МАРТ_Часть2_Главы1_3

8. Декартовы координаты точки 1 и 2 являются СВ, описываемыми совместной ПВ W x1, x2 . Записать выражения для ПВ длины и аргумен-

та случайного вектора, начало которого находится в точке (0,0), а конец в точке 1, 2 .

9. Как решается задача об отыскании ПВ случайной величины

f 1, 2, , n при заданной ПВ W x1, x2, , xn ?

10.Найдите ПВ суммы и разности независимых нормальных СВ, имеющих параметры a1, a2 и 1 , 2 соответственно.

Глава 3. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Рассмотренные ранее функция распределения, плотность вероятности и характеристическая функция дают наиболее полное представление о СВ. Однако, являясь функциями одной или нескольких переменных, для многомерных СВ, они представляют собой достаточно сложные объекты. Во многих случаях достаточно бывает использовать для описания СВ совокупность чисел, называемых числовыми характеристиками СВ. Познакомимся с этими числовыми характеристиками.

3.1. Моменты случайной величины

Под начальным k -м моментом СВ , где k = 1, 2, … понимают вели-

мый математическим ожиданием или средним значением СВ . Моменты СВ

Часто для записи математического ожидания используют символ статистического усреднения, обозначаемый М, Е или просто прямой чертой сверху, т. е.

ный ряд сходится абсолютно.

- 21 -

Используя аппарат дельта-функций, для дискретных СВ можно пользоваться интегральной формой записи математического ожидания

Математическое ожидание m1 является точкой концентрации значений СВ в том смысле, что среднеквадратический разброс значений СВ относительно m1 минимален. Смысл понятия «среднеквадратический разброс» будет уточнен ниже.

Являясь абсциссой центра тяжести плоской фигуры, ограниченной осью абсцисс и кривой W x , математическое ожидание характеризует положение ПВ относительно оси ординат. Часто бывает полезно представление

рис. 3.1 указанные площади заштрихованы и отмечен знак, с которым нужно взять соответствующие площади.

значения x2 СВ 2 , относительно события { 2 = x2 } называется выражение

- 22 -

ское ожидание может быть определено и для функций СВ , если только су-

Для векторных и матричных СВ (компоненты вектора и элементы матрицы есть СВ) математическое ожидание определяется как вектор или мат-

Аналогично определяется математическое ожидание случайной матрицы. Читателю предлагается проверить справедливость приведенной формулы для M i .

Наряду с начальными моментами mk , для характеристики СВ исполь-

ют среднеквадратическим отклонением (значением) СВ . В качестве упражнения рекомендуем доказать, что если существует m1, то M1 = 0.

Теперь мы можем вернуться к утверждению, что СВ имеет минимальный среднеквадратический разброс относительно математического ожидания

Рассмотрим свойства математического ожидания и дисперсии.

- 23 -

1. Математическое ожидание постоянной (детерминированной величины) равно ей самой, а дисперсия равна нулю.

Так как для детерминированной СВ W x x a , где a значение

ожидания (статистического усреднения) справедлив принцип суперпозиции, т. е. это – линейный оператор (функционал).

5. Математическое ожидание произведения независимых СВ равно произведению их математических ожиданий, т. е.

- 24 -

= x1x2 W 1 x1 W 2 x2 dx1dx2 M 1 M 2 ,

так как переменные в последнем двойном интеграле разделяются.

6. Дисперсия суммы или разности независимых СВ равна сумме их дисперсий. Для суммы или разности независимых СВ 1 и 2 дисперсия равна

D 1 2 = M 1 2 M 1 M 2 2 =

Позже мы узнаем, что для справедливости данного результата достаточно некоррелированности СВ 1 и 2 .

7. Дисперсия произведения постоянной величины C на СВ равна

C 2 D . Доказательство этого утверждения тривиально и предоставляется читателю.

n

8. Дисперсия линейной комбинации Ci i попарно независимых СВ

i 1

n

1, 2 , , n равна Ci 2 D i . Рекомендуем доказать это утверждение са-

i 1

мим. Чему равна дисперсия суммы или разности зависимых СВ, мы опреде-

- 25 -

Между центральными и начальными моментами существует очевидная

Рис. 3.2

- 26 -

больших отклонений от математического ожидания или, как говорят в статистике, «тяжесть хвостов» ПВ.

Чаще вместо 2 используют коэффициент = 2 – 3, который позволяет сравнивать данную ПВ с гауссовской, для которой 2 = 3. Иллюстрация этой зависимости представлена на рис. 3.3, заимствованном из [18].

3.2. Квантили

Моменты СВ являются удобным способом описания СВ, если они существуют. Однако СВ может и не иметь моментов. Например, весьма важное для

Кроме того, при экспериментальном определении (оценке) моменты оказываются весьма чувствительными к засорению выборки, т. е. появлению в наблюдаемой совокупности чисел, значений другой СВ, обычно

- 27 -

где k1, k2, , kn неотрицательные целые числа. Порядком момента называют величину ki .

i

Если все показатели степени k1, k2, , kn , за исключением одного kl , равны нулю, то приведенные выражения дадут моменты mkl и Mkl для СВ l . При отличных от нуля показателях степени kl и km мы получим характеристику статистической связи СВ l и m :

Чтобы исключить зависимость ковариации от величины разброса СВl и m относительно средних значений, ее нормируют относительно их

среднеквадратических значений D l и D m , т. е. переходят к безразмерному отношению

ведения. Тогда, используя неравенство Коши–Буняковского, получаем, что

- 29 -

или если xl M l = C xm M m , что означает линейную связь между

Обратное утверждение в общем случае не справедливо. Например, еслиl cos и m = sin , где – СВ, равномерно распределенная в интервале

l 2 m2 = 1 (не линейная!).

3.4. Кумулянты

Еще одним видом числовых характеристик СВ являются кумулянты, или семиинварианты. В ряде случаев их использование оказывается более эффективным, чем описание СВ с помощью моментов. Прежде чем дать определение кумулянтам, остановимся на свойствах введенной выше ХФ

v W x e jvxdx .

Прежде всего отметим, что 0 W x dx =1. ХФ v непре-

рывна для всех v , для нее выполняются следующие условия: 0 v ;

- 30 -