Добавил:

Gigol Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Математический аппарат радиотехники

Файл:

МАРТ_Часть2_Главы1_3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.03.2026

Размер:

1.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

жения. Производная k -го порядка

характеристической

функции в нуле

k v

= j k

xk W

x e jvx dx

= j k

xk W

x dx =

jk m

позволяет

v 0

определить k -й начальный момент СВ . Таким образом, характеристическая функция может быть представлена рядом Маклорена

		k 0			mk	jv k ,
	v =		vk	=
	v =	k!	vk	=	k!
	k 0	k!		k 0	k!
				ln v = v называется куму-
где m0 =	W x dx = 1. Логарифм ХФ			ln v = v называется куму-

лянтной функцией. Разлагая кумулянтную функцию в ряд Маклорена, получим

									v =					k			jv k	,
									v =								jv k	,
													k 1 k!
где k кумулянты или семиинварианты распределения W x . Кумулянты
k	выражаются через моменты СВ :
		= m	,	2	= M	2	,	3	= M	3	,	4	= M		4	3M 2		,	5	= M	5	10M	3	M	2	, … .
	1	1		2		2		3		3		4			4		2		5		5		3		2
		Для дальнейшего нам потребуется завершить знакомство с нормальной

СВ, рассмотренной в первом приближении в прим. 4 гл. 1. Как было указано ра-

	1			2
нее, ПВ нормальной СВ имеет вид W x	1	exp	x a		.
нее, ПВ нормальной СВ имеет вид W x		exp		2	.
	2 2		2	2
	2 2		2

Характеристическая функция, в соответствии со свойствами преобразования Фурье, будет равна

jvx

jva 2v2

v W x e dx = e

Математическое

ожидание

нормальной

СВ вычисляется как

x a 2

x a

dx . Выполняя замену переменной t

, получим

2 2

t 2

2 dt + a

2 dt .

Первый интеграл равен нулю, как интеграл от нечетной функции в симметричных пределах, а второй – единице по условию нормировки (под

- 31 -

знаком интеграла стоит ПВ стандартной нормальной СВ N 0,1 , имеющей нулевое математическое ожидание и единичную дисперсию).

Таким образом, параметр a имеет смысл математического ожидания нормальной СВ, m1 = a .

Центральные моменты нормальной СВ равны

x a k

x a 2

Mk =

dx ,

2 2

x a

или после замены переменной t

имеем

Mk =

t k e 2 dt .

Учитывая четность при k 2n и нечетность при k 2n 1 , n = 0, 1, 2, …

подынтегрального выражения, получим окончательно

M2n 1 0

и M2n = 2n 1 !! 2n , n =1, 2, … .

Напомним, что M1 всегда равняется нулю.

Полагая

n = 1,

получим M

= 2

, т. е.

параметр

есть дисперсия

нормальной СВ.

Асимметрия нормального распределения

M 3

и коэффициент

M 23 2

эксцесса

– 3=

3 4

3 равны нулю.

Кумулянты нормального распределения k

начиная с k 3 также рав-

ны нулю;

a и

= 2 , поэтому кумулянты, точнее кумулянтные коэф-

фициенты

= n , характеризуют степень отличия рассматриваемо-

12 2

го распределения от гауссовского.

Это находит свое отражение в возможности представления произвольной ПВ с помощью ряда Эджворта

		k
W x = WГ x	1 k		WГk x ,
		k!
k 3

- 32 -

													x						2
			1															1
	x =														2 2
где WГ									e						2 2							– гауссовское распределение, имеющее 1 = m1
где WГ									e													– гауссовское распределение, имеющее 1 = m1
				2 2
и 2 =	M 2 , а коэффициенты k , называемые квазимоментами, выражаются
через кумулянты распределения W x следующим образом:
						3		=				3		,				4	=				4			,			=					5	,					=			6	10 2					, … .
						3						3						4					4					5						5			6						6					3
Квазимоменты отличны от нуля только для негауссовских СВ.
Кумулянты могут быть определены и для многомерных СВ. Чтобы из-
бежать громоздких записей,																					рассмотрим случай двух СВ																														и				,	являю-
																																																		1				2
щихся компонентами или координатами случайного вектора . Для двумер-
ного распределения W															x , x									смешанные начальные и центральные момен-
																	1			2
ты имеют вид
										m								=		xk1 xk2W x , x																					2	dx dx					2	,
											k ,k						2										1		2								1				2			1			2
													1				2										1		2

																x M										k1			x M											k2 W x , x										dx dx
		M	k ,k				=									x M										k1			x M										2	k2 W x , x									2	dx dx			.
			k ,k		2												1								1					2									2							1			2		1 2
			1		2												1													2

