Фед_задачник_итог
.pdf7.Приведите примеры интегральных операторов Фредгольма и Вольтерра. Сформулируйте требования, предъявляемые к ядрам этих операторов.
8.Дайте определение суммы операторов, произведения и функции от оператора.
9.Какой оператор называется разрешающим, или резольвентой, для оператора А?
10.Что такое спектр оператора, дискретный спектр, собственные зна-
чения?
11.Что такое собственные вектора оператора А?
12.Приведите примеры линейных дифференциальных операторов.
13.Дайте определение линейного функционала. Приведите примеры
для Rn и C[a, b].
14.Поясните геометрический смысл линейного функционала.
15.Как можно представить любой линейный функционал в гильбертовом пространстве Н?
16.Как определяется норма линейного функционала?
17.Как определяется оператор А*, сопряженный оператору А?
18.Приведите примеры линейных сопряженных операторов для Rn и L2.
19.Что такое квадратичная форма? Приведите примеры для Rn и L2.
20.Дайте определение самосопряженного оператора. Приведите при-
меры для Rn и L2.
21.Что такое положительно (неотрицательно) определенная квадратичная форма?
22.Как формируются условия для положительно определенной квадратичной формы в Rn?
23.Сформулируйте свойства собственных значений и собственных векторов самосопряженных операторов.
24.Что такое нормальный оператор, унитарный оператор?
25.Как определяется понятие дельта-функции и ее производных?
26.В чем состоит «фильтрующее» свойство дельта-функции и ее производных?
27.Как определяется оператор проектирования? Приведите примеры.
28.Дайте определение оператора Фурье. Докажите, что он является унитарным оператором.
-20 -
29.Сформулируйте основные свойства оператора Фурье (теоремы о спектрах).
30.Какие функции являются собственными для оператора Фурье?
44.Дайте определение оператора Гильберта.
45.С помощью оператора Гильберта определите огибающую сигнала, его фазу и мгновенную частоту.
46.Докажите, что оператор Гильберта унитарен.
47.Определите коэффициент передачи фильтра, реализующего преобразование Гильберта.
48.Докажите, что исходный сигнал s(t) и преобразованный по Гильбер-
ту s (t) ортогональны.
49.Дайте определение узкополосного сигнала.
50.Для узкополосного сигнала определите понятие комплексной огиба-
ющей.
5.2.Задачи
5.1.Выяснить, какие из отображений A , заданных в R3 и приведенных
ниже, являются линейными операторами:
а) Ax x a , где a – фиксированный ненулевой вектор;
б) Ax a, x a ;
в) Ax a, x x ;
г) Ax x12, x2 x3, x32 ;
д) Ax sin x1, cos x2, 0 , где x x1, x2, x3 .
Примечание: часто сумму линейного оператора и фиксированного вектора называют линейным неоднородным оператором.
5.2. Будут ли на множестве всех многочленов от t линейными операторами:
а) умножение на t ;
б) умножение на t2 ;
в) дифференцирование?,
а на множестве многочленов степени не выше n ?
- 21 -
5.3. В пространстве всех многочленов P t от t |
оператор A определён |
|
как оператор дифференцирования, т. е. |
|
а оператор B как умно- |
AP(t) P (t) , |
||
жение на независимую переменную t , т. е. BP(t) tP(t) . Имеет ли место равенство AB BA? Чему равен оператор AB BA?
5.4.В предположении, что AB BA доказать справедливость утверждения A B 2 A2 2AB B2 .
5.5.Выполняется ли для оператора временного селектирования D
|
S t , |
t 0,T |
|
|
|
|||
DS t |
|
|
|
|
|
и |
оператора |
полосовой фильтрации B |
0, |
|
t 0,T |
||||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
~ |
|
|
~ |
|
BS t |
|
s |
j e j td , |
|
где s j s t e j tdt , соотношение |
|||
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
DB BD ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
5.6. Оператор поворота вектора на плоскости на угол определяется |
||||||||
матрицей A |
cos |
sin |
. Найти матрицу оператора A2 . Какая матрица |
|||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
sin |
cos |
|
|
|
будет определять оператор An ?
