Добавил:

Gigol Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Математический аппарат радиотехники

Файл:

Фед_задачник_итог

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.03.2026

Размер:

2.53 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1311 12 13 > Следующая >>>

( ) ; получить далее

цию Кх( ) и взаимную корреляционную функцию K xx

формулу для расчета Кх( ) по известным КА( ), КАВ( ).

8.51. Пользуясь равенствами (8.1), выразить корреляционные и взаимные корреляционные функции КА( ), КВ( ), КАВ( ) и КВА( ) через спектральную плотность мощности процесса x(t). Найти также выражения дисперсий

2A и 2B через дисперсию 2x . Полученные выражения корреляционных функций упростить для случаев симметрии спектральной плотности мощности Sх(f) относительно центральной частоты f0.

8.52. Дан стационарный случайный процесс, корреляционная функция огибающей которого КS( ) имеет вид KS ( ) 2S e . Сформулировать условия, при которых можно считать, что процесс будет узкополосным, если центральная частота процесса равна f0.

8.53. Найти среднее значение, корреляционную функцию и спектральную плотность для процесса вида (t) = a + А cos( t + ), где a – детерминированная величина; А, и – независимые случайные величины с известными плотностями вероятности WA(x) , W (x) , W (x) , причем WA(x) –

плотность вероятности произвольного вида, W (x) =W ( x) , W (x) = 1/2 ,

[– , ].

8.54.Случайный процесс X(t) = N(t) + S(t), где N(t) – мешающий стационарный случайный процесс, а S(t) – полезный стационарный случайный про-

цесс.

Известно,

что

M N(t) M S(t) 0 ,

K N ( ) N e

(cos

sin

) ,

KS ( ) S e

) . Процессы

N(t) и S(t) независимы. В качестве оценки значения процесса S(t + t0), где t0 –

заданное	время,	используется		линейная	комбинация	вида
ˆ			Определить	значения коэффициентов k1 и k2,
S(t t0) k1X (t) k2 X (t) .			Определить	значения коэффициентов k1 и k2,
обеспечивающие			минимум	дисперсии		ошибки
			0) .
(t) k1X (t) k2 X (t) S(t			0) .

8.55. Доказать, что для стационарно связанных случайных процессов(t) и (t), у которых спектральные плотности S ( ) и S ( ) отличны от нуля и не содержат дельта-функций, функция частотной когерентности

- 100 -

2	( )		S ( )	2	для некоррелированных процессов равна нулю, а при



		S ( )S ( )

линейной связи между процессами (t) и (t) она равна единице.
	8.56. Найти спектральную плотность процесса с корреляционной функ-
цией К( ) = А exp(– ), А > 0, > 0.
	8.57.	Стационарный процесс X(t) имеет корреляционную функцию

KX ( ) 2e 1 . Найти его спектральную плотность.

8.58.Найти спектральную плотность процесса с корреляционной функ-

цией K ( ) 2 exp( ) cos(2 ) .

8.59.Найти спектральную плотность процесса с корреляционной функ-

1 2		/ T ,	T / 2
1 2		/ T ,	T / 2

цией K ( )			.
0,	T / 2

8.60. Спектральная плотность СП равна S ( )

Найти АКФ этого процесса.

8.61.	Спектральная плотность случайного
1		2,		2
1		2,		2

S( )				. Найти АКФ этого процесса.
0,			2

3 ( 4) ( 4) .

процесса имеет вид

8.62. Определить корреляционную функцию комплексного случайного

	n
процесса	(t) a	exp( j t),где		постоянная угловая частота, a
	i	0	0	i
	i 1

взаимно независимые СВ с нулевыми математическими ожиданиями и дисперсиями Di.