Характеристическая функция двумерной СВ

							u, v															W x1, x2 e jvx1 jux2 dx1 dx2

может быть разложена в двойной степенной ряд вида
																															mn,m
															u, v																mn,m							ju n					jv m .
															u, v																							ju n					jv m .
																						n 0 m 0 n!m!
																						n 0 m 0 n!m!
Разложение ln u, v в степенной ряд

																u, v																n,m						ju n					jv m
																																n,m

																							n 0 m 0 n!m!
																							n 0 m 0 n!m!																																	x , x .
определяет совместные кумулянты																													n,m				двумерного распределения W																							x , x .
																													n,m																											1 2
Как и для моментов,											сумма n m определяет порядок кумулянта																																										n,m . Сов-
местные кумулянты выражаются через моменты следующим образом:
		m m m ;																		21		m						21	2m m m															20	m 2m2							m ; ,
	11		11					10							01					21								21						10			11							20		01				10		01
где для удобства записи под mk 0																											и m0k понимаются k -е начальные моменты
одномерных распределений W																									x1				и W						2	x2 , т. е.
																							1												2
																													- 33 -


mk 0	=			xk x0W						x1, x2 dx1dx2 = x1kW x dx1 = M k .
					1	2													1			1

Аналогичная запись справедлива и для															m0k .				Из приведенной записи
видно, что 11 совпадает с ковариацией СВ 1															и		2 , так как
COV ,								x		M x				M				W		x , x		dx dx
COV ,		2		=				x		M x			2	M		2		W		x , x	2	dx dx	=
	1	2							1			1	2			2				1	2	1 2

			W		x , x				dx dx			M M
=	x x	2	W		x , x		2		dx dx		2	M M					2		= m m m .
	1	2			1		2			1	2			1			2			11		10 01

Две СВ являются статистически зависимыми или просто зависимыми,
если хотя бы один из совместных кумулянтов n,m ,																			n, m 0 отличен от нуля.

3.5. Числовые характеристики некоторых распространенных распределений случайных величин

Заканчивая знакомство со случайными величинами, рассмотрим основные распределения, описывающие СВ, наиболее часто встречающиеся на практике.

3.5.1. Распределение Бернулли

Распределение Бернулли, введенное в начале гл. 1, пример 1, описывает дискретную СВ, принимающую значение 1 с вероятностью p , и значение 0

с вероятностью 1 p . Плотность вероятности данной СВ имеет вид

W x 1 p x p x 1 .

Характеристическая функция

v W x e jvx dx = 1 p pe jv 1 p e jv 1 .



Математическое ожидание и дисперсия равны соответственно

m	= p , D = m	– m2	= p – p2	= p 1 p .
1	2
		1

3.5.2. Биномиальное распределение

- 34 -

Биномиальное распределение было достаточно подробно рассмотрено в примере 2 в начале гл. 1. Нам осталось определить только числовые характеристики и ХФ.

Для решения этой задачи будем рассматривать результат (число успехов M в серии из N последовательных испытаний) как сумму независимых СВ, подчиненных распределению Бернулли – принимающих значение 1

(успех в испытании) с вероятностью	p и 0 (неудача) с вероятностью 1 p ,
N
т. е. СВ M = i , где 1, 2 , , n	– независимые СВ, подчиненные рас-
i 1

пределению Бернулли.

Пользуясь правилами отыскания математического ожидания и дисперсии суммы (с учетом независимости СВ i ), получим:

m1 = M i = N p и D =

D i = Np (1 p ).

i 1

интервале p N 1 1,

Наивероятнейшее значение M находится в

p N 1 . Учитывая независимость слагаемых, ХФ

v 1 p e jv 1 N .

