МАРТ_Часть2_Главы1_3

,

pi F xi F xi 1

где x0

x1

... xm – разбиение интервала , , о котором шла

речь выше.

После этого вычисляется статистика

n

2

n

np 2

i

p

m

m

n

i

2

i

i

n

,

i 1

npi

i 1

pi

что при n ni

называемая статистикой Пирсона, который доказал,

i

записанная статистика имеет распределение 2

с m 1 степенью свободы и,

Очевидно, что 2

m n

2

1

n

i

pi

есть евклидово

расстояние

n

p

i 1

i

a

x, y между вектором

x , компонентами которого являются эмпирические

2

частоты ni n попадания наблюдаемых величин в i и вектором y

, компонен-

ты которого – теоретические вероятности pi

попадания наблюдений в i .

Компонентами весового вектора

а являются величины обратные веро-

бы условие n pi 10 .

Распределение

Стьюдента (t-распределение). Рассмотрим СВ

n , где и

– независимые СВ, причем имеет стандартное нор-

мальное распределение M 0

D 1 , а – 2 -распределение с n степе-

нями свободы. Тогда ПВ случайной величины имеет вид

n 1 2

x2 n 1 2

, x ,

W (x)

1

n n 2

n

что ln и

d

1

, получим для логнормальное распределение. Условие

d

W (х) 0

при

х 0

связано с положительностью функции е для всех .

равны M k exp k 2 2 / 2 ka ,

Моменты

логнормального распределения

откуда можно найти

среднее

значение

m exp 2

2 a , дисперсию

1

D e 2 2a e 2

1

, асимметрию

1

e 2

2 e 2

1 и коэффициент

эксцесса e4 2 2e3 2 3e2 2

6 . Заметим,

что СВ и её моменты явля-

ются безразмерными величинами e .

данием а и дисперсией 2 , а

f

– монотонная дифференцируемая функция.

Решая задачу функционального преобразования СВ, получим

(x) a 2

W (x)

1

e

2

2

d (x)

,

2

dx

где (х) – функция обратная f(x) (результат

решения уравнения f от-

Распределение Релея Райса. Рассмотрим задачу о распределении мо-

, ПВ которого

дуля и аргумента нормального случайного вектора 1, 2

имеет вид

x a

2 x

2

a

2

2

1

1 1

2 2

W ( x1, x2 )

2 2

e

,

cos a 2 sin a

2

1

2

W ( , )

e

2 2

2 2

или после несложных преобразований

А2 2 2 A cos

2 2

W ( , )

e

,

2 2

где A a2

a2 – модуль вектора, компонентами которого являются мате-

1

2

матические ожидания СВ 1

и 2 ,

arctg а2

а1 – аргумент этого векто-

ра. Для определения ПВ необходимо проинтегрировать W ( , ) по всем

значениям , т. е.

2

А2

2 2 A cos

2 2

W ( ) 0

e

d

2 2

2 А2

2

A

cos

1

e

2 2

e 2

d .

2

2

0

Так как подынтегральное выражение зависит только от

и интегри-

cos

(х)

1

2

ex cos d , получим окончательно

рядка I

0

2 0

2 А2

A

e

2 2

, 0.

W ( )

2

I0

2

0 ,

0.

2

2

e 2

, 0;

W ( )

2

0.

0 ,

- 54 -

1

2

e x h

2 *.

2

Моменты распределения Рэлея–Райса mk

выражаются через вырож-

денную гипергеометрическую функцию

k 1

2 А2

k

2

2 2

A

k

k

A

mk

2

2

2 1

2

e

I0

2

dt

1 , F1

2

, 1;

2

2

.

0

2

Четные моменты k 2n ,

с учетом свойств вырожденной гипергеомет-

рической функции (см. ч. I, гл. 6) являются полиномами от

A2

и имеют вид

2 2

m 2 2 A2 ,

m 8 4

8 2 A2 A4

, m 48 6 72 4 A2 18 2 A2 A6 , … .

2

4

6

h2

h2

h2

h2

h2

m

e

4

1

I

0

I

1

,

1

2

2

4

2

4

h2

h2

h2

h2

h2

m

3

3 3

e

4

1

I

0

I

1

.

2

2

4

2

4

А 0, a b 0

При h 0

как

уже

отмечалось,

распределение Рэлея–

2 2 ,

3 3

ляют соответствующие

моменты:

m

2 ,

m

m

3

2 ,

1

2

m 8 4

, и т. д.

4

Пользуясь связью между центральными и начальными моментами,

можно определить дисперсию

h

2

h2

h2

h2

h2

D 2

2

h2

e

2

1

I

0

I

2

2

4

2

1

4

1e x

0

x

, x

W ( x)

0, , 0.

0, х

Моменты mk M

k

k

k 1 . С их помощью мож-

равны mk

но найти дисперсию

2

2

2

2

1

2

D m

2

m

1

.

1

2

Для описания модели замираний сигнала в канале часто используют

распределение Накагами (m – распределение) с ПВ

m

x2

m

2

2

m

x2m 1e

σ

W (x)

при

x 0,

ξ

Γ