Фед_задачник_итог

6.12. Иногда для оценки степени зависимости событий A и B используют коэффициенты регрессии и корреляции определяя их следующим образом:

– коэффициент регрессии события B относительно события A

где A и B – события, противоположные событиям A и B соответственно. Для условий задачи 6.7 найти коэффициенты B, A , A, B и r A, B .

6.13. С помощью теорем де Моргана убедиться в справедливости следующих формул:

6.14. Сообщение состоит из n различных сигналов Sic t , образую-

щих некоторую упорядоченную последовательность. На сообщение накладывается помеха, образованная n различными сигналами S jп t , располо-

жение которых в последовательности помеховых сигналов равновозможны (все варианты расположения элементов последовательности S jп t равно-

вероятны). Сигналы Sic t и S jп t при i j ортогональны и при их нало-

жении ошибки в приеме сигнального элемента не происходит. При i j возникают искажения элемента сообщения. Рисунок 6.1 иллюстрирует изложенное для n 5

- 30 -

Рис. 6.1

Искажен элемент S 2c сигнальной последовательности.

Найти вероятность того, что будет искажено m элементов сигнальной последовательности 0 m n .

6.15. В процессе монтажа прибора к n зажимам надо присоедиить m n проводников. Найти вероятность правильного присоединения для двух следующих случаев:

а) монтажнику ничего не известно о схеме соединения; б) ему известно, что к каждому зажиму присоединен хотя бы один провод.

Примечание. При решении задач данной главы используются следующие комбинаторные соотношения:

– число перестановок по m элементов из n различных элементов, в которых

n!

каждый элемент используется только один раз, равно n m ! , а число пере-

становок из n различных элементов n m равно n!, так как 0! 1;

– число перестановок по m элементов из n различных элементов, в которых каждый элемент может использоваться любое (от 0 до m ) число раз равно nm ;

– число сочетаний из n различных элементов по m элементов равно

6.16. Самолет, имеющий РЛС с радиусом действия по подводной лодке R , летит на высоте h R со скоростью V. Подводная лодка может всплыть на время T в любой точке достаточно большого района площадью S . Считая, что лодка обнаруживается с вероятностью p при попадании ее в зону действия РЛС, найти вероятность ее обнаружения самолетом.

6.17. Двухмоторный самолет считается сбитым, если достигнуты попадания ракет в кабину летчика, либо в оба двигателя. Какова вероятность

- 31 -

уничтожения самолета при попадании в него одной, двух и трех ракет, если попадания ракет в самолет являются независимыми событиями, а условные вероятности попадания в кабину, в левый двигатель, в правый двигатель и в фюзеляж равны соответственно p к , p д , p д , p ф , причем pк 2 p д p ф 1?

Указание. Воспользоваться деревом (графом) возможных исходов.

6.18. Вероятность осуществления события в одном испытании p . Вероятность того, что событие осуществляется хотя бы один раз при двух независимых испытаниях, равна 0,75. Найти вероятность p .

6.19. Студент не успел подготовиться к экзамену и может ответить не по всем билетам. Когда ему следует тащить билет – первым или последним?

6.21. Какова вероятность того, что сумма двух наугад взятых положительных чисел, каждое из которых не больше единицы, не превзойдет единицы, а их произведение будет не больше 29 ? Результат проверить с помощью моделирования на компьютере, используя программу формирования независимых равномерно распределенных на отрезке 0, 1 случайных чисел.

6.22. Прямоугольная решетка состоит из цилиндрических прутьев радиуса r . Расстояния между осями прутьев равны соответственно a и ba, b 2r . Определить вероятность попадания (касания) шарика диаметром d в решетку при одном бросании наугад (без прицеливания). Траектория полета шарика перпендикулярна плоскости решетки.

6.23.На окружность радиуса R наугад поставлены три точки A , B , C . Какова вероятность того, что треугольник ABC будет остроугольным, прямоугольным?

6.24.Стержень длины 1 произвольным образом разламывается на три части x, y, z рис. 6.2. Найти вероятность того, что из получившихся частей

можно составить треугольник.

- 32 -

1

Рис. 6.2

6.25.Определить вероятность того, что выбранное наугад целое число N при возведении в квадрат даст число оканчивающееся единицей.

6.26.Сколько нужно взять чисел из таблицы случайных чисел, чтобы с вероятностью не менее 0,9 быть уверенным в том, что среди них хотя бы одно четное число?

6.27. В круг радиуса R вписан равносторонний треугольник. Какова вероятность того, что четыре наугад поставленные в круге точки окажутся внутри треугольника?