Пользуясь приведенными выше соотношениями, нетрудно найти асим-

метрию распределения

1 2 p

и коэффициент эксцесса

Np 1

1 6 p 1 p

. Видно, что с ростом

, 0 ,

что свидетельствует о

Np 1 p

справедливости локальной теоремы Муавра. Причем для величин 1 и скорость сходимости к нормальному распределению в смысле, указанном в формулировке теоремы Муавра, зависит от величины p , определяющей симметрию биномиального распределения. Скорость сходимости зависит от величины p (1 p ) и будет максимальна при p 12. На практике, если p удовлетворяет условиям:

N	p (1 p ) > 9 и	1	p	N	,

		N 1		N 1
то для определения вероятности P M			можно пользоваться приближен-

ными формулами вида

- 35 -

M 0.5 Np		M 0.5 Np
P M =				.

	Np 1 p		Np 1 p

Для ФР биномиальной СВ в этих условиях справедливо приближенное представление

x 0.5 Np
F x		,



	Np 1 p

причем если Np32 1.07 , то ошибка при использовании нормального распределения вместо биномиального не превосходит 0.05 для всех x . В приве-

денных формулах x	1	x	t	2	2dt
	1	e		2		– интеграл вероятностей, подробно


	2

рассмотренный в гл. 6 первой части пособия.

3.5.3. Отрицательное биномиальное распределение (распределение Паскаля)

Случайная величина описывается отрицательным биномиальным распределением с параметрами ( r , p ), если

P k Ck pr 1 p k , k = 0, 1, 2, … r k 1

При натуральном r это распределение дает вероятность того, что в схеме последовательных независимых испытаний с вероятностью успеха p до получения ровно r успехов пройдет k испытаний. При r = 1 данное распределение называют геометрическим. Числовые характеристики СВ , подчиненной отрицательному биномиальному распределению, имеют вид:

M = m	= r	1 p	; D = r	1 p	; M		M M 3	= r 1 p 2 p ;
						3
1		p		p2				p3

M 4	M M 4 = 1 p r	3r 1 p 6 1 p p2	.

		p4

В качестве упражнения читателю предлагается доказать справедливость формулы для m1 и D при r = 1.

3.5.4. Распределение Пуассона

- 36 -

К распределению Пуассона приходят, рассматривая схему последовательных независимых испытаний в условиях, когда вероятность успеха зависит от числа испытаний N и pN 0 при числе испытаний N .

При этом в соответствии с теоремой Пуассона [1]:

		NpN	M
lim	P M	NpN
N		M!

e	Np	0 ,
e	N	0 ,

иными словами, при N P M =	M e , где = lim NpN – параметр
	M!	N

распределения Пуассона.

Рассмотрим конкретный пример, приводящий нас к распределению Пуассона. Пусть на телефонную станцию в случайные моменты времени поступают вызовы, относительно которых мы сделаем следующие предположения:

1.Вероятность поступления вызова в малый интервал t пропорциональна величине интервала t , не зависит от положения интервала на оси времени и от того, поступил или нет вызов в предшествующем интервале.

2.Считается, что вероятность поступления двух и более вызовов в малый интервал t есть 0 t , т. е. бесконечно малая более высокого порядка, чем t .

Таким образом, в пределах промежутка времени T мы имеем N =T t последовательных независимых испытаний с вероятностью успеха в одном испытании pN 1 t 1T N . При сформулированных условиях мы имеем схему N последовательных независимых испытаний с вероятностью успеха в испытании pN 1T N , где 1 имеет смысл среднего числа успехов (вызовов) в единицу времени, а 1T – среднее число успехов за время T . Тогда, в соответствии с теоремой Пуассона, вероятность того, что за время T интересующее нас событие (вызов) будет иметь место ровно M раз, равна

P M = M e , M = 0, 1, 2, … .

M !

Это распределение и называется распределением Пуассона. Убедимся в том, что для записанного распределения выполняется условие нормировки

		M
P M e		e e 1.
M 0	M 0	M!

- 37 -

Характеристическая функция для распределения Пуассона может быть

найдена путем подстановки в ХФ биномиального распределения

p N и

предельного перехода с учетом того, что

lim 1

ea . В результате

v e e jv 1 .

Математическое

ожидание

СВ,

описываемой

распределением

M 1

равно

e =

Пуассона,

. Учитывая, что

M 0

и поэтому

= . С по-

, ряд в выражении для

есть

M 0

e =

мощью аналогичного приема можно показать,

что

m2 =

M 2

M 0

= 2 ,

и следовательно, D

= ,

= m

т. е. пуассоновская СВ имеет

одинаковые математическое ожидание и дисперсию, равные .