8.63. Стационарный случайный процесс X(t) имеет спектральную плот-

			n		a j
ность S( ), разложенную на простейшие дроби:			S ( )		a j	. Найти
ность S( ), разложенную на простейшие дроби:			S ( )	2	2	. Найти
			j 1		j
корреляционную функцию этого процесса.
8.64. Определить спектральную плотность S( ) случайного процесса, у
n	j
n
которого КФ K ( ) a je		, a j , j 0.
которого КФ K ( ) a je		, a j , j 0.

j 1

- 101 -

8.65.Стационарный шум с нулевым средним равномерно распределен в полосе частот [–10 МГц, 10 МГц]. Определить его корреляционную функцию, если его среднеквадратическое значение равно 2В.

8.66.Определить, для каких значений отношения / спектральная

плотность	S ( ) K	2	2 2	,	где К некоторая константа,
		2 2	2 2 4 2 2

имеет максимум при = 0.

8.67. Пусть стационарный гауссовский шум имеет равномерную спек-

N	0	/ 2,		f	F ,

тральную плотность мощности в полосе шириной F: S ( f )
				F.
	0,		f

Доказать, что значения шума в моменты времени, отстоящие друг от друга на величину t = i/2F, i = 1, 2, 3, ... статистически независимы.

8.68.Вывести общее выражение спектральной плотности Sz(f) процесса z(t) = x(t) + y(t) через спектральные плотности Sx(f), Sy(f), Sxy(f) и Syx(f).

8.69.Пусть в последовательности прямоугольных импульсов с детерминированным тактовым интервалом Т амплитуды и моменты появления неизменны, а положение заднего фронта изменяется таким образом, что длительности импульсов представляют собой независимые нормальные СВ со сред-

2	T	2	. Показать, что спектральная плотность ука-
ними 0 и дисперсиями

занного импульсного случайного процесса имеет вид

	2a2
S( )	2a2		e	2 2
S( )		1	e

			2 2
2
2		2e	2
	1
T	1
T


		2 2
cos 0	e


		2 k



		T

			.

8.70. Пусть в последовательности прямоугольных импульсов постоянной амплитуды а и длительности и с детерминированным тактовым интервалом Т отклонения времени появления импульсов от среднего представляют собой независимые нормальные СВ с нулевыми средними и дисперсиями

2	T	2	. Показать, что спектральная плотность указанного импульсного

	8a	2			и		2 2
СП равна S( )	8a		sin	2	и	1 e
СП равна S( )	2T		sin			1 e
	2T			2

2		2	2
	e

T k

		2 k
			.
			.
		T

- 102 -

8.71. Случайный процесс (t) формируется путем запоминания на время Т отсчетов стационарного процесса (t) c нулевым средним и корреляцион-

ной функцией K ( ) 2 exp , 0 . Отсчеты берутся в моменты времени kT, k = 0, 1, 2, ... . Найти корреляционную функцию процесса (t).

Определить спектральную плотность мощности процесса (t) при условии

а) T 1 , б) T 1 .

8.72. Стационарные случайные процессы x(t) и y(t)		независимы и имеют
АКФ Kх( ) и	Ky( ) соответственно. Найти АКФ	и СПМ процесса
z(t) x(t) y(t) .

8.73. Определить спектральную плотность Sz( ), если Z(t) = X(t)Y(t), где X(t) и Y(t) – независимые стационарные центрированные случайные процес-

сы, у которых K X ( ) a1e												1				, KY ( ) a2e				2	.
												1								2

			8.74. Случайный процесс t x t y t , где x(t) и y(t) – независимые ста-
																						2 sin 1
ционарные процессы с корреляционными функциями																						Κx x			и
ционарные процессы с корреляционными функциями																						Κx x	1		и
																							1
Κ	y	2		sin 2			,		причем								3 . Найти спектральную плотность про-
Κ		2					,		причем								3 . Найти спектральную плотность про-
			y	2											2				1
				2
цесса (t).
			8.75. Установить различия между спектральными плотностями случай-
ных процессов 1(t) и 2(t) с корреляционными функциями K ( )																							2	e	и
																							2

																						1
K	2		( ) 2e		cos .


									0
			8.76. Вычислить спектральную плотность S( ) стационарного случайно-
го процесса (t) с корреляционной функцией
								0
				2				0		,				0	,
				2						,					,
						0			1										1
						0			1
				2 ,									,
				2 ,									,
			K ( )												1
			K ( )
								0
				2				0		,								0	,
				2						,									,
						0			1			1
						0			1
											при других .
				0,							при других .

