МАРТ_Часть2_Главы4_8
.pdf
u[n] |
|
–1 |
|
|
–1 |
|
|
|
|
||||||
|
z |
|
z |
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
СС |
b[1] |
|
|
b[2] |
b[q] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x[n] |
|
|
|
|
Рис. 9.2 |
|
||
u[n] |
|
|
+ |
|
|
|
x[n] |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a[p] |
a[2] |
|
|
a[1] |
АР |
||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
–1 |
|
–1 |
|
|
|
z |
|
z |
|||
|
|
|
|
|
|
||
Рис. 9.3
Одно из важных применений параметрического описания СП состоит в решении задачи оценивания АКФ или СПМ процесса, заданного дискретными отсчетами (случайной последовательности, временного ряда).
Суть метода состоит в подборе порядка модели и ее параметров таким образом, чтобы оцениваемая последовательность и последовательность, формируемая моделью, были бы максимально близки.
После этого в качестве оценки АКФ или СПМ исходной последовательности используются АКФ или СПМ последовательности, формируемой моделью. Более детально эти вопросы будут рассмотрены в разделе, посвященном методам оценки характеристик случайных процессов. Здесь же обсудим в качестве примера простейшую АР модель первого порядка
xn a1xn 1 un , |
|
a1 |
|
1. |
|
|
Можно показать (например, [15, с. 575]), что для такой последовательности коэффициент корреляции r(k ) имеет вид r(k) k , где введено обозначение
a1. Для СПМ с помощью |
Z-преобразования |
будем |
иметь |
|
S 1 2 1 2 cos 2 , |
где |
– безразмерный |
аргумент |
СПМ, |
|
- 122 - |
|
|
|
0 , где 0 – интервал дискретизации (период, с которым следуют элементы последовательности xn ). Периодический характер СПМ определяется дискретностью r(k ) . Дисперсия в установившемся режиме будет равна
D u 
1 2 , где D u – дисперсия дискретного нормального «белого» шума
D u u2 . Вид зависимости r(k ) от k при 0.7 , называемой коррелограм-
мой, и соответствующий ей спектр приведены на рис. 9.4.
r k |
|
S |
|
|
|
|
||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.7 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0.49 |
|
|
|
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
||||
0 |
k |
0 |
|
|
||||
Рис. 9.4
Отметим, что если возмущающая последовательность un является последовательностью независимых гауссовских СВ с нулевыми средними и
значениями дисперсий 2 соответственно, то регрессионная последовательность будет гауссовско-марковской.
Случайные процессы, задаваемые стохастическими дифференциальными или интегральными уравнениями. Рассмотрим дифференциаль-
ное уравнение |
|
|
|
|
dx(t) |
f x(t), t g x(t), t n(t) |
(9.1) |
|
dt |
||
|
|
|
|
с начальным условием x t0 x0 , где f и g – детерминированные функции, |
|||
удовлетворяющие условию Липшица, т. е. для t1, t2
f x(t1), t1 f x(t2 ), t2 g x(t1), t1 g x(t2 ), t2 x(t1) x(t2 ) L ,
L const 0 , n(t) – нормальный «белый» шум с нулевым средним значени-
ем и S( f ) N0 |
2 . Уравнения, в которые входят «белые» шумы, или при |
||
эквивалентных |
формах записи |
dx(t) f x(t),t dt g x(t),t dV (t) |
и |
t |
t |
t |
|
x(t) x(t0 ) f |
x( ), d g x( ), dV ( ) , где V (t) n( )d – винеров- |
||
t0 |
t0 |
t0 |
|
ский процесс, и называют стохастическими дифференциальными уравнениями (от греческого слова «стохастос» – случай) процесса.
