Фед_задачник_итог

8.49. Как с помощью импульсной характеристики стационарной физически осуществимой линейной системы записать сигнал на выходе для следующих случаев: а) входной сигнал по отношению к моменту наблюдения выхода линейной системы действует бесконечно долго (установившийся режим); б) входной сигнал подается на систему в момент времени t0 t , где t момент наблюдения выходного сигнала; в) входной сигнал отличен от нуля на отрезке tн, tк , рассмотреть случай t tн , tн t tк , t tк .

8.50.Записать выражение для выходного сигнала в установившемся режиме, используя спектральную плотность входного сигнала и коэффициент передачи стационарной линейной системы.

8.51.Как найти математическое ожидание случайного процесса на выходе линейной системы, если математическое ожидание СП на входе ЛС известно?

8.52.Как найти АКФ случайного процесса на выходе линейной системы, если АКФ случайного процесса на входе ЛС известно?

8.53.Как найти спектральную плотность случайного процесса на выходе линейной системы, если спектральная плотность случайного процесса на входе ЛС известна?

8.54.Какой вид имеет спектральная плотность на выходе идеального

дифференцирующего звена, если спектральная плотность входного процесса

S.

8.55.Как найти взаимную корреляционную функцию процессов на входе и выходе линейной системы? Чему она равна, если входной процесс пред-

ставляет собой белый шум с АКФ K ( ) N20 ?

8.2.Задачи

8.1.Для трех случайных процессов, мгновенные значения которых подчиняются нормальному закону распределения, приведены зависимости m1(t)

и(t) (рис. 8.1, а в). Пользуясь правилом «трех сигма», определить область возможных значений указанных процессов для промежутка [0, T].

-90 -

и (t), имеющих средние значения и дисперсии, равные соответственно m ,

m, 2 и 2 .

8.10.Записать выражение для ПВ суммы (t) двух независимых случайных процессов: гармонического колебания (t) = Аm cos ( 0t + ) с детерминированными амплитудой Аm и частотой 0 и равномерно распределенной на интервале [- , ] случайной фазой и нормального стационарного шума (t) с нулевым средним значением и дисперсией 2. Качественно изобразить график W (x) для двух крайних случаев а) Am >> ; б) Am << .

8.11.Записать совместную плотность вероятности для гармонического колебания со случайной начальной фазой (равномерно распределенной на

интервале [ , ]) (t) = Аm cos ( 0t + ) и его производной (t) в тот же момент времени.

8.12. Записать совместную плотность вероятности для стационарного процесса (t) и его производной (t) в один и тот же момент времени. Считать, что процесс (t) является нормальным, имеет нулевое среднее и дифференцируемую функцию корреляции K( ) = 2r( ), где 2 – дисперсия.

8.13. Вычислить одномерную плотность вероятности Wu (x) напряжения u(t) на конденсаторе С в стационарном состоянии, когда на последователь-

единицу времени. Считать, что >> 1/Т, Т = RС.

8.14. Напряжение u(t) на выходе фазового детектора (рис. 8.3), состоящего из перемножителя и фильтра низких частот (ФНЧ), равно u(t) = cos (t)

=cos [ 1(t) 2(t)]. Определить плотность вероятности W(u), если 1(t) и 2(t)

-93 -

8.25. Найти математическое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию случайной функции X(t) = x1cos t + x2sin t + 5t, где x1 и x2 – некоррелированные случайные величины с М{x1} = 1; D{x1} = 0,1; М{ x2} = 0,2;

D{x2} = 0,004.

8.26. Для нормального стационарного шума (t) с нулевым средним значением и корреляционной функцией K( ) = 2r( ) записать двумерный момент вида M 2 (t) 2 (t ) .

8.27. Найти корреляционную функцию и спектральную плотность процесса y t x t x t , называемого разностным случайным процессом,

где x t – стационарный случайный процесс с корреляционной функцией

Kx .

8.28. Дана случайная функция Z(t) = 2Usin t + 3Vt2 + 5. U и V – случай-

ные величины с М{U} = 1; D{U} = 0,1; М{V} = 2; D{V} = 0,05; rUV = –0,3.

Найти математическое ожидание и корреляционную функцию Z(t).

8.29.Процесс X(t) изменяет свои значения в случайные моменты времени. Значения X(t) в промежутках между каждыми двумя скачками не изменяются и представляют собой независимые случайные величины с математическим ожидание, равным нулю, и одинаковой дисперсией D. Найти математическое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию этого процесса.

8.30.Известно, что среднее значение процесса X(t) M{x} = 2t + 1, а КФ

дисперсию и корреляционную функцию процесса Y(t).

8.31. На плоскости движется случайная точка М так, что ее полярный угол является случайной функцией времени с корреляционной функцией

случайные величины , и взаимно независимы, причем распределена

где ( ) – характеристическая функция случайной величины . Доказать,

8.41. Дан случайный процесс X(t) =a sin( t + ), где а и – положительные постоянные, – нормальная случайная величина с нулевым средним и единичной дисперсией. Будет ли X(t) стационарным процессом? Найти математическое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию процесса

X(t).

8.42. Задан процесс y t s t x t , где x t – стационарный нормальный случайный процесс с математическим ожиданием a и корреляционной функцией K ( ) , s t Um cos 0t , где Um, 0 – детерминированные величины, а в одном случае детерминированная величина, а во втором – случайная равномерно распределенная в промежутке , . Считая s t и x t

независимыми процессами, а) классифицировать процесс y t по признаку стационарности; б) найти его математическое ожидание, дисперсию и ПВ для указанных выше двух случаев.

8.43. Процесс имеет реализации вида t Acos 0t , где А и 0 константы, случайная начальная фаза, равновероятно принимающая любое из четырех значений k /2, k = 1, 2, 3, 4. Является ли процесс t стационарным в широком смысле?

8.44. Является ли стационарным в широком смысле случайный процессt Asin 2 f0t , причем А и f0 – детерминированные константы, а

8.45. Найти математическое ожидание и корреляционную функцию процесса x(t) mcos( 0t) nsin( 0t) , где m и n некоррелированные слу-

- 98 -