- 103 -

8.77. Найти спектральную плотность СП (t) = Аm n(t) cos ( 0t + ), где n(t) – белый шум с функцией корреляции Kn ( ) N20 ( ) , Аm – постоянная

амплитуда, – случайная начальная фаза, равномерно распределенная на интервале [– , ].

	8.78. Определить спектральную плотность SY( ), если Y(t) = X2(t), где
X(t)	–	стационарный	нормальный	случайный	процесс,	а

K X ( ) a exp

				cos

8.79. Случайный процесс

sin .

100

y(t) xi (t) , где xi(t) – независимые, стацио-

i 1

нарные процессы, имеющие нулевые средние значения и одинаковые корре-

ляционные

функции Kx ( )

2 sin

. Найти спектральную плотность

мощности процесса y(t).

8.80. Случайный процесс x(t) со спектральной плотностью мощности

Sx ( )

обладает корреляционной функцией Kx( ). Найти

спектральную плотность мощности Sy( ) процесса y(t), если его корреляционная функция K y K x2 .

8.81. Показать, что изменение в а раз аргумента корреляционной функции случайного процесса влечет за собой изменение спектральной плотности

мощности в соответствии с равенством Sa ( )					S( / a)		. Привести примеры.
мощности в соответствии с равенством Sa ( )							. Привести примеры.
						a
8.82. Пусть время корреляции к и ширина спектральной плотности F

		K ( )d		S( f )df
определяются как	k	0	, F	0		, где K( ) и S(f) – соответ-
определяются как		K (0)	, F	S(0)		, где K( ) и S(f) – соответ-

ственно корреляционная функция и спектральная плотность. Доказать, что справедливо следующее соотношение: F к = 0,25.

- 104 -

8.83. Доказать, что для взаимного спектра S ( ) стационарно связанных процессов со спектральными плотностями S ( ) и S ( ) справедливо не-

равенство S ( ) 2 S ( )S ( ) .

8.84. Найти взаимную спектральную плотность процессов X(t) и X(t + t0), где t0 – фиксировано и X(t) – стационарный случайный процесс с корреляционной функцией KX( ).

8.85. Стационарный СП (t) = Ас(t) cos 0t + Аs(t) sin 0t имеет корреля-

ционную функцию

K ( )

cos 0

sin 0

. Определить авто-

корреляционные функции процессов Ас(t) и Аs(t) и их взаимную корреляционную функцию.

8.86.Определить взаимные спектральные плотности Sxx ( ) и Sxx ( ) , если K x ( ) ae 2 2 .

8.87.Определить вероятность того, что отсчет производной X (t) нор-

мального стационарного СП X(t) будет иметь значение большее a 5 м/сек,

если M{Х} = 10 м, K		( )	2	e	(cos	sin	) , где	2	2	, = 1 сек	1


	x								= 4 м			,

= 2 сек 1.

8.88.Доказать, что для дифференцируемого стационарного случайного процесса корреляционная функция и спектральная плотность производной

		/	d 2K	x				2
равны соответственно K	x	/	d 2		и S	x	/ ( )	Sx ( ) .
	x		d 2			x

8.89. Найти взаимную корреляционную функцию и взаимную спектральную плотность дифференцируемого случайного процесса и его производной. Доказать, что в совпадающие моменты времени значения стационарного случайного процесса и его производной некоррелированны. Что в этом случае можно сказать для нормального случайного процесса?

