МАРТ_Часть2_Главы4_8

ренцируемый в среднеквадратическом, будет непрерывным и дифференцируемым и по вероятности.

Необходимым и достаточным условием дифференцируемости случайного процесса будет существование и непрерывность второй смешанной

производной корреляционной функции СП 2K (t1, t2 ) , которая определяет

t1 t2

корреляционную функцию процесса (t), т. е.

K (t1, t2 ) 2K (t1, t2 ) .

Для стационарного процесса

K ( ) 2K ( ) .2

За счет чего в данной формуле появился минус, предлагаем догадаться чита-

~ ~

телю. Учитывая, что F s (t) j s ( ) , где s ( ) F s(t) , а F – оператор Фурье, получим, что спектральная плотность производной

S ( ) 2S ( ) .

Из рассмотренных выше примеров случайных процессов «белый» шум является разрывным, недифференцируемым процессом (см. рис. 5.3, а); процесс с лоренцевским энергетическим спектром (рис. 5.3, е) является непрерывным, но недифференцируемым. Остальные рассмотренные процессы непрерывны и дифференцируемы.

Рассмотрим вопрос о взаимной корреляционной функции процесса (t) и его производной (t). Считая процесс дифференцируемым в среднеквадратическом, можно показать, что

K (t1, t2 ) K (t1, t2 ) .

t2

Для стационарного процесса

K ( ) K ( ) K ( ) .

Преобразование Фурье взаимной КФ даст взаимный энергетический спектр процесса и его производной, который в силу свойств преобразования Фурье будет равен

S ( ) j S ( ) .

- 93 -

Так как корреляционная функция стационарного СП является четной, то K ( ) – нечетная функция, т. е. K ( ) = – K ( ) и K (0) = 0. Таким образом, значения дифференцируемого СП и его производной в совпадаю-

щие моменты времени (t1 = t2 = t, = 0) некоррелированы. Рассмотрим вопрос об интегрировании случайных процессов.

T

Изучим сначала линейный функционал от СП (t) вида s(t) (t) dt ,

0

где s(t) – детерминированная функция. Записанный интеграл есть случайная величина, к которой при max tk 0 в среднеквадратическом сходится последовательность СВ

Среднее значение и дисперсия этой случайной величины равны соответственно

Если М { (t)} = 0, то M 0.

При k << T в силу центральной предельной теоремы распределение

W (x) будет близко к нормальному с параметрами M и D . Для «белого» шума, у которого М (t) = 0, а K (t1 t2 ) N0 2 t1 t2 , нормаль-

воспринимать как результат действия оператора Вольтерра с ядром, тождественно равным единице. Более общим случаем будет реакция линейной системы с импульсной характеристикой h(t, ) на стационарный случайный

T T

Как видно из приведенных выражений, процесс (t) нестационарный, так как среднее значение зависит от времени.

Если линейная система стационарна (имеет постоянные параметры), то h(t, ) = h(t ) и в установившемся режиме (Т = ) процесс (t) будет ста-

ционарным в широком смысле. Его математическое ожидание

M (t) M (t) h(t)d

0

не зависит от времени, а корреляционная функция K (t1, t2 ) будет зависеть от разности t1 t2 . Убедиться в этом мы предлагаем читателю. Для “белого” шума M (t) 0 , а КФ определяется выражением

Для «белого» шума M (t) 0 , а дисперсия D t = N0 2 t T .

В установившемся режиме для стационарной линейной системы при отыскании корреляционной функции на выходе можно воспользоваться частотным методом, заменив в выражении

корреляционную функцию K ( 1 2 ) ее представлением через спектраль-

где K(j ) – коэффициент передачи линейной системы, получим окончательно:

откуда видно, что K (t1, t2 ) действительно зависит от разности t1 t2 , а про-

изведение S ( ) K ( j ) 2 является спектральной плотностью процесса (t) :

S ( ) = S ( ) K ( j ) 2 .