5.7. Выяснить, какие из приведённых ниже преобразований, определённых оператором A , заданных с помощью задания координат вектора Ax как функции координат вектора x в одном и том же базисе являются линейными. В случае линейности найти матрицу оператора
а) Ax x2 x3, 2x1 x3, 3x1 x2 x3 ; б) Ax x1, x2 1, x3 2 ;
в) Ax 2x1 x2, x1 x3, x32 ; г) Ax x1 x2 x3, x3, x2 .
5.8. Показать, что на множестве всех многочленов с вещественными коэффициентами степени не выше n дифференцирование является линей-
ным оператором. Найти матрицу этого оператора в базисе tk , k 0, 1, ..., n .
- 22 -
5.9 Линейный оператор |
A определён матрицей |
|
1 |
1 |
. Найти мат- |
A |
|
|
|||
|
|
|
0 |
1 |
|
рицу оператора An .
5.10. Какие из приведённых ниже функционалов в комплексном евклидовом пространстве являются линейными
а) |
|
x a |
|
; |
б) |
|
x a |
|
|
|
x a |
|
; |
в) x, a x x, a ; |
г) a, a x |
|
|
|
a |
|
|
|
2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) a x, a 
a
2 .
5.11. Известно,что оператор |
A2 |
|
0 |
0 |
|
. Найти матри- |
задан матрицей |
0 |
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
цу оператора A .
5.12. Оператор A , заданный на множестве квадратных матриц B состоит в образовании суммы диагональных элементов матрицы B , называемой следом матрицы и обозначаемым как spB , т. е. AB spB b11 b22 ... bnn . Является ли данный оператор линейным? Проверить справедливость фор-
мул sp C + D sp spD и |
s p C D s p |
D C, где C и D – квадратные |
|
матрицы одного порядка на B . |
|
|
|
5.13. Доказать, что если x и y – собственные векторы оператора A с |
|||
различными собственными |
значениями |
1 2 , то вектор |
x y |
0, 0 не является собственным вектором оператора A .
5.14.Показать, что если линейный оператор A имеет собственный вектор x с собственным значение , то для оператора A2 вектор x также является собственным с собственный значением 2 .
5.15.Пусть A – оператор поворота вектора на плоскости на угол 2 .
Найти собственные значения данного оператора. Дать геометрическую трактовку полученному результату.
5.16. Показать, что оператор Af t tf t , где f t L2 a,b , не имеет собственных значений, а его спектром служит весь отрезок a,b значений .
- 23 -
5.17. Пусть A и B – ограниченные линейные операторы в вещественном Гильбертовом пространстве H . Показать, что для сопряженных опера-
торов A* и B* имеют место следующие свойства:
а) операторы A* и B* линейны;
б) A B * A* B*;
в) A * A*; где – скаляр;
г) A B * A* B*, где и – скаляры;
д) AB * B*A*;
е) A* * A ;
ж) E* E , где E – единичный оператор.
5.18. Показать, что для самосопряженного оператора A и x и y ,
принадлежащих области его определения yт Ax xт Ay .
5.19. Убедиться в том, что оператор поворота вектора на плоскости на
угол , задаваемый матрицей |
cos |
sin |
, является унитарным. На |
|
A |
|
|
||
|
|
sin |
cos |
|
его примере убедиться в том, что для матрицы унитарного оператора V выполняются следующие условия:
а) столбцы и строки матрицы V образуют ортогональную систему векторов;
б) все ее собственные значения по модулю равны единице.
5.20. На примере оператора поворота вектора на плоскости на угол (см. задачу 5.19) аналитически проверить, что действие унитарного оператора на любые два вектора x и y из области определения оператора не меняет скалаярного произведения и 
V x
x
.
5.21. Считая дельта-функцию t четной, т.е. t t и полагая ее среднюю мощность на бесконечном интервале равной единице, т. е.
