Добавил:

Gigol Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Математический аппарат радиотехники

Файл:

МАРТ_Часть2_Главы4_8

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.03.2026

Размер:

1.81 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Так как

(t)

, т. е. огибающая (t)

(t)

(t) (t) (t) , то (t)

нигде не пересекает СП (t). Дифференцируя по t равенство

2 (t) 2 (t) 2 (t) ,

где (t) = (t)

получим (t) (t) (t)

(t) (t) (t) , поэтому в тех точках,

и, следовательно, (t)

. Таким обра-

= 0, справедливо равенство (t) (t)

зом, случайный процесс (t)

при всех t больше или равен

(t)

, а в точках

соприкосновения ( (t)

= (t))

имеет общие с (t) касательные ( (t) (t)).

Эти свойства и определяют для (t) название огибающей СП (t). Учитывая, что

(t) (t) cos (t) 0t a(t) cos 0t b(t) sin 0t ;(t) (t) sin (t) 0t b(t) cos 0t a(t) sin 0t ,

можно записать представление квадратурных компонент a(t) и b(t) через ис-

ходный СП (t) и процесс (t) в виде:
a(t) (t) cos 0t (t) sin 0t , b(t) (t) cos 0t (t) sin 0t .
При записи этих соотношений было использовано свойство операто-
ра Гильберта «замораживать»	медленно меняющиеся сомножители, т. е.
H f t t f t H t , где	f t – «медленный» множитель, а	t –
«быстрый» множитель, спектры которых не пересекаются.

Для нормального СП процесс (t) и квадратурные компоненты также будут нормальными СП. Доказать справедливость этого утверждения мы предлагаем читателю.

Так как средние значения процессов (t) и (t) равны нулю, то также равны нулю и средние значения процессов a(t) и b(t). Их корреляционные функции одинаковы и равны

Ka (t1, t2) Kb (t1, t2) K (t1, t2) cos 0t1 cos 0t2 K (t1, t2) sin 0t1 sin 0t2K (t1, t2 ) cos 0t1 sin 0t2 K (t1, t2 ) sin 0t1 cos 0t2.

Для стационарного процесса (t)

K (t1, t2 ) K ( ) K ( ) , K ( ) K ( ) ,

поэтому Ka ( ) Kb ( ) K ( ) cos 0 K ( ) sin 0 , т. е. для нормального стационарного СП квадратурные компоненты будут также стационарными нормальными СП.

- 102 -

Аналогичным образом можно показать, что взаимная корреляционная функция квадратурных компонент определяется выражением:

Kab ( ) K ( ) sin 0 K ( ) cos 0 .

Можно показать, что взаимная корреляционная функция K ( ) процессов

			K ( x)	x dx , где K ( ) – корреляционная
(t) и (t) равна	K	( ) 1	K ( x)	x dx , где K ( ) – корреляционная

функция процесса (t) , и значит, является нечетной функцией, равной нулю при = 0 (при совпадении моментов t1 и t2).

Таким образом, в совпадающие моменты времени t1 = t2 = t квадратурные компоненты узкополосного стационарного нормального процесса (t) являются независимыми гауссовскими случайными величинами, имеющими нулевые средние значения и дисперсию Ka (0) Kb (0) K (0) 2 , равную

дисперсии исходного процесса (t).

Для нахождения ПВ отсчетов огибающей (t) и фазы (t) необходимо использовать их связь с отсчетами квадратурных компонент a(t) и b(t), при-

веденную ранее. Из этих соотношений следует, что (t)	a2 (t) b2 (t)	есть
модуль случайного вектора с декартовыми компонентами a(t) и		b(t),

а (t) arctg b(t)a(t) – его аргумент. Учитывая описанные свойства процессов a(t) и b(t), мы приходим к рассмотренной ранее задаче о распределении модуля и аргумента нормального случайного вектора с независимыми компонентами, имеющими нулевые средние значения и одинаковые диспер-

сии 2 . Напомним, что в такой постановке отсчеты огибающей (t) и фазы(t) будут независимыми случайными величинами, причем W( ) будет рас-

пределением Релея:
						0;
			exp		,
			exp	2 2	,
W ( )	2			2 2
		0,
0,		0,

а отсчеты фазы будут распределены равномерно в интервале [– , ].

