Добавил:

Gigol Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Математический аппарат радиотехники

Файл:

МАРТ_Часть2_Главы1_3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.03.2026

Размер:

1.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

P a ξ b , a

= F

b , b

F b , a

a , b

a , a

1 2

(рис. 1.7). В общем случае [1]

P a1 ξ1 b1, a2 ξ2 b2, , an ξn bn =

= F

b ,b , b

p 1 n F a , a

, , a

i 1

i j

где через pij k

обозначено значение функции

ξ2

x , x

, , x

при c

, c

и при остальных cs bs .

Если

часть

переменных

функции

x , x

, , x

равна

т. е.

эти перемен-

b1 ξ1

ные могут принимать любые значения, мы бу-

Рис. 1.7

дем иметь ФР остальных не равных пере-

менных. Например, F x , x

= F

x , x

, x

= F

Если же хотя бы один из аргументов ФР равен , то она равна нулю, так как произведение случайных событий, одно из которых, ξi , является невозможным событием. Как и одномерная, многомерная ФР является неубывающей функцией по каждому из аргументов.

Аналогично одномерному случаю, определяется непрерывный случайный вектор (непрерывная многомерная СВ), если существует неотрицательная функция Wξ x1, x2, , xn такая, что при любых x1, x2, , xn

Fξ x1, x2 , , xn

y1, y2 , , yn dy1 dyn ,

Wξ

n F

x , x

, , x

x , x

, , x

x1 x2 xn

При использовании обобщенных функций понятие ПВ можно распространить и на дискретные многомерные СВ. Как и одномерная, многомерная ПВ удовлетворяет условию нормировки

			x1, x2, , xn dx1 dxn 1.
		Wξ	x1, x2, , xn dx1 dxn 1.

- 11 -

Если многомерную ПВ проинтегрировать по всем значениям одной из переменных, то получим ПВ остальных СВ, т. е.

Wξ x1, x2 , , xn dxi Wξ x1, x2 , , xi 1, xi 1, , xn .

Данное свойство часто называют условием согласованности.

Для ФР это эквивалентно тому, что мы положили xi . Эти свойства называются согласованностью высших и низших ФР и ПВ. Вероятность по-

падания точки ( ξ , ξ

, , ξ

) в область G равна

1 2

P G W

x , x

, , x

dx dx

Как и для случайных событий, для случайных величин можно опреде-

лить понятие зависимости. Говорят, что СВ

ξ1, ξ2 , ,ξn

являются зависи-

мыми, если ПВ одной из них зависит от того, какое значение приняла другая

СВ. Это записывается при помощи условной ПВ

случайной

величины

Wξ x1

x2 , что читается как условная ПВ случайной величины ξ1

при усло-

вии, что СВ ξ2 приняла значение x2 .

Если ПВ случайной величины ξ1 или

ξ2 не зависит от того, какое зна-

чение приняла другая величина, то такие СВ называются независимыми.

В общем случае совместная ПВ случайных величин ξ1

и ξ2 записыва-

ется в виде

x .

x , x

= W

ξ1

ξ2

ξ1

Для независимых СВ Wξ x1, x2 =Wξ1 x1 Wξ2 x2 , что можно рассмат-

ривать как условие независимости СВ.

Для многомерных СВ эти формулы примут вид

Wξ x1, x2, , xn = Wξ1 x1 Wξ x2 , , xn x1 = = Wξ1 x1 Wξ2 x2 x1, x3, , xn Wξ x3, , xn x2 =

=Wξ1 x1 W i xi x1, x2 , , xi 1

i2n

и для независимых СВ W	x , x , , x			n		x	.
и для независимых СВ W	x , x , , x	n	=	W		x	.
ξ	1 2	n		ξ	i	i
				i 1	i
				i 1

- 12 -

Определение независимых СВ на языке ФР звучит так: если для любой совокупности исходных случайных величин ξi , ξk , ξl , , ξn , где

i k l n имеет место равенство

Fξ xi , xk , xl , , xn Fξi xi Fξk xk Fξl xl Fξn xn ,

то СВ ξi , ξk , ξl , , ξn независимы.

Условные плотности вероятностей обладают всеми свойствами ПВ. Они неотрицательны, т.е. Wξ1 x1 x2 0 и выполняется условие нормировки

Wξ1 x1 x2 dx1 1 при любых значениях x2 .

Пример. Многомерное нормальное распределение. Многомерная слу-

чайная величина ξ = ξ1,ξ2 , ,ξn подчиняется нормальному распределе-

нию, или ξ нормальный случайный вектор, если

n n

cij xi ai x j a j

x , x

, , x

2i1 j1

где

c x

положительно определенная квадратичная форма, пол-

i 1 j 1

cij , i, j 1, 2, , n ,

ностью заданная своей матрицей С =

A константа,

определяемая

из

условия

нормировки

x1, x2 , , xn dx1 dxn 1. Структура матрицы С будет опреде-

Wξ

лена чуть позднее.