6.28.Доказать, что из условия P B A P B A следует независимость событий A и B .

6.29.В каких случаях имеет место равенство P A P A B P AB ?

6.30. Три охотника одновременно выстрелили в кабана, который был убит одной пулей, принадлежность которой охотникам не определить. В какой пропорции охотники должны разделить мясо убитого кабана, если вероятность попадания для них равны 0,2; 0,6 и 0,8?

6.31. Некий курильщик положил в карман две коробки спичек по n штук в каждой. При очередном прикуривании он наугад достает одну из коробок и извлекает из нее спичку. Какова вероятность того, что когда он обнаружил, что вынутая коробка пуста, во второй осталось k спичек 0 k n ?

6.32. Имеются две параллельных провода электрической линии длины l , расстояние между которыми d l . Известно, что на каждой линии имеется разрыв, положение которого равновероятно в пределах отрезка 0, l . Поло-

жения разрывов на линиях независимы. Найти вероятность того, что расстояние между точками разрыва R будет меньше заданного значения a

d a l2 d 2 см. рис. 6.3.

- 33 -

Рис. 6.3

6.33. Сообщение передается с помощью n символов. При приеме из-за наличия помех символ воспринимается ошибочно с вероятностью p (независимо от других). Для повышения надежности сообщение дублируется (передается k раз). Найти вероятность того, что хотя бы одно сообщение будет принято безошибочно (не будет искажен ни один символ).

6.34. Передается сообщение, состоящее из n двоичных символов «0» или «1». Каждый символ при приеме с вероятностью p может быть искажен (принят как противоположный). Для повышения достоверности сообщение передается дважды и, если принятые сообщения совпали, принимается решение о правильном приеме сообщения. Найти вероятность того, что, несмотря на совпадение сообщений оба они оказались ошибочными.

6.35. Техническая система состоит из n последовательно включенных блоков, надежность (вероятность правильной работы) каждого p . Выход из строя хотя бы одного блока ведет к отказу всей системы. Для повышения надежности системы выделено n таких же блоков. Надежность соединения блоков полное. Определить, какой способ дублирования даст большую надежность работы системы: а) дублирование каждого блока (рис. 6.4 а); б) дублирование всей системы (рис. 6.4. б).

Рис. 6.4 а

- 34 -

Рис. 6.4 б

6.36. В технической системе дублированы не все, а только наименее надежные узлы. На рисунке представлена структура системы с указанием в квадратах вероятностей безотказной работы. Определить вероятность отказа системы.

6.37.Система состоит из трех последовательных включенных узлов, выполняющих одинаковые функции, но имеющих вероятности отказа: 0,3; 0,03; 0,01 соответственно. Для повышения надежности выделены два узла с вероятностями отказа 0,01 для каждого. Предложите схему дублирования (схему включения выделенных узлов), обеспечивающую максимум вероятности безотказной работы. Найти эту вероятность.

6.38.Какие из перечисленных ниже исходов игры двух противников одинаковой силы (вероятность выигрыша для каждого из них равна 0,5) более вероятны

ты всех узлов. Предложено для вычисления вероятности отказа прибора за-

наковыми). Как это скажется на определении вероятности безотказной работы прибора?

- 35 -

Указание: воспользоваться тем, что среднее геометрическое не равных между собой положительных величин a1,а2, ..., аn меньше, чем их среднее арифме-

6.40.Группа из 25 студентов состоит из 5 отличников, 10 успевающих на хорошо и отлично и 10 слабых студентов. На предстоящем экзамене отличники могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Студенты сдают экзамен в случайном порядке. Какова вероятность того, что отвечающий студент получит оценку отлично; хорошую или отличную; неудовлетворительно.

6.41.Имеется три канала связи, сообщения по которым распределяются случайным образом (с равной вероятностью). Вероятность искажения сообщения при его передаче по первому каналу равна p1, по второму p2 , по тре-

тьему p3 . Выбран какой-то канал и по нему передано k сообщений; ни одно из них не было искажено. Найти вероятность того, что (k + l)-e сообщение, переданное по тому же каналу, не будет искажено.

6.42.Какова вероятность того, что наугад взятое целое число будет кратно натуральному числу n ? Найти вероятность того, что наугад выбранное число будет простым?

6.43.В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что два наугад взятых натуральных числа окажутся взаимно простыми (не делятся друг на друга).

6.44.По линии связи передается цифровой текст. В силу характера передаваемой информации и свойств языка, с которого эта информация кодируется цифрами, вероятность появления в принимаемом тексте отдельных цифр различна и задана следующей таблицей:

- 36 -