Фед_задачник_итог

Федеральное агентство по образованию

______________________________________

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ»

______________________________________

Сборник задач по применению математического аппарата радиотехники и статистической теории радиотехнических систем

Часть 1

Учебное пособие

Санкт-Петербург Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»

2009

УДК 51-7:621.37(07)

ББК В171я7

М 34

Авторы: Андреева О. М., Богачев М. И., Ипатов В.П., Красичков А. С., Маругин А. С., Пыко С. А., Ульяницкий Ю. Д.

М34 Сборник задач по применению математического аппарата радиотехники и статистической теории радиотехнических систем Часть 1:

Учебное пособие по дисц.: «Математический аппарат радиотехники», «Сборник задач по математическому аппарату радиотехники и статистической теории радиотехнических систем» / Под общ. ред. проф. Ю. Д. Ульяницкого. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2009. 120 с.

ISBN 0-0000-0000-0

В сборнике включены задачи связанные с основными разделами дисциплины «Математический аппарат радиотехники».

Предназначено для студентов дневного отделения факультета радиотехники и телекоммуникаций, обучающихся по направлениям 552500 – Радиотехника, 550400 – Телекоммуникации, 551100 – Проектирование и технология РЭС; специальностям 200700 – Радиотехника, 201600 – Радиоэлектронные системы, 201400 – Аудиовизуальная техника, 200800 – Проектирование и технология РЭС, 201200 – Связь с подвижными объектами.

УДК 621.396.9

ББК В171я7

Рецензенты: 32-я каф. Военного инженерно-космического университета им. А. Ф. Можайского; заведующий каф. РС Новгородского государственного университета им. Ярослава Мудрого, д-р техн. наук, проф. Л.А. Рассветалов.

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

- 2 -

Введение

Изучение любой дисциплины в области точных наук является ущербным, если оно не подкреплено самостоятельной работой по решению задач в данной предметной области. Поэтому обязательной составляющей учебнометодического комплекса общеобразовательных и спспециальных дисциплин, с нашей точки зрения, являются сборники задач и упражнений используемых как при аудиторской работе, так и для самостоятельной и контролируемой работы студентов.

На первый взгляд может показаться странным объединение в рамках одного издания сборников задач и упражнений по двум дисциплинам. Однако, в этом есть резон. Дело в том, что дисциплина «Математический аппарат радиотехники» является в значительной степени основой, на которую опираются дисциплины «Статистическая теория радиотехнических систем», или «Статистическая радиотехника», или «Теория электрической связи ч. 2», соответствующие различным вариантом учебных планов. Кроме того, немаловажным фактором является и то, что на факультете радиотехники и телекоммуникации названные выше дисциплины реализуются одним и тем же преподавательским коллективом, что определяет теснейшую преемственность данных дисциплин, нашедшую, как нам представляется, и при формировании задач и упрожнений. Авторы сочли возможным, как это было сделано в [1], отказаться от включения в сборник задач кратких сведений из теории, имея ввиду учебные пособия [2], [3], а также литературу в них рекомендованную.

Естественно решение задач невозможно без знания теории, поэтому каждый раздел сборника задач содержит контрольные вопросы, позволяющие учащемуся проверить свою готовность к решению задач. Эти же вопросы используются и при текущем контроле в ходе изучения названных дисциплин.

По любезному совету издательста и рецензентов коллектив авторов подготовил учебное пособие, состоящее из двух частей. Каждая часть отражает свой тематический раздел и соотносится с указанными выше дисциплинами.

При составлении задачника широко использовались книги и задачники по теории функций действительной переменной, алгебры, теории вероятностей и теории случайных процессов, а также учебные пособия и монографии по статистической радиотехнике.

- 3 -

1.11.Для множеств F = {3, –5, 6, 1} и B = {–8, 4, 3, 1} найти А В, А В,

А\ В, В \ А и А В.

1.12. Доказатиь, что множество A 0, 1, 2, 3, 4 , в котором операция сложения определена таблицей на рис. 1.1, является абелевой группой.

1.13.Убедиться в том, что диагональные матрицы одного порядка с отличными от нуля диагональными элементами по отношению к операции матричного умножения образуют абелеву группу.

1.14.Показать, что при выполнении условия a2 2b2 0 множеств чи-

сел вида a b2 , где a и b – любые рациональные числа по отношению к обычной операции умножения образуют абелеву группу. Убедиться в том, что при замене 2 на 32 полученные множества по отношению к обычному умножению не являются замкнутыми.

1.15. Убедиться в том, что множество GF (3) 0, 1, 2 с операциями сложения и умножения вида

является полем.

1.16. Убедиться в том, что множество GF (4) 0, 1, 2, 3 с операциями сложения и умножения вида

является полем.

Обратить внимание на различие в определении операции сложения и умножения в задачах 1.15 и 1.16.

- 6 -

2.2. Задачи

2.1 Доказать, что на множестве векторов x x1, x2, ..., xi , ... , удовле-

x x1, x2, ..., xi , ... можно задать расстояние между векторами x и y в виде

возрастающей.

2.3. Доказать, что на множестве функций x(t) , непрерывных на отрезке a,b , расстояние между функциями x(t) и y(t) , принадлежащим этому

множеству, может быть задано в виде 0 x, y max x(t) y(t) или a t b

b

1 x, y x(t) y(t) dt . a

2.4. Пусть R – множество действительных чисел и функция (x) – неотрицательна, определена для x 0 , дважды непрерывно дифференцируема, строго монотонно возрастает, (0) 0 и (x) 0 для x 0 . Показать, что

ri , rj ri rj является расстоянием (удовлетворяет аксиомам метрики)

между элементами ri и rj .

- 8 -

2.5. Доказать, что множество непрерывных на отрезке a,b функций с

Если применение метода итераций возможно, получить приближенные решения после выполнения 10 шагов последовательных приближений. Оценить ошибку.

2.7. Для того, чтобы отображение n-мерного пространства в себя, зада-

щим, необходимо и достаточно выполнения хотя бы одного из следующих

j 1

x 0 x10, x20, ..., xn0 ;

x 1 x1 1 , x2 1 , ..., xn 1 ;

…

x k x1 k , x2 k , ..., xn k ;

точки заведомо выполняется и для решения системы линейных уравнений,

- 9 -