Если к узкополосному нормальному процессу (t) добавляется детерминированный гармонический сигнал s(t) Um cos 0t , то, как нетрудно показать, у квадратурных компонент результирующего узкополосного нор-

- 103 -

мального СП появляются средние значения Um cos и Um sin соответственно. В соответствии с решением задачи о распределении модуля и аргумента нормального случайного вектора отсчеты огибающей и фазы в совпадающие моменты времени будут теперь зависимы. Отсчеты огибающей будут подчиняться распределению Релея–Райса:

2 U

exp

m I

, 0;

W ( )

0, 0,

а отсчеты фазы будут подчиняться распределению

U 2

cos

W ( )

exp

cos exp

2
Um		sin 2	,

2	2

	.
Вид распределений W( )	и W( ) зависит от величины параметра

h Um , который можно назвать отношением сигнал/шум. При h >> 1, за-

меняя функцию I0(x) первыми двумя членами определяющего ее степенного

ряда (см. ч. 1, гл. 6), т. е., считая I0(x)							1 x2 4 при					x	1 , получим
ряда (см. ч. 1, гл. 6), т. е., считая I0(x)							1 x2 4 при					x	1 , получим
				2				h	2	2				h	2
								h						h
	2	exp	2		2	1					exp					, 0;
W ( )			2					4					2

0, 0.

При h >> 1 можно воспользоваться асимптотическим представлением функции I0(x) при больших значениях аргумента:

	exp( x)				1
I0(x) =			1	O		,

		2 x
				x

где O 1 x – бесконечно малая более высокого порядка малости, чем 1 x .

Подставляя это выражение в распределение Рэлея–Райса, после несложных преобразований и перехода к безразмерной переменной x , получим

					(x h)2
	x	1			(x h)2
W (x)				exp		.
W (x)				exp		.
	h		2		2

Таким образом, с точностью до множителя xh распределение Рэлея–Райса при h >> 1 стремится к нормальному, которое с учетом сделанной замены x имеет среднее значение Um и дисперсию 2.

- 104 -

Хорошо известно, что с вероятностью 0.997 значения нормальной случайной величины сосредоточены на промежутке x 3 , x 3 – правило

«трех сигма». В этой области поправочный множитель xh при h >> 1 мало

W x	h1

h2 h1
h3	h2	h4	h3

отличается от единицы. Убедиться в этом мы предлагаем читателю.

На рис. 7.2 представлен вид распределения Рэлея–Райса при различных значениях параметра h.

Что касается распределения фазы, то при h << 1 оно хорошо аппроксимируется косинусоидальным распределением вида


		1					cos
	W ( )	1	1	h				,

						2
		2				2
Рис. 7.2	x				.
Рис. 7.2	x				.

При h >> 1 распределение фазы стремится к нормальному со средним значе-

					2	2
нием и дисперсией 1	h2 , т. е. W ( )	h	exp	h			,	.
		h		h

		2				2
		2				2

					На рис. 7.3 приведено распределение
	W(Θ)				На рис. 7.3 приведено распределение
	W(Θ)				W ( ) для различных значений параметра h.


			h >>1
			h >>1		Полученные результаты полезно про-

				h = 0

					иллюстрировать с помощью векторной диа-



				h <<1	граммы. На плоскости, вращающейся против
					часовой стрелки с угловой скоростью 0, де-
					часовой стрелки с угловой скоростью 0, де-
φ–π		φ	φ+π		терминированное колебание Um cos 0t
					терминированное колебание Um cos 0t

Рис. 7.3	можно представить неподвижным вектором,

модуль которого равен Um , а аргумент равен . Квадратурные компоненты этого процесса постоянны, детерминированы и равны Um cos и Um sin соответственно (рис. 7.4).