Контрольные вопросы

1.Дайте определение случайной величины.

2.Для случайной величины ξ , принимающей значения 0,1; 0,2; 0,4; 0,6

свероятностями 0,3; 0,2; 0,2; 0,3 соответственно, построить многоугольник распределения.

3.Что такое функция распределения СВ? Какие свойства ФР вам известны? Постройте ФР для случайной величины ξ , определенной в преды-

дущем вопросе.

- 13 -

4.Дайте определение непрерывной СВ. Что такое плотность вероятности? Каковы ее свойства?

5.Приведите выражение для ФР и ПВ случайной величины ξ из п. 2.

6.Как определяется СВ, подчиняющаяся распределению Бернулли?

7.Как определяется СВ, подчиняющаяся биномиальному распределе-

нию?

8.Дайте определение СВ, значения которой равномерно распределены на интервале a, b . Постройте ПВ и ФР равномерно распределенной на про-

межутке 2,3 СВ ξ .

9.Запишите выражения для ПВ и ФР нормальной СВ.

10.Сформулируйте локальную предельную теорему.

11.Как звучит интегральная теорема Муавра–Лапласа?

12.Что такое многомерная или векторная СВ?

13.Как определяется ФР многомерной СВ?

14.Что такое непрерывный случайный вектор? Как для него определяется ПВ? Как связаны ПВ и ФР непрерывного случайного вектора?

15.Что такое условная плотность вероятности? Каковы ее свойства?

16. Запишите совместную ПВ СВ ξ1 и ξ2 для двух случаев: когда ξ1 и

ξ2 являются зависимыми и независимыми СВ.

17.Считая ξ1 и ξ2 независимыми нормальными СВ с параметрами a1, a2 , и 1, 2 соответственно. Найти вероятность попадания точки с коорди-

натами ξ1 и ξ2 в прямоугольник, вершины которого располагаются в точках

(1,2); (3,2); (1,4); (3,4). Полагая a1 = a2 = 2, и 12 = 22 = 16, найдите зна-

чение искомой вероятности.

Глава 2. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Поставим следующую задачу. Пусть многомерная СВ (случайный

, , ξ

имеет ПВ W x , x

, , x

вектор) ξ = ξ , ξ

и компоненты друго-

го случайного вектора

функционально связаны с компо-

η = η1, η2, , ηk

f ξ , ξ

, ξ

, η

ξ , ξ

, , ξ

, … ,

нентами вектора

ξ , т. е.

1 1

ηk fk ξ1, ξ2, , ξn . Тогда ФР случайного вектора

η = η1, η2, , ηk

- 14 -

	Fη y1, y2, , yn =	Wξ x1, x2 , , xn dx1dx2 dxn ,
		D
где	область D определяется неравенствами fi x1, x2, , xn yi ,
i 1,	2, , k .

Пример. Пусть требуется найти ФР и ПВ суммы СВ ξ1, ξ2, , ξn , т. е. η1 η ξ1 ξ2 ξn . В соответствии со сказанным ФР случайной величины η Fη x есть вероятность попадания точки ( ξ1, ξ2, , ξn ) в подпростран-

ство ξ1 ξ2 ξn x , или

Fη x Wξ x1, x2 , , xn dx1dx2 dxn .

xk x

k 1

Для n 2	это даст Fη x =	Wξ x1, x2 dx1dx2 .
		x1 x2 x

Область интегрирования представлена на рис. 2.1. Переходя от двойного интеграла к повторно-

му, получим

F x			x x2	x , x		dx .
F x	=	dx	W	x , x	2	dx .
η			2 ξ	1	2		1

Для отыскания ПВ суммы СВ ξ1							и ξ2 , счи-

тая записанный интеграл дифференцируемым по

Рис. 2.1

параметру x , получим W x =

dFη x

x x

, x

то Wη x

Если СВ ξ1 и

ξ2 независимы,

Wξ x x2 Wξ

x2 dx2 , где

x1 и Wξ

x2 – ПВ случайных величин

Wξ

ξ1

ξ2 соответственно. Таким

образом, для независимых СВ, для которых Wξ x1, x2 = Wξ1 x1 Wξ2 x2 ,

ПВ суммы есть свертка ПВ слагаемых Wη Wξ1 Wξ2 .

Учитывая, что Фурье-образ свертки есть произведение преобразований Фурье сворачиваемых функций, целесообразно ввести в рассмотрение преоб-

- 15 -

разование Фурье ПВ, что возможно, так как для любой ПВ выполняется

условие абсолютной интегрируемости W x dx 1.

