Фед_задачник_итог

7.40. Как определяются дисперсии суммы и разности двух независимых

СВ?

7.41. Как определяются дисперсии суммы и разности двух зависимых

СВ?

7.42. Чему равна дисперсия линейной комбинации попарно независимых

СВ?

7.43.Как определяются смешанные центральные моменты распределения для совокупности дискретных и непрерывных СВ?

7.44.Что такое ковариация случайных величин X и Y? Что она показы-

вает?

7.45.Что такое коэффициент корреляции? Какие значения он может принимать? Что означает r = –1; 0; 1?

7.46.Доказать, что независимые СВ некоррелированы.

7.47.Всегда ли независимые случайные величины являются некоррелированными?

7.48.Всегда ли некоррелированные случайные величины являются независимыми?

7.49.Какие случайные величины называются ортогональными?

7.50.Как в общем случае решается задача отыскания ПВ совокупности функционально преобразованных СВ?

7.51.Какие распределения называются устойчивыми? Приведите при-

меры.

7.2.Задачи

7.1.Существует ли ПВ, соответствующая характеристической функции

(v) e jv ? При утвердительном ответе найдите моменты распределения СВ

стакой характеристической функцией.

7.2.Доказать следующие свойства характеристической функции: (v)

- 43 -

7.13. Найти характеристическую функцию (v) случайной величины ,

ской функцией некоторой случайной величины. Найти ФР и ПВ, соответствующие этой ХФ, а также m1 и M 2 .

непрерывной СВ представлен на рис. 7.1. Найти аналитические выражения плотности вероятности и функции распределения этой СВ.

личины . Найти вероятность того, что случайная величина примет значения от 0,1 до 0,8.

- 45 -

7.21. Функция распределения случайной величины имеет вид

величины . Найти вероятность того, что случайная величина примет значения от 2 до 4.

W (x) exp ( x ), < x < , где и постоянные величины. Опреде-

лить условия, которым должны удовлетворять и . Записать в аналитическом виде выражение для функции распределения. Построить графики плотности вероятности и функции распределения.

7.25.В круг радиуса R случайным образом поставили точку. Вероятность попадания точки в любую область, расположенную внутри круга, пропорциональна площади этой области. Найти ФР, ПВ, математическое ожидание и дисперсию расстояния от данной точки до центра круга.

7.26.На окружности радиуса R с центром в начале координат случайным образом поставили точку. Полярный угол попадания точки при этом равно-

мерно распределен в интервале [ , ]. Найти ПВ абсциссы этой точки.

- 46 -

Найти вероятность того, что проекция точки на диаметр находится от центра окружности на расстоянии, не превосходящем половину радиуса.

7.27.Случайная величина x удовлетворяет неравенству 1 x 1, причем в интервале от 1 до 1 она распределена равномерно, а каждое из значений 1 и +1 принимает с вероятностью 0,25. Найти и построить функцию распределения и плотность вероятности случайной величины x. Найти вероятность того, что х окажется в интервале от 0,5 до 2.

7.28.Случайная величина распределена по за-

7.29. Во сколько раз дисперсия случайной величины, равномерно распределенной на интервале [-a, a], больше дисперсии случайной величины, подчиняющейся закону Симпсона на том же интервале?

7.30. Cлучайная величина распределена по закону “прямоугольного треугольника” в интервале (0, а). Рассмотреть случаи, показанные на рис. 7.4, а и рис. 7.4, б. Записать аналитические выражения для плотности вероятности и функции распределения СВ . Вычислить ее математическое ожи-

- 47 -

7.31. Найти и построить плотность вероятности и функцию распределения, определить начальные и центральные моменты 1-го и 2-го порядков случайной величины, равновероятно принимающей значения от а до b.

7.32. Случайная величина подчинена экспоненциальному закону рас-

пределения с параметром : W (x) e x , х > 0. Построить график ПВ;

найти ФР F (x) и построить ее график; определить вероятность того, что СВ примет значение меньшее, чем ее математическое ожидание.

7.33.Случайная величина подчинена закону Лапласа W (x) ae x ,

>0. Найти коэффициент а; построить графики ПВ и ФР; вычислить моменты распределения m1 , D .

7.34. Показать, что функция вида W (x) Axk exp 2 x2 при х > 0 (А > 0, > 0, k = 1, 2, 3, …) обладает свойствами плотности вероятности. Определить параметры А и , исходя из заданного математического ожидания m1 . Найти дисперсию D .

7.35. Случайное напряжение может принимать два возможных значения U1 и U2, причем U2 > U7. Вероятность того, что примет значение U1, равна 0,7. Записать плотность вероятности и функцию распределения слу-

чайной величины , если известно, что m1 1 B, D 4 B2 .

7.36. Среднее значение и дисперсия равномерно распределенной случайной величины равны соответственно 6 и 12. Найти наибольшее и наименьшее значения этой случайной величины.

7.37. Показать, что функция f(0, t) = 0, f (n, t) e t 1 e t n 1, n = 1,

2, …; t > 0 представляет закон распределения вероятностей дискретной случайной величины , принимающей значения п = 0, 1, 2, … . Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

7.38. Случайная величина R расстояние от точки попадания до центра мишени распределена по закону Рэлея WR (r) Ar exp h2r 2 , r > 0. Найти коэффициент A; вычислить моду СВ R и ее моменты распределения m1 и

- 48 -

D ; определить вероятность того, что в результате выстрела расстояние от точки попадания до центра мишени окажется меньше, чем мода.

7.39. Какая из числовых характеристик (мода, медиана или математическое ожидание) случайной величины, имеющей плотность вероятности

7.41. Найти коэффициенты асимметрии и эксцесса для СВ, имеющих

7.42. Случайная величина с вероятностью p1 имеет плотность вероятности W1 (x) , а с вероятностью p2 = 1– p1 – плотность вероятности W2 (x) .

Записать выражения для плотности вероятности и функции распределения СВ , найти ее среднее значение и дисперсию.

7.43. Случайные величины и нормально распределены, имеют одинаковые по величине и противоположные по знаку математические ожидания и равные дисперсии. Одна из величин, неизвестно какая (выбор равновероятен), получила значение х. Найти закон распределения х. Построить графики плотности вероятности х при m1 = m1 1, D D 1, а также при m1 = m1 1, D D 0,5 . При каком соотношении между m1 и D распределение унимодально? При каком – бимодально?

7.44. Случайная величина с вероятностью p1 имеет плотность вероятности W1 (x) , а с вероятностью p2 – плотность вероятности W2 (x) , …, с

n

вероятностью pi – плотность вероятности Wi (x) , i = 1, 2, …, n, pi 1.

i 1

Найти плотность вероятности случайной величины .

- 49 -