Добавил:

Gigol Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Математический аппарат радиотехники

Файл:

МАРТ_Часть2_Главы1_3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.03.2026

Размер:

1.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Характеристическая функция для закона арксинуса

		v	1	1	e	jvx				2	1		cos vx
			1		e			dx		2			cos vx	dx .


				1 1 x2							0	1 x2
Выполняя замену переменной x sin ,												приходим к интегралу Парсе-
	2	2
валя v	2	cos v sin d . Следовательно, v J 0 v .
валя v		cos v sin d . Следовательно, v J 0 v .
		0
Математическое ожидание равно нулю, а для вычисления дисперсии
удобно воспользоваться формулой
		D = D cos =					1								1
							1		cos2 d =						1	.
							2		cos2 d =							.
							2					2

Распределение Коши. Распределение Коши встречается при решении следующей вероятностной задачи. Пусть из начала координат проведен под случайным углом , равномерно распределенным в интервале 0, , отрезок, пересекающий прямую y h в случайной точке ( , h ), рис. 3.5.

Требуется найти ПВ случайной величины . Случайные величины и связаны очевидным соотношением ctg h . Пользуясь правилами преобра-

зования СВ и учитывая, что W

при

= 0, , а

, полу-

чим окончательно W

h2 x

Как

уже

отмечалось, для распределения

Коши характерно отсутствие моментов,

так как

интеграл

k W x dx расходится

при

любых

значениях k =1, 2, … .

Характеристическая функция

распределе-

ния Коши равна

Рис. 3.5

he jvx

dx = e h

h2 x2

Найдем ПВ суммы = i независимых СВ i ,

каждая из которых

i 1

подчиняется распределению Коши с параметром h . Пользуясь методом ХФ,

- 41 -

v e Nh

получим, что

, а ПВ равна W

Nh 2 x 2

i 1

т. е. распределение Коши с параметром N h .

Полученный результат определяет устойчивость распределения Коши. В связи с этим дадим определение [2].

Распределение с ХФ v называется устойчивым, если для любых h1 ,

h2 найдутся a , h > 0 такие, что h1v h2v e jva hv .

Наш случай соответствует a = 0 и h = h1 + h2 . Это определение можно сформулировать и в терминах ПВ. Сделать это предлагается читателю.

Гамма-распределение. Случайная величина имеет гамма-распре- деление с параметрами ( > 0, > 0), если

x 1e x

, x 0;

W x

x 0.

Функция распределения равна нулю при x 0 , а при x 0 выражается

через неполную гамма-функцию (см. 6)

, x

F x

t 1e t dt

Характеристическая функция имеет вид

t 1e x e jvxdx

1 jv

Этот результат при целых можно получить без вычисления интегра-

ла с помощью следующих рассуждений. При = 2, 3, …, M гамма-распре-

деление дает ПВ суммы независимых СВ

i ,

подчиненных показательному

(экспоненциальному) распределению

x 0;

x 0.

имеющему ХФ v e x e jvxdx

. Учитывая свой-

ство ХФ суммы независимых СВ, получим v 1 1 jv M .

- 42 -

Гамма-распределение при = 1, 2, 3, … называется распределением Эрланга и играет важную роль в теории массового обслуживания и теории надежности. При = n и n оно дает ПВ длительности интервала времени до появления n событий (вызовов, отказов) процесса Пуассона с параметром . Определение процесса Пуассона будет дано далее в разделах, посвященных случайным процессам.

Начальные моменты

M k

равны m

1 k 1

k , а дисперсия, асимметрия и коэффициент эксцесса определяются вы-

ражениями D 2 ,

, 6

При = N 2 и

= 1 2 гамма-распределение превращается

2 -распределение с N степенями свободы, играющее важную роль в задачах математической статистики. С ним мы познакомимся позже.

Распределение Лапласа. Плотность вероятности распределения Лапласа, или двойного экспоненциального распределения, имеет вид

W x = e

x a

, x , .

Функция распределения может быть записана как F

x =

x e

t a

при

x a и F

x =

x e

t a

при x a , или окончательно

x a

, x a;

F x

x a

, x a.

С помощью несложных вычислений можно найти ХФ для распределения Лапласа

	v = 2 e jva	,
	v2 2
начальные моменты	M 2k 1 a2k 1 2k 1 !, k 0,1, ,
m	M 2k 1 a2k 1 2k 1 !, k 0,1, ,
2k 1
	- 43 -

2 k 1

2k !,

2k !