Определение. Преобразование Фурье ПВ Wξ x определяет характери-


стическую функцию (ХФ) СВ	Θξ v		Wξ x e jvxdx = M e jv . Обратное

преобразование Фурье позволяет выразить ПВ через ХФ
Wξ x	1		v e jvxdv .
	1	ξ
	2	ξ
	2

Различие знаков в показателе экспоненты для прямого и обратного преобразований по сравнению с обычно используемым несущественно, что и отмечено в гл. 5 первой части пособия.

Таким образом ХФ суммы независимых СВ ξ1 и ξ2 есть произведение

ХФ слагаемых, т. е. η v = ξ1 v ξ2 v .

Характеристическая функция естественно определяется и для многомерных СВ как многомерное преобразование Фурье совместной ПВ случайных величин ξ1, ξ2, , ξn

v , v

, , v

e jv1x1 jv2 x2 jvn xn dx1 dxn ,

Wξ x1, x2 , , xn

W x , x , , x

1 n

v , v

jv x jv x

jv x

, , v

1 1

n dv

Из определения многомерных ХФ видно,

что если СВ ξ1, ξ2, , ξn не-

W x ,

, то пе-

зависимы, т. е.

, , x

ξi

i 1

ременные

в многомерном интеграле, определяющем

v , v

, , v

, разделяются и

v .

Θ v , v

, , v

ξi

i 1

Рис. 2.2	Вернемся к задаче отыскания ПВ функций от СВ.

- 16 -

В рассмотренном примере мы показали, как можно найти ПВ функции от СВ (суммы) путем дифференцирования ФР. Однако можно решить задачу о нахождении ПВ функций от СВ, не обращаясь к помощи ФР.

Поясним это на примере. Пусть требуется найти ПВ случайной величины η , связанной со СВ ξ функциональным соотношением η f ξ . Будем вначале считать, что f x задает взаимно однозначное соответствие между СВ ξ и η (рис. 2.2).

Можно утверждать, что в силу функциональной связи между ξ и η , вероятность попадания СВ ξ в промежуток x равна вероятности попадания СВ η в промежуток y . Считая x и y малыми, это утверждение можно записать в виде Wη y y Wξ x x . В пределе при x , y 0 это равенство станет точным. Знак модуля ставится в силу неотрицательности ве-

роятностей, в то время как величины x

и y , вообще говоря, имеют знак.

Разрешая уравнение

y f x

относи-

тельно x (в силу наличия

взаимно одно-

значного соответствия между ξ и η реше-

ние единственно)

x y

и учитывая,

что

lim

, получим окончательно

x, y 0

W y W y

d y

Рис. 2.3

Рассмотрим

случай,

когда

уравнение

y f x имеет

не-

сколько

решений

(рис.

2.3). В

этом случае вероятность попада-

ния СВ в интервал y

есть ве-

роятность

объединения

двух

несовместных событий:

попада-

ние СВ в интервал x1

и попа-

Рис. 2.4

дание СВ в интервал x2 . Следовательно,

W y W 1

d 1 y

W 2

d 2 y

где 1 y и 2 y – функции, обратные к f на интервалах однозначности.

- 17 -

Двумерный случай иллюстрируется рис. 2.4. Пусть связь СВ 1 , 2 и

1, 2 задается функциями 1= f1 1, 2 и 2 = f2 1, 2 и решения этой системы уравнений 1 = 1 1, 2 и 2 = 2 1, 2 . Вероятность попадания

СВ 1 и 2

в область S

равна вероятности попадания СВ 1 и 2 в об-

ласть S ,

что с учетом малости областей

и S можно записать как

y , y

x , x

Знак модуля появился вследствие того, что площади S и S ориен-

тированы (направление обхода или положение нормали). Переходя к преде-

													1	1
													1	1
лу, получим W	y , y	2	W		y , y	2	,	2	y , y	2	J	, где J	y1	y2	– опре-
лу, получим W	y , y		W		y , y		,		y , y		J	, где J	y1	y2	– опре-
	1			1	1				1				2	2
													2	2
													y1	y2

делитель Якоби, или якобиан, имеющий смысл масштабного коэффициента при преобразовании элемента площади из системы координат x1, x2 в систему y1, y2 , связанных между собой записанными выше соотношениями

y1= f1 x1, x2 и y2 = f2 x1, x2 .

Например, при переходе от декартовых координат к полярным, этот случай нам потребуется в дальнейшем, случайные величины и , радиусвектор и полярный угол, связаны со случайными величинами x и y , декар-

товы координаты, известными соотношениями = x2 y2					и tg = y x . Со-
ответственно, x cos и				y sin . Вычисляя якобиан, получим
J	cos	sin	и ПВ полярных координат ,		связана с

	sin	cos		1	2

ПВ декартовых координат 1 = x , 2 = y соотношением

W , W cos , sin .