Для узкополосного нормального процесса квадратурные компоненты будут независимыми нормальными случайными процессами a(t) и b(t), причем длина вектора и его аргумент будут определяться выражениями:


(t)	a2 (t) b2 (t) , (t) arctg b(t)	a(t) .
	- 105 -

Рассмотрим вопрос о стационарности суммы стационарного узкополос-

ного процесса и сигнала s(t) Um cos 0t . Если сигнал s(t)			детерминиро-
ванный, т. е Um, 0	и – детерминированные величи-
ны, то суммарный	процесс, оставаясь нормальным, Um sin
будет нестационарным, так как его среднее значение			Um
s(t) будет зависеть от времени. Огибающая и фаза при
s(t) будет зависеть от времени. Огибающая и фаза при			Um cos
этом будут стационарными процессами с распределе-		0	Um cos
этом будут стационарными процессами с распределе-

нием мгновенных значений, приведенным ранее.	Рис. 7.4
	Рис. 7.4
Если начальная фаза сигнала является случай-

ной величиной, равномерно распределенной в интервале [– , ], то суммарный процесс в предположении о независимости сигнала и узкополосного нормального процесса, будет стационарным в широком смысле, так как его среднее

значение, равное сумме средних, будет равно нулю, а корреляционная функция,

также равная сумме КФ слагаемых, будет равна

K ( ) + U 2

2 cos , где

K ( )

–

КФ

узкополосного процесса, а

U 2

2 cos

– корреляционная функция

W x

h 0

сигнала s(t) , будет зависеть лишь от .

Отметим, что суммарный процесс

h 1

перестанет быть нормальным, так как

ПВ его отсчетов, ПВ суммы независи-

мых случайных величин, будет являться

h 1

сверткой

нормального

распределения

exp x2 2 2 и

2 2

распределения

U 2

x2 ,

, которому подчи-

няются отсчеты s(t)

при

равномерном

Рис. 7.5

распределении в интервале [– , ]. Вид этого распределения для нескольких значений параметра h Um представлен на рис. 7.5.

Найдем распределение огибающей и фазы для рассматриваемого случая. Условную по ПВ огибающей и фазы можно записать, вспомнив задачу о распределении модуля и аргумента нормального случайного вектора (см. гл. 3) в виде

W ,


			2 2

exp

um2 2 2um cos
		.
	2
2

- 106 -

											, , W										W ,				, то учи-
Так как W , W , , d , а W
Так как W , W , , d , а W

тывая, что в нашем случае W 1 2 , получим окончательно
			2			2
	exp		um
	exp
			2 2				1					u		m
W ,											exp			m			cos d .
W ,											exp						cos d .
		2 2											2
		2 2						2					2
																		u				m
Входящий в это выражение интеграл равен																I	0					m		(см. ч. 1, гл. 6).
Входящий в это выражение интеграл равен																I	0				2			(см. ч. 1, гл. 6).
																					2
Поэтому
W ,									u2		2					u			m
					exp					m			I		0				m				,
				2	exp							2	I										,
			2	2						2		2								2
			2							2

т. е. огибающая и фаза – независимые СВ, имеющие ПВ Релея–Райса и равномерную соответственно. В связи с этим вспомните разговор о квазигармонических СП!

Во многих задачах возникает необходимость в знании совместной ПВ отсчетов огибающей и фазы стационарного нормального СП в моменты времени, разделенные промежутком . Для решения этой задачи необходимо найти совместную ПВ отсчетов квадратурных составляющих для соответ-

ствующих моментов времени,

т. е. W a, a , b, b , где

a, a , b, b – отсчеты

квадратурных составляющих в моменты t и t + соответственно.

Случайные величины a, a , b, b

являются

совместно нормальными,

поэтому для определения W a, a , b, b

с учетом того, что M a M a

M b M b 0 , необходимо задать корреляционную матрицу:

( )

Kab ( )

Kb ( )

Kab ( )

где Ka ( ) Kb ( ) – равные между собой корреляционные функции квадратурных составляющих, Kab ( ) – взаимная КФ квадратурных составляющих. КФ Ka ( ) и Kab ( ) уже были определены. При записи корреляционной матрицы было учтено, что квадратурные составляющие в совпадающие моменты

времени некоррелированы, а Ka (0) Kb (0) 2 .

