1 |
и 2 . Вычислить их коэффициент корреляции. |
|
|
|||||||||||
|
7.156. |
|
Доказать, |
что |
для |
того, |
чтобы |
функция |
||||||
f (x, y) Aexp Bx2 2Cxy Dy2 , |
x, y R , |
могла быть плотностью вероят- |
||||||||||||
ности, необходимо выполнение следующих условий: B |
0, D |
0, |
||||||||||||
BD C 2 0 . |
Показать, |
что |
если эти условия |
выполняются, |
то |
|||||||||
|
|
|
B |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
1 |
C |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 67 -
7.157. Плотность вероятности случайных величин и имеет вид
|
|
|
C |
|
, x 1, y 1, |
|
|
W |
|
|
|
|
|
. Найти постоянную C, средние значения и ко- |
|
|
|
|
|
||||
(x, y) |
|
3 |
y |
3 |
|
||
, |
x |
|
|
|
|
||
|
|
0, x 1или y < 1. |
|
||||
вариацию величин и .
7.158. Бросаются два кубика. Пусть 1 – число очков на первом кубике, а 2 – максимальное число очков из выпавших на первом и втором кубиках. Записать совместную функцию распределения F 1, 2 x, y , найти средние значения, дисперсии и коэффициент корреляции СВ 1 и 2 .
7.159. Производится стрельба по точечной цели снарядом, зона разрушительного действия которого представляет собой круг радиуса R. Рассеивание точки попадания снаряда (X, Y) нормальное с параметрами m1 X m1 Y 0, X Y 2R . Центр рассеивания совпадает с целью. Сколько выстрелов нужно произвести для того, чтобы разрушить цель с вероятностью Р = 0,9?
7.160. Доказать, что для независимых случайных величин и выполняется соотношение D D D .
7.161. Какому условию должны удовлетворять независимые случайные величины и , чтобы выполнялось равенство D D D ?
7.162. Совместная плотность вероятности совокупности трех СВ , и
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x2 4 y2 2 y(z 5) (z 5) |
2 |
|
имеет вид |
W |
(x, y, z) |
3 |
|
|
exp ( |
). По- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
, , |
|
|
2 |
|
|
8 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
16 3 |
|
|
|
|
|
|||
строить корреляционную матрицу случайных величин , и .
7.163. Каждая из двух случайных величин и принимает лишь два значения a и а. Вероятности всех сочетаний значений и даны в табл.7.1. Являются ли и независимыми? Каков их коэффициент корреляции?
Таблица 7.1
- 68 -
|
a |
a |
a |
a |
|
|
|
|
|
|
a |
a |
a |
a |
|
|
|
|
|
p |
1/8 |
3/8 |
3/8 |
1/8 |
7.164. Случайные величины и принимают значения из множеств{0, 2, 2} и {0, 1, 4} соответственно. Вероятности различных сочетаний даются табл.7.2. Зависимы ли эти случайные величины? Каков их коэффициент корреляции?
Таблица 7.2
|
2 |
2 |
2 |
0 |
0 |
0 |
2 |
2 |
2 |
|
0 |
1 |
4 |
0 |
1 |
4 |
0 |
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
1/16 |
1/16 |
1/4 |
1/8 |
1/16 |
1/16 |
1/16 |
1/16 |
1/4 |
7.165. Экспериментатор интересуется, находятся ли измеряемыми нормальные случайные величины и в статистической зависимости. Результат каждого измерения он наносит как точку на координатную плоскость X0Y. Каков будет ответ на его вопрос, если после многократных измерений получились поля точек, приведенные на рис.7.10, а г? Указать знаки коэффициента корреляции во всех случаях.
y |
y |
0 |
x |
0 |
x |
|
a |
|
б |
y |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
x |
0 |
|
x |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
г |
||
Рис.7.10
- 69 -