1 T 2
lim t dt 1, убедиться в справедливости следующих утверждений:
T T T
- 24 -
|
|
|
|
|
|
|
а) Для произвольной функции s t |
s t t t0 s t0 t t0 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
б) at |
|
|
1 |
|
|
t , |
a const 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f t |
, |
t a, b |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
в) |
f t t t0 dt |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
t a, b |
, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f 0 |
, |
t0 a, b |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f t a t dt |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t0 a, b |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
г) |
Средняя мощность |
t |
на конечном |
симметричном интервале |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
2 |
|
|
2 |
t |
d t lim |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
T |
|
|
|
t 0 T t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
д) Две дельта – функции с различными временными сдвигами ортого- |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t1 t2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
t t |
t t |
|
d t |
0, |
||||||||||||
нальны в смысле lim |
|
|
|
|
|
|
|
1, |
t t |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T T |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
5.22. Записать с помощью дельта-функции выражение для бесконечно |
|||||||||||||||||||||||||||||
малого элемента сигнала s t |
в окрестности точки t (см. рис. 5.1). Счи- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
тая, что реакция линейной системы на t |
есть импульсная характеристика |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
h t , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
S |
t |
t |
|
|
Рис. 5.1. |
|
записать выражение для выходного сигнала в момент времени t для установившегося режима, для случая, когда входной сигнал s t начинает воздей-
- 25 -
ствовать на систему начиная с момента времени t0 . Считать линейную си-
стему стационарной и физически реализуемой h t 0, t 0 . Как изме- |
||
нится результат для физически нереализуемой системы? |
||
5.23. Найти производную для сигнала вида 1 t s t , где s t – диффе- |
||
ренцируемая функция, а 1 t |
– функция Хевисайда. |
|
5.24. Считая, что |
s t |
– финитная дифференцируемая функция, т. е. |
s t 0 при t a,b , |
с помощью интегрирования по частям убедиться в |
|
справедливости выражений
b |
n |
t d t 1 |
n |
|
n |
0 и |
b |
n |
t t0 d t 1 |
n |
|
n |
t0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
s t |
|
f |
|
s t |
|
f |
|
|||||||
a |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
при a t0 b .
5.25. Пользуясь равенством Парсеваля и теоремами о спектрах, опреде-
|
|
|
|
|
s2 t dt |
лить энергию |
E |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
s2 |
t Um |
sin t |
. |
Доказать, |
|
|
|||||
|
t |
|
|
|
|
для |
сигналов s1 t |
Um |
sin t |
и |
|
|
|||||
t |
|||||
|
|
|
|
||
что |
система функций |
Котельникова |
|||
|
|
|
|
|
|
|
sin t k t |
, где t |
|
||||
|
|
|
|
, |
||
t k t |
|
|||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
ортогональную систему.
5.26.Установить
k 0, 1, 2, ..., образует на интервале ,
связь |
между |
преобразованием |
Фурье |
|
s t e j t d t |
|
|
Fs t |
и преобразованием Хартли Cs t |
s t cas t dt , |
|
|
|
|
|
где cas t cos t sin t . Записать теоремы о спектрах для преобразования Хартли.
5.27. Вычислить преобразование Фурье и преобразование Хартли для приведенных ниже сигналов:
- 26 -
Um, s t
1
0,
|
|
|
|
|
|
t |
u , |
u |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
t |
u |
, |
u |
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
2 |
|
||
s |
t U |
|
|
sin t |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Um cos |
|
t, |
t |
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|||||||||||||
s5 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
s7 t Um |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
U |
m |
, |
|
|
t 0, |
|
|
|
|
|||||||
s2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
||
t |
0, |
|
|
|
|
t 0, |
, |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
t |
, |
0, |
t 0 |
|
|||||||
s4 |
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
t |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
t |
0 |
|
|
, |
|||
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
t U |
m |
e |
|
t |
|
, |
|
0 , |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
5.28. Записать выражение |
для коэффициента корреляции |
сигналов |
||||||||
s1 t |
|
s2 t 12 |
|
|
|
1 |
|
|
|
s1 t s2 t d t через их Фурье |
|
и |
|
|
|
|
|
|
спектры |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
E1E2 |
|
|
||||
~ |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s1 j |
и s2 j . Как выглядит эта связь для корреляционной функции сиг- |
||||||||||
|
s t , равной K |
1 |
|
s t s t d t ? |
|
||||||
нала |
|
|
|||||||||
E |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5.29. С помощью обобщенного равенства Парсеваля или теоремы о свертке установить связь между преобразованиями Гильберта и Фурье.