2 k 1 !

дисперсию D 2

2 , асимметрию

и эксцесс

6 .

Бета-распределение. Плотность вероятности случайной величины , принимающей значения на интервале 0,1 и имеющей бета-распределение с параметрами >0, >0, может быть записана как

		x	1	1		1
		x		1	x			, x 0,1 ;

			,
	W x		,
					0, x 0,1 .
					0, x 0,1 .
Функция распределения выражается через неполную бета-функцию
		F	x		x ,
		F	x		,
					,
(ч. I, гл. 6).
Начальные моменты m M k						k					, откуда для диспер-
		k				k
		k
сии D , асимметрии 1 и эксцесса 2						(а соответственно, и для = 2 – 3)
можно получить следующие выражения:
					, =		2
D							2			1			,
D													,
	2 1					1			2
	2 1								2
2		6 2	1 2
	=											.
	=					2 3						.
						2 3

Характеристическая функция представляется с помощью степенного ряда и здесь не приводится. При целочисленных значениях параметров = k и = n k 1 бета-распределение дает ПВ k -й порядковой статистики ( k -го элемента в вариационном ряду ) 1 , 2 , , n , полученного путем упо-

рядочивания (ранжирования) исходной выборки 1, 2, , n , состоящей из независимых и равномерно распределенных на интервале 0,1 СВ. При k = 1 и k = n мы имеем распределение наименьшего и наибольшего значений соответственно.

Для ФР наименьшего и наибольшего значений в выборке из N независимых СВ с ФР F x будем иметь соответственно 1 Fнаим. x 1 F x N и

- 44 -

Fнаиб. x F x N . Дифференцируя обе части, записанных равенств по x ,

получим Wнаим. x N 1 F x N 1W x и Wнаиб. x N F x N 1W x .

Читателю предлагается убедиться в этом. При = = 1 бетараспределение совпадает с равномерным, а при = = 12 может быть сведено к закону арксинуса.

3.5.6.Распределения, связанные с нормальным

Снормальным распределением мы сталкивались и знакомились на протяжении почти всего предшествующего материала второй части настоящего пособия. Фундаментальная роль нормального распределения определяется содержанием центральной предельной теоремы, простейший вариант которой (следствие из теоремы Линдеберга [1]) звучит так.

Если независимые случайные величины 1, 2, , n одинаково рас-

пределены и имеют конечные отличные от нуля дисперсии, то при n равномерно по x

i M i x

2dt ,

i 1

где n

D i

D i . Из этого становится ясно, почему распре-

i 1

деление суммы независимых СВ, подчиняющихся распределению Коши, не имеющему моментов, не стремится к нормальному закону.

Как и распределение Коши, нормальное распределение является устойчивым: распределение суммы независимых нормальных СВ будет нормальным с математическим ожиданием и дисперсией, равными сумме математических ожиданий и дисперсий слагаемых соответственно. Далее мы убедимся в том, что СВ будет гауссовской и для зависимых слагаемых.

Для знакомства с распределениями, связанными с нормальным, нам

потребуется информация о двумерном нормальном законе и распределении

двумерного нормального случайного вектора 1, 2 .

В соответствии с общей формой записи многомерного нормального

				1	2	2
				1	Cij xi ai x j a j
	x , x				Cij xi ai x j a j
распределения W	x , x	2	Ae	2i 1 j 1			.
	1	2
						- 45 -

Элементы Cij	квадратичной формы определяются обратной корреля-
ционной матрицей	K 1 , где		D			cov ,			– симметричная и
		K		1		1		2
		cov		2	,	D	2
					1

положительно определенная. Дисперсия нормальной СВ обычно обозначается как 2 , поэтому корреляционная матрица имеет вид

	2			r	,
K	1		1 2		,
		r	2
	1 2		2
где r коэффициент корреляции, а

					1						r

		2		1 r			2		1 2 1 r			2
	1	2					2					2
K	1		2
K						r					1		.
						r					1

						1 r2					1 r2
					2	1 r2				2	1 r2
		1			2			1

Константа A определяется из условия нормировки и равна

A =			1					.			Окончательное					выражение						для		двумерного нор-


		2 2 2		2		1 r2
			1		2
мального распределения имеет вид
							W			x , x						1
							W			x , x
											1	2		2 2 2 2				1 r2
														2 2 2 2				1 r2
																1	2
						1			x a				2		2r x	a	x			a			x		a		2
						1			x a				2		2r x	a	x		2	a	2		x		a		2
	exp										1	1			1	1			2		2			2		2		,
	exp				2 1 r						1	1												2		2		,
							2				2					1 2									2
											1					1 2									2

где a	= M и	a	2	=	M – математические ожидания СВ		и	2	, 2	и
1	1		2		2	1		2	1
2 – их дисперсии, а r					– коэффициент корреляции.