8.90. Корреляционная функция стационарного случайного процесса x t

равна Kx 2 exp 2 , 0 . Найти корреляционную функцию и спектральную плотность производной x/ t . Построить их графики.

- 105 -

8.91. Сколько производных имеет случайная функция X(t), если ее кор-

реляционная функция имеет вид K X ( ) 2e 2 , > 0?

8.92. Сколько раз можно дифференцировать случайный процесс с корре-

ляционной функцией K X ( )

) ?

8.93. Стационарный нормальный процесс X(t) имеет математическое

ожидание,

равное

корреляционную

функцию

( ) e 2

cos 2 sin 2

. Найти а)

одномерную плотность

процесса

dX (t)

Y (t)

; б) вероятность того, что

Y (t)

3 .

8.94.Доказать, что случайный процесс X (t) exp t sin t , где

и положительные константы, а случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [0, 2 ], дифференцируем при всех t > 0.

8.95. Дифференцируемый случайный процесс X(t) имеет корреляцион-

ную функцию KX (t1,t2) , Y (t) X (t) dX (t) . Найти математическое ожида- dt

ние, дисперсию и корреляционную функцию процесса Y(t) а) в общем виде;

б) если процесс X(t) стационарный; в) если K X ( ) 2e 2 .

8.96. Дважды дифференцируемый стационарный процесс X(t) имеет корреляционную функцию K X ( ) . Найти корреляционную функцию процесса

Y (t) X (t) d 2 X (t) . dt 2

8.97. Стационарный случайный процесс (t) имеет корреляционную

функцию K ( ) 2 sin . Найти дисперсию процесса (t) = 2d (t)/dt.

8.98. X(t) – стационарный процесс с корреляционной функцией KX( ). Найти корреляционную функцию и дисперсию случайного процесса

Y (t) aX (t) b dX (t) c d 2X (t) , где а, b и c – вещественные константы. dt dt2

- 106 -

8.99.

Случайный

процесс

x t

имеет

математическое

ожидание

M x

корреляционную функцию

K x

exp

t Um cos t и

Найти математическое ожидание и дисперсию процесса y t x/ t .

8.100.

Определить

спектральную

плотность

SY( ),

если

Y (t) X (t)

dX (t)

, где Х(t)

центрированный стационарный случайный про-

цессс и SX ( ) a exp 2

2 2 ,

0 .

8.101. Стационарный случайный процесс X(t) имеет корреляционную

функцию

( ) Aexp 2 2 , A 0.

Найти

( )

взаимную спек-

тральную плотность SXY( ), если Y (t) dX (t) . dt

8.102. На вход идеальной дифференцирующей цепи воздействует стационарный случайный процесс (t) с нулевым средним значением m = 0 и

функцией корреляции K ( ) 2e 1 . Определить корреляционную

функцию процесса (t) d (t) на выходе цепи. dt

8.103. На вход идеального интегрирующего устройства, начиная с момента t 0 , воздействует стационарный случайный процесс (t) с корреляционной функцией К ( ). Определить дисперсию процесса (t) на выходе интегратора в момент времени t и взаимную корреляционную функцию для входного и выходного процессов.

8.104. Вычислить дисперсию случайного процесса (t) n(t)dt , где n(t)

– белый шум с функцией корреляции Kn ( ) 0,5N0 ( ) .

8.105. Найти закон изменения математического ожидания и дисперсии

		t	x t
случайного процесса		y(t) x d , где	x t	– стационарный случайный
		0
процесс с математическим ожиданием			m1 и	корреляционной функцией
Kx 2 exp	,	0 .
Kx 2 exp	,	0 .
		- 107 -

8.106. Найти ПВ случайной величины z s(t)n t dt , где s(t) – детер-

минированная функция с энергией E s2 (t)dt , а n t – нормальный белый

шум с двусторонней спектральной плотностью N0 2 . Как изменится результат, если n t заменить на y t n t s t ?