- 123 -
|
|
t |
Входящие в эти уравнения выражения типа |
g x( ), dV ( ) , а также |
|
|
t0 |
|
t |
t |
|
интегралы вида x( ), dx( ) , |
V ( ), dV ( ) |
называются стохастиче- |
t0 |
t0 |
|
скими интегралами, если – непрерывно дифференцируемая функция своих аргументов, х( ) – диффузионный марковский процесс с коэффициентами сноса A1(x,t) и диффузии A2 (x,t), непрерывными по обоим аргументам. Строгая математическая теория стохастических интегралов была создана японским математиком К. Ито и развита отечественным ученым Р. Л. Стратоновичем. Не останавливаясь на математических деталях определения стохастических интегралов [5], сформулируем теорему Дуба [16], определяющую класс систем первого порядка, выходные процессы которых являются марковскими процессами.
Случайный процесс x(t), заданный стохастическим уравнением (9.1) является марковским. При этом коэффициенты сноса и диффузии в прямом уравнении Колмогорова или уравнении Фокера–Планка (8.1) определяются как
A (x,t) f (x,t) и |
A (x, t) |
N0 |
g 2 (x, t) , где обозначено x = x (t). При этом |
|
|||
1 |
2 |
2 |
|
|
|
|
стохастические дифференциальные уравнения (9.1) понимаются в смысле Ито
[15].
При описании стохастической динамики реальных систем, на вход которых действуют достаточно гладкие (дифференцируемые) случайные процессы, замена входного процесса нормальным «белым» шумом с соответствующим значением СПМ N0 
2 , будет корректной при использовании симметризированной формы стохастического дифференциального уравнения (по Стратоновичу).
Применительно к уравнению (9.1) это даст следующие выражения для
коэффициентов сноса |
A ( x, t) f x(t), t N |
0 |
4 g( x, t) g( x, t) |
и диффузии |
|||
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A ( x, t) N |
0 |
2 g 2 |
(x, t) . |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Различие в интерпретации стохастического интеграла (в смысле Ито или в смысле Стратоновича) сказывается лишь на значении коэффициента сноса. Если коэффициенты сноса и диффузии не зависят от времени, то стационарная ПВ может быть найдена как решение обыкновенного дифферен-
- 124 -
циального уравнения первого порядка. Рассмотрим примеры.
1. Винеровский процесс. Для него уравнение (9.1) имеет вид
|
|
dx(t) |
n(t), |
|
x(0) 0 , |
|
|
||||||||
|
|
dt |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где n(t) – нормальный «белый» шум. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Коэффициенты диффузии и сноса равны соответственно A1(x,t) 0 и |
|||||||||||||||
A2 (x,t) N0 2 , а уравнение Фокера–Планка имеет вид |
|||||||||||||||
|
W ( x;t) |
|
N0 |
|
2W ( x;t) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
t |
|
|
4 |
|
|
x2 |
|
|
|||||
Его решением, как уже отмечалось, будет |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
W (x;t) |
|
|
|
exp |
x x0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
N0t |
|
|
N0t |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2. Интегрирующая RC цепь под действием нормального «белого» шума.
Дифференциальное уравнение для данной цепи имеет вид
|
|
dx(t) |
x(t) n(t), |
x(0) u0 , |
|
|
|
||
|
|
dt |
|
|
где 1 T , |
T RC – постоянная времени цепи. Это линейное неоднород- |
|||
|
|
|
|
t |
ное уравнение имеет решение x(t) u0e t |
e t e n( )d . Заметим, что |
|||
|
|
|
|
0 |
как линейное преобразование гауссовского процесса n(t), x(t) будет также гауссовским процессом. Его математическое ожидание Mx(t) u0e t , так
как Mn( ) 0 . |
Аналогично нетрудно показать (сделать самим), что диспер- |
||||||||||
сия Dx(t) N |
0 |
4T 1 e 2 t , а корреляционная функция |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 e 2 t , |
|
|
|
|
K (t , t |
2 |
) N |
0 |
4T e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
где N0 2 – СПМ нормального «белого» шума, а t1 t2 , t min t1,t2 |
. |
||||||||||
Как видно из приведенных выражений, процесс становится становится стационарным лишь в установившемся режиме при t .