Знак модуля в данном случае можно опустить, так как 0 .

Обобщение на случай многозначности решений системы уравнений, задающей связь между СВ 1, 2, , n и 1, 2, , n выглядит аналогично одномерному случаю

- 18 -

M
W y1, y2 , , yn W	1i y1, y2 , , yn , , ni y1, y2 , , yn	Ji	,
W y1, y2 , , yn W	1i y1, y2 , , yn , , ni y1, y2 , , yn	Ji	,
i 1

где M – число решений.

Полученные результаты позволяют сравнительно просто решать задачу

определения ПВ случайной величины, являющейся функцией нескольких СВ. Пусть 1= f 1, 2, , n и ПВ W x1, x2, , xn известна. Введем СВ

2, , n по правилу 2 = 2 , 3= 3 , …, n = n и запишем в соответствии с полученными результатами


	W	y , y	, , y		W y , y				, , y	, y	, , y	J	,
	W	y , y	, , y		W y , y				, , y	, y	, , y	J	,
		1 2		n				1 1 2	n	2	n
		1 2		n				1 1 2	n	2	n
	1	1		1
	1	1		1
	y1	y2		y2			1
где J	0	1		0		=	1	. Для отыскания ПВ случайной величины
где J	0	1		0		=	y	. Для отыскания ПВ случайной величины
							y
							1
	0	0		1

1 необходимо проинтегрировать полученное выражение по всем значениям y2, , yn , т. е.

			1 y1, y2	, , yn , y2	, , yn	1

W 1	y1 =	W					dy2dy3 dxn .
						y1
						y1

Рассмотрим конкретные и очень важные примеры.

2.1. Распределение суммы СВ

Пусть	=	+	2	, =	2	, тогда		y , y	2	= y	y	2	,	1	=1 и мы по-
1	1		2	2	2		1	1	2	1		2		y1
														y1

лучим W 1 y1 = W y1 y2 , y2 dy2 , что естественно совпадает с получен-

ным ранее выражением. Для ПВ разности СВ 1= 1 – 2 аналогично получим

W 1 y1 = W y1 y2 , y2 dy2 .

2.2. Распределение произведения СВ

- 19 -

		Пусть					=			2		,				=			2	. Тогда				y , y = y							y	2	,		1	=1 y	2	и
					1		1			2				2					2				1	1		2		1				2			y1		2
																																			y1
		y =		W y y											dy2
W									2		, y		2		dy2			.
W											, y							.
1		1					1								y2


											2.3. Распределение частного СВ
		Пусть			1= 1						2 ,					2 = 2 .					Аналогично							предыдущим								случаям
	y , y		= y y					1												y =			y y

						,					= y			и		W						W				, y			y		dy			.
						,					= y			и		W						W				, y			y		dy			.
1 1 2				1	2			y1					2				1			1			1		2		2			2			2
1 1 2				1	2								2				1			1			1		2		2			2			2

Как будут выглядеть эти формулы для независимых СВ, догадаться нетрудно.

Контрольные вопросы

1.Как формулируется задача отыскания ПВ функционально преобразованных СВ?

2.Как находится ПВ случайной величины 1 2, если известна

совместная ПВ случайных величин 1 и 2 W x1, x2 ? Как выглядит этот результат, если СВ 1 и 2 независимы?

3. Дайте определение характеристической функции СВ ; случайного

вектора 1, 2, , n .

4.Сформулируйте свойства ХФ.

5.Как решается задача отыскания ПВ случайной величины f ,

если известна ПВ W x ?

6. Пусть СВ описывается нормальным распределением

W x		1			x a 2
		1		e	2	2	. Найти ПВ случайной величины , если sign ;
					2


		2 2
	; 2		, sign x			1,		x 0;
	; 2		, sign x
						1,		x 0.
						1,		x 0.

7. Как решается задача определения ПВ функционально преобразованной совокупности СВ?

- 20 -

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический аппарат радиотехники

#
21.03.20261.12 Mб04.docx
#
21.03.2026670.32 Кб05.docx
#
21.03.20262.03 Mб06.docx
#
21.03.20262.11 Mб0МАРТ_Часть1_Глава6.pdf
#
21.03.20261.76 Mб0МАРТ_Часть1_Главы1_5.pdf
#
21.03.20261.86 Mб0МАРТ_Часть2_Главы1_3.pdf
#
21.03.20261.81 Mб0МАРТ_Часть2_Главы4_8.pdf
#
21.03.20262.53 Mб0Фед_задачник_итог.pdf