Фед_задачник_итог

p норма вектора x x1, x2, ..., xn , определенная выше, превращается в

__________________________________________________________________

* Более подробно с итерационными методами решения систем линейных уравнений можно ознакомиться в монографии Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н., «Вычислительные методы линейной алгебры» М.: Физматгиз. 1960..

- 10 -

Глава 3. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

3.1.Контрольные вопросы

1.Дайте определение линейного пространства.

2.Приведите примеры линейных пространств.

3.Дайте определение линейной комбинации векторов из L.

ei , i = 1, 2, …, n; ei L.

5.Как определяется размерность линейного пространства?

6.Дайте определение базиса конечномерного ЛП.

7.Как определяется базис для бесконечномерных метрических ЛП?

8.Приведите примеры базисных систем для различных линейных пространств.

9.Дайте определение линейного подпространства.

10. Что называется линейной оболочкой системы векторов ei , i = 1,

2, …, n?

11. Что является линейной оболочкой системы базисных векторов?

3.2.Задачи

3.1.Образует ли совокупность векторов на плоскости, начала которых расположены в начале координат, а концы не выходят за пределы первой четверти, линейное пространство (ЛП)?

Внимание, операции сложения векторов и умножения на скаляр – обычные.

3.2.Образует ли ЛП совокупность всех векторов на плоскости с исключением векторов параллельных оси Х?

Внимание, как и в 3.1, имеются в виду обычные операции над векторами.

3.3.Образует ли линейное подпространство совокупность векторов на плоскости, начало которых лежит в точке (1, 1), а концы не выходят за пределы квадрата с вершинами в точках (1, 1), (1, 2), (2, 2) и (2, 1)?

3.4. Пусть элементами множества P являются положительные вещественные числа. Операция сложения элементов P определяется как их перемножение, а умножение на скаляр P – как возведение в степень . Является ли P с введенными операциями ЛП?

- 11 -

16.Запишите неравенство Бесселя. Дайте ему геометрическую и физическую трактовку.

17.Дайте определение классических ортогональных многочленов.

18.Постройте первые три полинома Лагерра (L0(t), L1(t), L2(t)). Интер-

вал ортогональности (0, ), весовая функция p(t) = e t .

19. Докажите эквивалентность систем функций 1, cos kt, sin kt , k =

1, 2, и e jkt , k 0, 1, 2, .

20.Докажите ортогональность системы 1, cos kt, sin kt , k 1, 2, на

отрезке [– , ]. Превратите ее в ортонормальную систему.

21.Запишите систему функций Котельникова. Как выбираются параметры F и t базисной функции?

22.Как строятся системы функций Хаара, Радемахера, Уолша?

4.2.Задачи

4.1. Используя неравенство Коши – Буняковского x,y xy , дока-

зать неравенства треугольника: x yxy , x yxy . Опираясь

на аксиомы скалярного произведения, доказать для вещественного евклидова пространства равенства параллелограмма:

x y2 x y2 2 x2 y2 ,

x y2 x y2 4 x,y .

4.2. Показать, что для комплексных евклидовых пространств справедливы следующие тождества:

называемое поляризационным тождеством.

4.3. Убедиться в справедливости поляризационного тождества (см. задачу 4.2) для следующих евклидовых пространств:

- 14 -

налов, показать что 12 1 и 12 21 . Рассмотреть случай ком-

плексных сигналов.

4.5. Можно ли на множестве действительных, ограниченных функций с интегрируемым квадратом, заданных на отрезке 0, 1 определить норму с помощью следующих выражений:

евклидовым, так как для f t 1 и t t не выполняются равенства параллелограмма (см. задачу 4.1).

4.7. Можно ли в R3 определить скалярное произведение векторов как произведение их длин? Будут ли выполнены аксиомы скалярного произведения?

- 15 -

4.8. Какому условию должна удовлетворять константа a , чтобы выра-

найти косинусы углов между прямой x1 x2 ... xn и осями координат в пространстве Rn .

4.12. Даны три линейно независимых вектора x1 1, 2, 1, 3 , x2 4, 1, 1, 1 , x3 3, 1, 1, 0 . С помощью процедуры Грама – Шмидта построить систему из трех ортонормальных векторов.

4.13. С помощью определителя Грама убедиться в линейной независимости приведенных ниже трех функций и выполнить их ортогонализацию с помощью процедуры Грама – Шмидта.

4.14. Убедиться в ортогональности системы функций

1, cost, sin t, cos 2t, sin 2t, ..., cos kt, sin kt, ...

на отрезке , . Ортонормировать данную систему функций.

4.15. Запишите представление R1(t) и R2(t) с помощью тригонометриче-

ской системы 1, cos 2k (t 0.5), sin 2k (t 0.5) , k 1, 2, .

- 16 -

4.16. Постройте функцию Уолша pal(9, t).

4.17. Является ли ортогональной на отрезке , система функций

ную систему функций.

4.19. Опираясь на результаты задачи 4.18, доказать, что система функций Уолша, упорядоченная по Пэли, при котором р-ая функция Уолша pal p,t определяется как произведение функций Радемахера с номерами m k 1, где целые числа k есть показатель степени двоичного представления номера функции Уолша, образует ортонормальную систему. Напри-

ортогонализации найти P4 t . Превратить построенную ортогональную систему функций в ортонормальную.

4.21. Для полученных ортогональных многочленов Pn t нормировку вводят таким образом, чтобы значение полинома при t 1 равнялось бы 1. При такой нормировке для ортогональных на отрезке 1, 1 многочленов

Pn t , называемых полиномами Лежандра имеет место представление в виде

функция при нечетном n . Найти значение Pn 1 . n символ производной n -го порядка.

- 17 -

4.22. Опираясь на определения полиномов Лежандра с помощью формулы

i 1

только тогда, когда базис, относительно которого определены координаты векторов x и y , является ортонормальным.

4.25. С помощью определителя Грама проверить, будут ли линейно независимыми вектора a1 1, 0,1,1 и a 2 1, 1, 0, 0 .

4.26. Записать определитель Грама для системы функций tk , задан-

ных на отрезке 0,1 , для системы функций 1, cos k t, sin k t заданных на от-

резке 0, 2 , k 0, 1, 2, ..., n .

4.27. Доказать, что определитель Грама не меняется при переходе с помощью процедуры ортогонализации от системы линейно независимых векторов a1,a2, ..., an к системе ортогональных векторов b1, b2, ..., bn , т.е.

n

G a1, a2, ..., an G b1, b2, ..., bn bi , bi .

i1

4.28.Доказать, что для определителя Грама справедливо неравенство

- 18 -

циональное число из отрезка 0,1 является линейно независимой.

4.30. Используя линейно независимую систему функций e kt ,

k 0, 1, 2, ... с помощью процедуры ортогонализации построить первые три функции ортогональной системы.

4.31. Используя обобщенное равенство Парсеваля

будет ортогонален любому вектору из K .

Глава 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ

5.1.Контрольные вопросы

1.Дайте определение оператора, функционала, функции.

2.Как определяется понятие обратного оператора?

3.Дайте определение ограниченного оператора. Что называется нормой оператора?

4.Какой оператор называется линейным?

5.Как определяется произвольный линейный оператор в Rn?

6.Какой оператор называется тождественным? Приведите примеры тождественных операторов для Rn и L2.

-19 -