Уравнение Фокера–Планка для данного процесса имеет вид
W (x; t) |
|
xW (x; t) W (x; t) |
|
2 N0 2 |
W (x;t) |
. |
||||||
t |
|
x |
|
|
4 |
x2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
Его решением будет нормальное распределение вида |
|
|
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
W (x; t) |
|
|
exp |
|
x M x(t) |
. |
|
|||||
|
|
|
|
|
2 D x(t) |
|
|
|||||
|
|
|
2 D x(t) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 125 - |
|
|
|
|
|
|
||||
На рис. 9.5 представлена динамика изменения W ( x; t) с течением времени.
W x;t |
t1 |
|
x u0 , t 0
t2 t1
t = |
~ |
0 |
u0 |
Рис. 9.5
В рассмотренных примерах стохастическое уравнение, формирующее процесс, было линейным и в силу этого сформированный процесс являлся гауссово-марковским.
Если уравнение (9.1) нелинейно, то процесс, оставаясь марковским, гауссовским уже не будет.
Например, если стохастическое уравнение имеет вид [17],
dx(t) |
|
|
mN0 |
|
3 4m |
|
|
1 2m |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x t |
|
2x t |
n t , |
||
|
|
||||||||
dt |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где x(t) 0 , m 1
2 , то стационарное распределение будет являться распределением Накагами
|
2 |
|
m |
m |
|
|
mx |
2 |
|
|
||
W (x) |
|
|
x2m 1 exp |
|
|
, |
x 0 , |
|||||
|
|
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
которые часто используются для описания амплитудных флуктуаций сигнала после прохождения турбулентной среды.
При m = 1 распределение Накагами переходит в релеевское с параметром 2э 2 
2 .
Контрольные вопросы
1.Что представляют собой прямые способы описания СП?
2.Что называется регрессионной или параметрической моделью СП?
3.Рассмотрите модель авторегрессии – скользящего среднего (АРСС) и
еечастные случаи.
4.Опишите свойства процессов, задаваемых стохастическими дифференциальными уравнениями.
-126 -
5.Как выглядит стохастическое уравнение для винеровского процесса?
6.Проанализируйте с позиций стохастических уравнений действие нормального «белого» шума на интегрирующую RC-цепь.
Список литературы
1.Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей: Учеб. / 6-е изд., перераб. и доп.
М.: Наука, 1988.
2.Боровков А. А. Теория вероятностей: Учеб. пособие для вузов. – 2-е изд., перераб. и доп. М.: Сов. Радио, 1978.
3.Малахов А. Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовских процессов и их преобразований. М.: Сов. Радио, 1978.
4.Тюрин Ю. Н., Макаров А. А. Статистический анализ данных на компьютере / Под ред. В. Э. Фигурнова. М.: ИНФРА-М, 1998.
5. Справочник по теории вероятностей и математической статистике / В. С. Королюк, Н. И. Портенко, А. В. Скороход, А. Ф. Турбин. М.: Наука,
1985.
6. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М.: Сов.
Радио, 1974.
7. Стратонович Р. Л. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике. М.: Сов. Радио, 1961.
8.Ахманов С. А., Дьяков Ю. Е., Чиркин А. С. Введение в статистическую радиофизику. М.: Наука, 1981.
9.Шварц В. Вероятностные модели и методы в системах связи и управления. М.: Радио и связь, 1985.
10.Пугачев В. С. Теория случайных функций. М.: Физматгиз, 1962.
11.Заславская О. М., Ипатов В. П. Маругин А. С. и др. Статистическая теория связи в вопросах и задачах: Учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ
«ЛЭТИ», 2004.
12.Тихонов В. И., Харисов В. Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем. М.: Радио и связь, 1991.