8.107. Найти коэффициент корреляции случайных величин x(t)dt и

x(t)dt , где x(t) – белый шум с двусторонней СП N0 2 .

8.108. Найти коэффициент корреляции в совпадающие моменты време-

ни x d и x/ (t) , где x(t) – стационарный случайный процесс с нулевым

средним значением.

8.109. На линейную систему с импульсной характеристикой h(t) воздей-

ствует белый шум (t) с корреляционной функцией K ( ) N20 ( ) . В уста-

новившемся режиме определить: а) взаимную корреляционную функцию K ( ) процесса (t) на входе системы и выходного процесса (t); б) диспер-

2	(t) на выходе.
сию процесса	(t) на выходе.
8.110. Пусть	случайные процессы	x(t) и y(t)		связаны	соотношением
t
y(t) h(t )x( )d , где функция h(t)		абсолютно интегрируема на положи-

				t1
тельной полуоси, а M x(t) 0 . Доказать,			что K xy t,t1 h(t1		)K x (t, )d ,

где Kxy t,t1 взаимная корреляционная			функция	процессов	x(t) и y(t), а

Kx t,t1 автокорреляционная функция процесса x(t). Предполагая, что процесс x(t) стационарен, доказать, что функция Kxy t, зависит только от разности аргументов и выразить взаимную спектральную плотность Sxy( ) процессов x(t)

иy(t) через спектральную плотность Sx( ) процесса x(t).

-108 -

8.111. На вход интегрирующей RC-цепи в момент времени t 0 подается сумма постоянного напряжения U и белого шума x(t) с СПМ N0 2 . Как будет меняться во времени среднее значение и дисперсия на выходе цепи. Напряжение на емкости в момент времени t 0 равно нулю.

8.112. На вход двух интегрирующих RC-цепей с постоянными времени T1 и T2 подается белый шум с СПМ N0 2 . Рассматривается установившийся режим. Найти взаимную корреляционную функцию выходных процессов цепей. Какими будут автокорреляционные функции выходных процессов?

8.113. В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что в некоторый момент времени t0 напряжение на выходе интегрирующей цепи с постоянной времени T1 будет больше, чем напряжение на выходе второй цепи. Указание. Ответ записать в общем виде.

8.114. На общий вход интегрирующей и дифференцирующей RC-цепей, имеющих одинаковую постоянную времени T RC , подается белый шум с СПМ N0 2 . Режим установившейся. Найти взаимную корреляционную функцию выходных процессов цепей.

8.115. На вход интегрирующей RC-цепи с постоянной времени Т подает-

ся стационарный СП с корреляционной функцией K 2 sin . Найти

дисперсию процесса на выходе.

8.116. Решить предыдущую задачу для дифференцирующей RC-цепи с такой же постоянной времени. Сравнить результаты.

8.117. На интегрирующую RC-цепь с постоянной времени Т подается стационарный случайный процесс, отсчеты которого подчиняются распреде-

	W x	x		x	2		x 0 , а корреляционная функция
лению Рэлея			exp			,
		2		2 2


K	x	K	0	exp	. Считая 1 T , найти ПВ отсчетов на выходе цепи

в установившемся режиме.
		8.118. На вход цепи, изображенной на рис. 8.4. подается белый шум с
СПМ N0			2 10 10 мкВ2			Гц. Цепь имеет следующие параметры: R1 104 Ом ,

- 109 -

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1311 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический аппарат радиотехники

#
21.03.20262.03 Mб06.docx
#
21.03.20262.11 Mб0МАРТ_Часть1_Глава6.pdf
#
21.03.20261.76 Mб0МАРТ_Часть1_Главы1_5.pdf
#
21.03.20261.86 Mб0МАРТ_Часть2_Главы1_3.pdf
#
21.03.20261.81 Mб0МАРТ_Часть2_Главы4_8.pdf
#
21.03.20262.53 Mб0Фед_задачник_итог.pdf