МАРТ_Часть2_Главы4_8

спектральная плотность S(f) определяет в общем случае распределение дисперсии СП по частоте. Для случайных напряжения и тока S(f) описывает распределение средней мощности, выделяемой на резисторе с сопротивлением 1 , по спектру.

Остановимся более подробно на свойствах КФ и спектральной плотности стационарных СП. Прежде всего отметим, что спектральная плотность S(f), как преобразование Фурье четной функции K( ), является вещественной четной функцией. Будучи распределением по спектру неотрицательной характеристики СП – дисперсии, S(f) 0. Это означает, что КФ должна иметь неотрицательное преобразование Фурье. Кроме того, КФ стационарного СП, как уже отмечалось, должна быть четной функцией , т. е. K(– ) = K( ). Также справедливо неравенство K(0) = D{ (t)} |K( )|, поскольку

Напомним, что так как S(f) 0, то | S(f) | = S(f). Знак равенства в полученном

стремится к нулю апериодически или совершая затухающие колебания. Числовой характеристикой спектральной плотности S(f) является эф-

для СП, у которых S(f) группируется около нулевой частоты, т. е. видеопро-

- 72 -

- 75 -

- 76 -

СПМ, а f0 – ее центральная частота.

Для узкополосных СП спектральную плотность S(f) можно представить в виде двух неперекрывающихся, как это показано на рис. 5.3, в, д, слагаемых:

S ( f ) и S ( f ) , смещенные на величину f0 соответственно вправо и влево

(рис. 5.3, ж), то получим:

Выполняя в первом интеграле замену переменной f + f0 = x, а во втором

f – f0 = x, и учитывая, что SB ( f ) и SB ( f ) при | f | > f0 пренебрежимо малы, получим после несложных преобразований следующее выражение для КФ узкополосного процесса:

- 78 -

щая КФ узкополосного процесса, а ( ) – фаза КФ, определяемая выражением

= SB ( f ) будут четными функциями, следовательно, будет справедливо ра-

венство SB ( f ) sin 2 f df 0 и КФ узкополосного процесса примет вид:

K( ) = 2r( ) cos 2 f0 ,

где 2r( ) 2 SB ( f ) cos 2 f df .

Таким образом, КФ узкополосного СП имеет вид радиоимпульса с оги-

бающей 2r( ) и высокочастотным заполнением, имеющим в общем случае угловую модуляцию по закону

A ( )B( ) 0 и угловая модуляция КФ отсутствует.

Комплексные случайные процессы. В некоторых задачах приходится сталкиваться с комплексным случайным процессом (t) = (t) + j (t), где (t) и (t) – вещественные случайные процессы. Процесс (t) будет полностью

определен, если для любых п и t1, t2, …, tn можно задать совместную ФР

- 79 -

нее значение, корреляционная функция и дисперсия равны, соответственно:

М{ (t)} = М{ (t)} + М{j (t)};

Kt1, t2 M (t1) M (t1) (t2 ) M (t2 ) * K t1, t2 K t1, t2

j K t1, t2 K t1, t2 ;

М2 (t) = M (t) M (t) 2 M 2 (t) M 2 (t) .

Случайные процессы с дискретным спектром. Рассмотрим СП вида

n

(t) = k cos k t k sin k t , где k и k – случайные, а k – детермини-

k 1

рованные величины. Выясним, при каких условиях данный СП будет стационарным в широком смысле. Во-первых, среднее значение М{ (t)} не должно

зависеть от времени. Это возможно только тогда, когда М{ k} = М{ k} = 0, k = 1, 2, …, n. Во-вторых, корреляционная функция

должна зависеть от разности t1 – t2 = . Для этого должны выполняться следующие условия: М2{ k} = М2{ k} = 2k , M k l M k l M k l 0 , k l. При выполнении этих условий КФ процесса (t) принимает вид

n

K ( ) 2k cos k . k 1

Спектральная плотность, соответствующая записанной КФ, будет представлять собой сумму дельта-функций на дискретных частотах k:

n

S( ) 2k k k . k 1

При k = 1 получаем гармоническое колебание

(t) = cos( t – ) = cos cos t + sin sin t = cos t + sin t

нарности процесса (t) в широком смысле достаточно, чтобы и были бы независимыми СВ и выполнялись бы условия

- 80 -

функция с периодом 2 , не должен содержать первых двух гармоник, иначе

говоря, W( ) = a0 ak cos k bk sin k . Естественно, должна быть обес-

k 3

печена неотрицательность функции W( ). При W( ) = 12 , 0, 2 процесс будет стационарным в узком смысле [7]. С рассмотренной задачей связано каноническое представление СП, которое имеет вид

n

(t) = М{ (t)} + k k (t) ,

k 1

где k – центрированные (М k = 0), некоррелированные случайные величины с дисперсиями 2k , k (t) – неслучайные функции. Случайные величины k называют коэффициентами, а k (t) – координатными функциями канонического разложения [10].

Рассмотрим вопрос об отыскании координатных функций. Будем считать, что k t образуют ортонормальную систему на промежутке t0, t1 . Тогда для коэффициентов k будет справедливо представление

t1

k t M t k t dt .

t0

Запишем выражение для ковариации коэффициентов k , имея в виду, что M k = 0:

t1 t1

COV k , l t1 M t1 t2 M t2 k t1 l t2 dt1 dt2 =

t0 t0

t1 t1

= K t1, t2 k t1 l t2 dt1 dt2 . t0 t0

- 81 -