13.Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 2 / Пер. с англ. Ю. В. Прохорова. – М.: Мир, 1967.
14.Марпл-мл. C. Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения / Пер. с англ. под ред. И. С. Рыжака. М.: Мир, 1990.
15.Кендалл М., Стюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. М.: Наука, 1976.
16.Дуб Дж. Математическая статистика / Пер. с англ. М.: Наука, 1978.
17.Малахов А. Н. Флуктуации в автоколебательных системах. М.: Наука,
1968.
-127 -
18. Шелухин О. И., Тенякшев А. М., Осин А. В. Фрактальные процессы в телекоммуникациях. М.: Радиотехника, 2003.
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Глава 1. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И СПОСОБЫ ИХ ОПИСАНИЯ …... |
3 |
1.1. Распределение Бернулли …………………………………….. ..……. |
6 |
1.2.Биномиальное распределение ……………………………………….. 7
1.3.Равномерное распределение …………………………………………. 8
1.4.Нормальное распределение ………………………………………….. 8
1.5.Многомерные или векторные случайные величины ……………….. 10
Контрольные вопросы ……………………………………………………… 13
Глава 2. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ………………………. 14 2.1. Распределение суммы случайных величин …...……………...……… 19
2.2.Распределение произведения случайных величин ………………….. 19
2.3.Распределение частного случайных величин ……………………….. 20
Контрольные вопросы ……………………………………………………... 20
Глава 3. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН … 21
3.1.Моменты случайной величины ……………………………………….. 21
3.2.Квантили ……………………………………………………………….. 26
3.3.Числовые характеристики совокупности случайных величин.
Корреляционные моменты …………………………………………… 28
3.4.Кумулянты ……………………………………………………………... 30
3.5.Числовые характеристики некоторых распространенных
распределений случайных величин …………………………………. 33
3.5.1.Распределение Бернулли ………………………………………. 33
3.5.2.Биномиальное распределение …………………………………. 34
3.5.3.Отрицательное биномиальное распределение (распределение Паскаля) …………………………………….….……………….. 35
3.5.4.Распределение Пуассона ………………………………………. 36
3.5.5.Распределения, связанные с равномерным …………………... 37
3.5.6.Распределения, связанные с нормальным ……………………. 44
3.6. Многомерные распределения ………………………………………… |
57 |
3.6.1. Полиномиальное распределение ……………………………… |
57 |
3.6.2. Многомерное нормальное распределение …………………… |
57 |
Контрольные вопросы …………………………………………………….. |
60 |
Глава 4. КЛАССИФИКАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ …………….. |
62 |
- 128 -
Контрольные вопросы ……………………………………………………... |
70 |
|
Глава 5. |
КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ |
|
ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ……………………. |
70 |
|
Контрольные вопросы ……………………………………….…………….. |
89 |
|
Глава 6. |
НЕПРЕРЫВНОСТЬ, ИНТЕРГИРУЕМОСТЬ |
|
И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ……………… 90
Контрольные вопросы ……………………………………………………… 95
Глава 7. НОРМАЛЬНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС ……………………… 96
Контрольные вопросы ……………………………………………………… 111
Глава 8. МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ ………………………………………. 111
Контрольные вопросы ……………………………………………………… 118
Глава 9. ПРЯМЫЕ СПОСОБЫ ОПИСАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ……………………………………………………………….. 119
Контрольные вопросы ……………………………………………………… 125 Список литературы……………………………………..……………………… 126
Богачев Михаил Игоревич, Заславская Ольга Марковна, Маругин Алексей Сергеевич и др.
Математический аппарат радиотехники Часть II. Случайные процессы
Учебное пособие Редактор Н. В. Лукина
Подписано в печать 12.12.06. Формат 60 84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ. л. 8,0. Гарнитура «Times». Тираж 450 экз. Заказ
Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»
- 129 -
197376, Санкт-Петербург, ул. Проф. Попова, д. 5
- 130 -