5.30. Используя результат задачи 5.29, найти преобразование Гильбер-
та |
для |
s |
t |
U |
|
cos t , |
s |
t U |
|
sin t |
, |
s |
t U |
|
t , |
m |
m |
|
m |
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
0 |
2 |
|
t |
|
3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s4 t Um t t 0 |
t 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5.31. Найти n - ую степень оператора Гильберта H n .
5.32. Как меняется корреляционная функция сигнала при преобразовании Гильберта?
- 27 -
5.30. Записать частотно – временную функцию неопределенности
, F |
|
1 |
|
S t S* t exp j 2 F t dt |
|
, где S t – комплексная огиба- |
|
|
|
||||||
|
|
|
|||||
2E |
|||||||
|
|
|
|
|
|
ющая сигнала s t , с помощью интеграла в частотной области.
Глава 6. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
6.1.Контрольные вопросы
1.Дайте определение случайного события?
2.Что понимают под достоверным событием, невозможным событием?
3.Что понимают под суммой (объединением), произведением (пересечением) случайных событий?
4.Какие события называют несовместными?
5.Какие события называются противоположными?
6.Какие случайные события образуют полную группу?
7.Что называют вероятностью случайного события?
8.Как формулируется теорема сложения вероятностей?
9.Как формулируется теорема умножения вероятностей?
10.Запишите формулу полной вероятности.
11.Сформулируйте теорему гипотез (формулу Байеса).
6.2. Задачи
6.1. Трехзначное число образовано случайным выбором трех цифр из набора цифр 1, 2, 3, 4, 5. Какова вероятность того, что в результате выбора мы получим число с неповторяющимися цифрами и оно будет:
а) четное, б) нечетное, в) будет делиться на 5?
6.2. Бросаются две игральные кости (кубики). Найти вероятность того, что число очков на одной кости в два раза больше числа очков на другой; на одной кости выпало 5 очков, а на другой меньше 5 очков.
6.3. В ящике в 5 раз больше красных шаров, чем черных (шары отличаются только цветом). Наугад вынимается один шар. Какова вероятность того, что он будет красным. Можно ли в условиях данной задачи найти вероят-
- 28 -
ность выбора подряд двух красных шаров для выборки с возвратом вынутого шара и без возврата.
6.4. Пусть p – вероятность осуществления некоторого события в одном испытании. Доказать, что вероятность осуществления данного события хотя бы один раз в серии по N независимых испытаний равна 1 1 p N .
6.5. Из чисел 1, 2, 3, 4, …, 10 наугад выбираются два числа. Какова вероятность того, что их сумма будет четной?
6.6. В квадрате с вершинами в точках (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) проведена дуга окружности с центром в точке (0, 0) и радиусом 1. Как, используя таблицу случайных чисел или программу для их формирования и метод МонтеКарло, оценить число ?
6.7. Известно, что P A 0,4, P B 0,3 и P A B 0,2. Найти веро-
ятность следующих событий: A B , |
|
, |
|
|
, |
|
B , A |
|
, |
|
|
|
. |
|
A |
|
B |
A |
B |
A |
B |
||||||||
6.8. Вероятности двух |
событий |
A и B связаны соотношением |
||||||||||||
P B P A 2 . Кроме того, |
A B и |
|
A B , где – множество эле- |
|||||||||||
ментарных событий (полное пространство событий), а – невозможное собы-
тие. Найти P A .
6.9. Событие C в два раза более вероятно, чем событие A , а событие B столь же вероятно, как события A и C вместе. События A , B , C несовместны, а их объединение (сумма) совпадает с пространством элементарных событий. Найти P A , P B и P C .
6.10. Команды A и B играют между собой до тех пор, пока одна из команд не выиграет 4 игры. Пусть вероятность победы команды A равна p , а команды B соответственно, q 1 p (ничьи исключаются, команды играют до победы). Какова вероятность того, что поединок закончится после N игр победой команды A ?
6.11. Доказать, что если A и B – несовместные события и P A B 0 ,
то
P A A B P A . P A P B
- 29 -