- 107 -

Пользуясь правилами функционального преобразования совокупности случайных величин, можно найти совместное распределение отсчетов оги-

бающей в моменты t и t + , и и отсчетов фазы и W , , , , а

затем двойным интегрированием по , или по , определить W , или W , .

В результате этих операций двумерная ПВ отсчетов огибающей стационарного узкополосного нормального процесса, разделенных интервалом , будет иметь вид:

			2	2	r( )
					r( )
W ( , ; )	4 1 r2 ( ) exp	2 2	1 r2 ( ) I0		2 1 r2 ( ) , , 0,

где r ( ) – огибающая коэффициента корреляции исходного узкополосного случайного процесса.

Если r ( ) = 0, то

					2				2
W ( ,	; )		exp					exp
		2				2	2			2
				2					2

равно произведению ПВ отсчетов огибающей, т. е. и – независимые случайные величины. Однако это не означает, что из некоррелированности отсчетов исходного узкополосного нормального процесса (t) следует независимость отсчетов огибающей, так как КФ процесса (t) , равная

K 2r( ) cos 2 f	0	( ) ,
	0
может обращаться в нуль за счет второго сомножителя. При этом r( ) может
быть отлично от нуля.
Зная двумерную ПВ огибающей, можно найти КФ

K ( ) W ( , ; ) d d M 2 .
0 0
Записывая представление W ( , ; )		с помощью ортогональных мно-

гочленов, в роли которых для данного распределения будут выступать полиномы Лагерра (см. ч. I, гл. 6), можно получить представление K ( ) в виде

ряда по степеням огибающей коэффициента корреляции исходного процесса r( ) . С деталями можно ознакомиться с помощью [9]. Для коэффициента корреляции огибающей это даст

- 108 -

						2k 3 !!	2
r ( )			r2	( )				r2k ( )	,

					k 2 22k 1(k!)2
	4(4 )
где 2k 3 !!, k 2 –		произведение нечетных чисел начиная с единицы.

В качестве упражнения на сообразительность читателю предлагается найти

	2k 3 !! 2
значение	.
k 2 22k 1(k !)2
Так как выражение для r ( )		содержит только четные степени r( ) и по-
этому неотрицательно, то равенство нулю r ( )			возможно лишь при r( ) = 0.

Но, как было показано выше, при r( ) = 0 отсчеты огибающей независимы. Таким образом, при r ( ) = 0 отсчеты огибающей будут независимы и мы

получим еще один пример, когда из некоррелированности случайных величин следует их независимость. Первый пример был связан с нормальными случайными величинами.

При квадратичном детектировании выходной сигнал равен квадрату огибающей колебания, поступающего на вход детектора. Пользуясь правилами функционального преобразования случайных величин, можно найти одномерные ПВ квадрата огибающей при отсутствии сигнала

	1		x
W (x)	1	exp	x	, x 0
W (x)		exp		, x 0
	2 2		2 2
	2 2		2 2

и при наличии гармонического сигнала с частотой 0 и амплитудой Um

			2
	1				Um	x
W (x)			x Um	I0
	2 2	exp	2 2		2		, x 0 .

Для корреляционной функции квадрата огибающей узкополосного стационарного нормального процесса, которую можно получить с помощью двумерной ПВ квадрата огибающей на основе правил преобразования совокупности СВ, справедливо выражение:

K 2 ( ) 4 4r 2 ( ) .

Среднее значение квадрата огибающей равно 2 2 . Проверить это мы предлагаем читателю. В качестве упражнения предлагается также найти спектральную плотность квадрата огибающей, если известна спектральная

- 109 -

плотность S ( ) исходного узкополосного нормального процесса, например

для полосового шума с прямоугольным энергетическим спектром. Информацию о вероятностных характеристиках фазы узкополосного

нормального процесса можно получить с помощью [9].