Найдем ПВ суммы двух нормальных СВ 1 2 . В соответствии с полученными выше результатами

exp

W (

2 1 r2

					1
x)		W ( x u, u)du			1


					2 2 2	2		1 r2
					2 2 2	2		1 r2
					1		2
	x u a1		2	2r x u a1 u a2			u a2		2
				2r x u a1 u a2						du .
										du .

		2						2
		1		1 2				2
		1		1 2				2

Выполнив элементарные преобразования и интегрирование по u, получим окончательно:

- 46 -

W (x)	1	e x m1 2 2 2 ,

2 2

где m1 M a1 a2 – математическое ожидание суммы СВ 1 и 2 , а

2	2	2	2r	2	– её (суммы) дисперсия. Таким образом, в общем слу-
	1	2	1	2

чае, распределение суммы двух нормальных СВ есть нормальная СВ. Этот результат справедлив и для произвольного числа слагаемых.

Мы уже отмечали, что зная многомерную ПВ W x1, x2, ..., xn , можно найти ПВ подмножества СВ 1, 2, ..., n , проинтегрировав W x1, x2, ..., xn

по «лишним» переменным. Для двумерного случая это даст

W 1 (x1) W (x1, x2 )dx2.

Воспользовавшись этой формулой в нашем случае, после несложных преобразований, которые читателю предлагается сделать самостоятельно,

		1		x a 2	2 2
получим W (x )			e	1 1	1 .
получим W (x )			e		1 .
	1	2 2
		2 2
		1

Таким образом, если случайные величины являются совместно нормальными, то каждая из них будет также нормальной. Обратное утверждение в общем случае несправедливо. Гауссовы СВ могут образовывать негауссову совокупность [3].

Пользуясь полученными результатами, легко найти условную ПВ нормальной СВ W 2 (x2 / x1) W (x1, x2 )W 1(x1) (это выражение обычно рассматривают как определение условной ПВ). Подставляя в эту формулу выражение для W ( x1, x2 ) и

										x		a			2
										1			1
					(x1)	1					2 2
				W					e				1			,


				1			2 2
							2 2
								1
после несложных преобразований получим													2	x a				2 2	1 r 2
							x a r						2	x a			2	2 2	1 r 2
																	2
				1			2 2					1			1	1		2
W	(x		/ x )	1		e														.
W	(x		/ x )			e														.
2		2	1	2 2	1 r 2
				2
						- 47 -

Таким образом, условная гауссовская ПВ также является гауссовской с

условным математическим ожиданием

r 2 x

a и

ξ1

. Из приведенных выражений вид-

условной дисперсией D ξ2

2 1 r

но, что для гауссовских СВ кривая регрессии 2 на

есть прямая. При

r 1 условная ПВ стремится к

, что совершенно

естественно, так как при r 1

СВ 1 и 2 связаны линейной зависимостью

2 a2 c 1 a1 . При

r 0

условная ПВ

W 2 (x2 / x1)

переходит в без-

условную

exp

2 2

что свидетельствует о независимости СВ 1

2 . Это свойство сохраняется

и для многомерных нормальных СВ, т.е. если нормальные СВ некоррелированы, то они и независимы. На рис. 3.6 приведено семейство условных ПВ W x2 x1 для различных значений коэффициента корреляции r и a1 = a2 = 0,

1 = 2 = 1, x1

= 3.

W x2

Рассмотрим область на плоскости х1,

х2 ,

для

которой

1.0

W (х1, х2 ) А, где

А W

(а , а ) ,

а W (а , а

)

– максималь-

0.8

ное

значение

двумерного

нормального

0.6

распределения,

0.4

W (а , а

)

r1 0.2

1 r 2

-4

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 x2

Границей этой области будет эллипс,

Рис. 3.6

приведенный на рис. 3.7 и задаваемый

уравнением

x1 a1 2

2r x1 a1 x2 a2

x2 a2 2 В, где

B 2 1 r2 ln

W (а1, а2 )