Асимметрия и коэффициент эксцесса распределения Пуассона равны

и 1 3 . С ростом распределение Пуассона

соответственно 1 1

может быть аппроксимировано нормальным и при больших можно пользоваться приближенным выражением

	k 0.5
	P M k				,

где x – интеграл вероятности.

3.5.5.Распределения, связанные с равномерным

Вначале главы была рассмотрена СВ, все значения которой в интервале a, b равновероятны. ПВ такой величины имеет вид

		1	, x a, b ;


W x
	b a
		0, x a, b .

Характеристическая функция равномерного распределения равна

- 38 -

b	e jvx		e jvb e jva		jv a b 2 e jv b a 2 e jv b a 2
v		dx		e
			jv b a
a	b a					2 jv b a 2

e jv a b 2 sin v b a 2 ,

vb a 2

адля среднего значения и дисперсии справедливы соотношения

b			a b	b	2		2
M =	x	dx =		и D =	x a b 2	dx =	b a .
	b a		2		b a
a				a			12

Асимметрия распределения равна 0, коэффициент эксцесса 4.8 .

С равномерным распределением приходится сталкиваться при изучении ошибок квантования (переход от непрерывного представления величины к дискретному, от аналогового сигнала к цифровому), при описании случайной начальной фазы гармонического колебания и во многих других случаях.

Рассмотрим задачу определения ПВ случайной величины M = i ,

i 1

где i – независимые СВ, каждая из которых подчиняется равномерному распределению на промежутке a, b . Эта задача может быть решена либо последовательным применением свертки, либо с использованием ХФ. При большом числе слагаемых второй способ более предпочтителен. При M = 2, используя свертку двух одинаковых равномерных распределений, будем иметь

		1 (b a)	2	a b x	, x 2a, 2b ;
			2
	1 (b a)
W	x
W	x
2
	0, x 2a, 2b ,

а ХФ
	2	v 2	v e jv a b		sin v b a	2	2 .
		v 2	v e jv a b				2 .
					v b a 2
					v b a 2
Полученное	распределение по			понятным причинам называется тре-

угольным, или распределением Симпсона. Для определения среднего и дисперсии можно воспользоваться их свойствами, рассмотренными выше.

Так, математическое ожидание будет равно сумме математических ожиданий слагаемых, т. е. M 2 = M 1 + M 2 = a b . Дисперсия в силу

независимости		слагаемых также равна сумме дисперсий слагаемых
D	= D	+ D = b a 2	6 . Асимметрия распределения равна нулю,
2	1	2

- 39 -

а коэффициент эксцесса 2.4 . С ростом числа слагаемых M распределе-
ние суммы будет достаточно быстро стремиться к нормальному закону
	W x					2
	W x	1		exp	x M a b 2		.
		M b a 2	6		2
		M b a 2	6		M b a	6
W x					а
					а
0.5
0.4					б
0.4
0.3
0.2
							в
0.1							г
0
3	2	1		0	1		2	3 x
			Рис. 3.4

Это часто используют при моделировании нормальной СВ. Нужно, однако, помнить, что в отличие от гауссовской, рассматриваемая СВ принимает значения в конечном интервале Ma , Mb . На рис. 3.4 приведены графики равномерного распределения (а) и ПВ суммы равномерно распределенных СВ при M = 2, 3 (б, в) и a 1, b 1. Там же пунктирной линией (для M = 3) приведен график аппроксимирующего нормального распределения (г).

Закон арксинуса. Часто приходится рассматривать СВ = cos , где СВ, распределенная равномерно в интервале , .

Пользуясь правилами функционального преобразования СВ, можно

1 x

показать, что W x

. Функция распределения при

x 1;

этом будет равна F x

W t dt

arcsin x 0.5,

1 x 1; что и опре-

x 1,

деляет название распределения.

- 40 -

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический аппарат радиотехники

#
21.03.20261.12 Mб04.docx
#
21.03.2026670.32 Кб05.docx
#
21.03.20262.03 Mб06.docx
#
21.03.20262.11 Mб0МАРТ_Часть1_Глава6.pdf
#
21.03.20261.76 Mб0МАРТ_Часть1_Главы1_5.pdf
#
21.03.20261.86 Mб0МАРТ_Часть2_Главы1_3.pdf
#
21.03.20261.81 Mб0МАРТ_Часть2_Главы4_8.pdf
#
21.03.20262.53 Mб0Фед_задачник_итог.pdf