Функционал плотности вероятности (ФПВ) нормального случай-

ного процесса. Ранее неоднократно отмечалось, что любая совокупность п отсчетов нормального случайного процесса описывается многомерным нормальным распределением

W ( x)

exp

a т K 1 x

2 n det K

, ,

т – вектор отсчетов описываемого нормального слу-

где x x , x

чайного процесса (xi

– вектор средних значений

= x(ti)); a a1, a2 , , an т

для рассматриваемых отсчетов;

K Kij –

корреляционная матрица, эле-

ментами которой являются ковариации отсчетов, т. е. Kij

COV xi , x j .

Если процесс x(t) имеет финитный спектр, т. е. S(f) = 0 при | f | > F, то

совокупность отсчетов, взятых с интервалом t ti 1 ti 1 2F , полностью

его определяет (теорема Котельникова). В случае неограниченного спектра

(конечный интервал наблюдений [0, T]) требуется осуществить предельный

к нулю,

а n T

t к бесконеч-

переход в формуле для W (x) , устремляя

ности. Запишем

W (x) в развернутой форме:

W (x , x , ..., x )

exp

K 1 x

1 2

2 n det K

2 i 1 j 1

где xi = x(ti), Kij 1 – элементы матрицы, обратной K. Учтем, что

n n

lim

a K 1 x

t 0

i 1 j 1

n n

lim

Kij

t 0

i 1 j 1

T T x(t ) a(t ) K

1 t , t

x(t

) a(t

)

dt dt

0 0

- 110 -

где K 1 t , t

lim

1 i t, j t

–

обратная корреляционная функция,

i t t1

t 2

j t t2

удовлетворяющая интегральному уравнению

K 1 t , t K t, t

dt t , t

которое вытекает из соотношения, связывающего элементы матриц K и K–1:

1, i j;

Kil Klj 1 ij ,

где ij

– символ Кронекера,

превращающийся в

l 1

0, i

дельта-функцию в результате предельного перехода

Klj

K t , t K 1 t, t

dt ,

t , t

lim

t 0 l 1

t 2

t 0

Если процесс x(t) является стационарным и интервал наблюдения велик по сравнению с временем корреляции, то интегральное уравнение для обратной корреляционной функции можно переписать следующим образом:

K 1 t1 t K t t2 dt t1 t2

и решить его с помощью теоремы о свертке, применив к обеим частям пре-

образование Фурье. Для этого выполним замену переменной t – t2 = x и вве-

дем переменную t1 – t2 = . Получим:

					1 x dx ,
			K x K		1 x dx ,

откуда следует, что S( )FK 1( ) 1 и							FK 1( ) S( ) 1 , где F – оператор
Фурье, S( ) – спектральная плотность процесса x(t).
Обозначая lim			1			k , получим окончательно:


		2 n det K
n		2 n det K
	1		T T
W x(t) k exp	1			x(t ) a(t			) K 1 t , t		x(t		) a(t		) dt dt		,
W x(t) k exp				x(t ) a(t			) K 1 t , t	2	x(t	2	) a(t	2	) dt dt	2	,
				1	1		1	2		2		2	1	2
	2 0 0
	2 0 0

где a(t) – среднее значение процесса x(t).

Если x(t) – нормальный “белый” шум с КФ K( ) N0 2 , то

K 1(t1, t2 ) 2 N0 t1 t2 ,

- 111 -

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический аппарат радиотехники

#
21.03.2026670.32 Кб05.docx
#
21.03.20262.03 Mб06.docx
#
21.03.20262.11 Mб0МАРТ_Часть1_Глава6.pdf
#
21.03.20261.76 Mб0МАРТ_Часть1_Главы1_5.pdf
#
21.03.20261.86 Mб0МАРТ_Часть2_Главы1_3.pdf
#
21.03.20261.81 Mб0МАРТ_Часть2_Главы4_8.pdf
#
21.03.20262.53 Mб0Фед_задачник_итог.pdf