1 2

Центр этого эллипса расположен в точке а1, а2 , а полуоси наклонены

- 48 -

по	отношению		к		координатным			осям		х1, х2		на угол
1	2	arctg 2 r	2	2	2	при	2	и	при		2	. При r 0
		1	2	1	2	1	2		4	1	2
									4

и 1 2 эллипс переходит в окружность.

x2					Если перейти от СВ 1 и 2 к
x2				СВ 1, 2 с помощью линейного
	y2			СВ 1, 2 с помощью линейного
	y2			преобразования
			y1	преобразования
			y1	1	1 а1 cos	2 а2 sin ,
				1	1 а1 cos	2 а2 sin ,
a2				2 1 а1 sin 2 а2 cos ,
a2				что	соответствует	применению
				что	соответствует	применению
				оператора поворота		на угол	к

				случайному вектору и переносу
0		a1		x1 начала координат в точку а , а ,
						1	2
		Рис. 3.7		то СВ 1 и 2 , оставаясь нормаль-
ными, будут некоррелированы, а следовательно, и независимы.
	Таким образом, с помощью линейного преобразования коррелирован-

ные нормальные СВ могут быть преобразованы в некоррелированные СВ. Перейдем теперь непосредственно к распределениям, связанным с нор-

мальным.

χ 2 -распределение. К 2 -распределению можно придти, рассматривая следующую задачу. Пусть 1, 2, ..., n независимые СВ, имеющие стандартное нормальное распределение (среднее значение равно нулю, а дисперсия – еди-

нице). Тогда СВ i2 имеет 2 -распределение с n степенями свободы

i 1

			1			n	1	x
					x 2		1	2 , x 0;
							e


W (x)	2	n 2	n	2
	2		n	2
			0.
0, х			0.

В общем случае параметр n может быть любым положительным числом n , 0 .

Таким образом, как это уже отмечалось, 2 -распределение является

частным случаем гамма-распределения, рассмотренного ранее. 2 -распре- деление является одним из трех важнейших распределений выборочных ста-

- 49 -

тистик ( 2 -распределение, распределение Стьюдента и F-распределение). Прежде чем обсуждать эту проблему, напомним определение выборочной статистики.

Если х1, х2, ..., хn – результаты наблюдений (измерений), полученных в

ходе выполнения n независимых повторений случайного эксперимента, связанного со случайной величиной , имеющей ПВ W (х) , которая полностью

или частично неизвестна, то вектор xn х1, х2 , ..., хn называется выборкой объема n из генеральной совокупности с распределением W (х) . Можно дать

и более короткое определение [4].

Выборкой называют последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин.

Выборочными статистиками или выборочными характеристиками называют функции от выборки (выборочных значений х1, х2, ..., хn ).

Примерами статистик могут быть выборочные моменты порядка k.

			1		n			n	k
					n			n
Начальные mk				xik		и центральные M k	1	xi m1 . Для выбороч-
Начальные mk				xik		и центральные M k		xi m1 . Для выбороч-
			n i 1				n i 1
ных моментов	m	и			M	в литературе обычно используют специальные обо-
	1				2

значения m1 x и M 2 S 2 . Отметим, что будучи функцией СВ выборочная статистика является случайной величиной.

Важной задачей статистики является сравнение эмпирического (полученного на основе выборки) и теоретического (или гипотетического) распределений.

Напомним, как строится эмпирическое распределение.

Весь диапазон возможных значений наблюдаемой СВ делится на классы (области), т. е. указывается последовательность примыкающих друг к

другу полуинтервалов i ,	i 1, 2, ..., m,	m n , причем крайние интервалы
1
и m являются полубесконечными.		Обычно конечные интервалы

2, ..., m 1 , их в статистике называют карманами, выбирают одинаковыми. Затем подсчитывают ni – число элементов выборки, попавших в полуинтер-

		и теоретическую вероятность pi	попадания результатов
вал i xi	1, xi

измерения в этот интервал

- 50 -

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический аппарат радиотехники

#
21.03.20261.12 Mб04.docx
#
21.03.2026670.32 Кб05.docx
#
21.03.20262.03 Mб06.docx
#
21.03.20262.11 Mб0МАРТ_Часть1_Глава6.pdf
#
21.03.20261.76 Mб0МАРТ_Часть1_Главы1_5.pdf
#
21.03.20261.86 Mб0МАРТ_Часть2_Главы1_3.pdf
#
21.03.20261.81 Mб0МАРТ_Часть2_Главы4_8.pdf
#
21.03.20262.53 Mб0Фед_задачник_итог.pdf