Контрольные вопросы

1.Какие виды сходимости последовательностей СВ Вам известны?

2.Дайте определение непрерывности СП в точке и в области.

-96 -

3.Сформулируйте необходимые и достаточные условия дифференцируемости СП.

4.Какой вид имеют взаимная корреляционная функция и взаимный энергетический спектр процесса и его производной?

5.Как связаны между собой корреляционная функция стационарного

СП и его производной? Какова связь между энергетическими спектрами СП x t и x' t ?

мальный «белый» шум с S N0 2 , s t детерминированная функция.

Глава 7. НОРМАЛЬНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС

Следствием центральной предельной теоремы является чрезвычайно широкое распространение в радиотехнике и других областях науки и техники нормального случайного процесса. Если выполняется условие F fэ , гдеF – полоса пропускания линейной системы, а fэ – эффективная ширина спектра входного случайного процесса, то значения выходного СП в произвольный момент времени можно приближенно рассматривать как взвешенную сумму fэ F независимых случайных величин. При этом независимо от распределения отсчетов входного СП предполагается, что условия центральной предельной теоремы выполняются. Тогда выходной процесс будет приближенно нормальным. Очевидно, что степень приближения зависит от числа независимых слагаемых fэ F и распределения отсчетов входного процесса. Это явление называют эффектом нормализации.

Совокупность отсчетов нормального СП образует нормальный слу-

чайный вектор 1, 2 , , n т , статистические свойства которого были

подробно рассмотрены ранее. Следствием этих свойств является то обстоятельство, что нормальный случайный процесс полностью определяется ма-

- 97 -

т. е. его полное описание дается в рамках корреляционной теории.

Если нормальный СП подвергается линейному преобразованию, то в результате мы получаем нормальный случайный процесс, если преобразование осуществляется с помощью оператора, либо нормальную случайную величину, если речь идет о линейном функционале от нормального СП.

Например, производная дифференцируемого стационарного нормального СП есть стационарный нормальный процесс с нулевым средним значе-

нием и корреляционной функцией K ( ) d 2K ( )d 2 , где K ( ) – КФ исходного процесса.

Спектральная плотность процесса (t), как уже отмечалось, равна

S ( ) 2S ( ) , где S ( ) – спектральная плотность исходного процесса.

Результат действия оператора Вольтерра с ядром h(t, ) на стационар-

t

ный нормальный процесс даст нормальный СП (t) h(t, ) ( )d , который

t0

в общем случае уже не будет стационарным. Его среднее значение

t

M (t) M (t) h(t, )d

t0

и дисперсия

t t

M (t) M (t) 2 h(t, 1)h(t, 2 )K ( 1 2 )d 1d 2 .

t0t0

зависят от времени.

Если t0 = – , а h(t, ) = h(t ) , что соответствует установившемуся режиму отклика стационарной линейной системы с импульсной характеристикой h(t) , то процесс на выходе можно считать стационарным нормальным процес-

сом со средним значением M (t) M (t) h(t)dt const и дисперсией

0

- 98 -

Винеровский процесс нестационарен, его часто называют процессом, описывающим броуновское движение частицы под действием ударов моле-

где Q1k (x1) и Q2l (x2 ) – ортонормальные многочлены, соответствующие ве-

совым функциям p1(x1) и p2 (x2 ) . Коэффициенты Стп находятся с помощью умножения обеих частей записанного равенства на Q1m (x1) Q2n (x2) и двойного интегрирования по области, определенной весовыми функциями, что с учетом ортонормальности Q1m (x1) и Q2n (x2) дает:

Так как произведение полиномов Q1m (x1) Q2n (x2) есть выражение вида

m n

aib j x1i x2j , i 0 j 0

то коэффициенты Стп выражаются через корреляционные моменты mij. В роли весовых функций обычно выступают одномерные ПВ W 1 x1 и

W 2 x2 . Для стационарного нормального СП с нулевым средним значением и единичной дисперсией выполняются соотношения