МАРТ_Часть1_Главы1_5

В частотной области это уравнение примет вид (убедитесь в этом само-

где t0 и 0 – числа, характеризующие положение сигнала на оси t и спектра на оси . Без потери общности они могут быть положены равными нулю.

рованном значении другого. Таким образом, мы имеем предыдущую задачу с

ветствует g(t) = – ''(t), где (t) – дельта-функция (проверьте это), то после подстановки g(t– ) в уравнение (5.9) и использования интегральных свойств

нейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами называется уравнением Эрмита (в квантовой механике его называют уравнением Шредингера).

Его решениями, собственными функциями дифференциального опера-

Таким образом, гауссовский (колокольный) импульс обеспечивает наилучшую концентрацию энергии на плоскости время-частота. При

81

импульсе, обеспечивающем максимальную концентрацию энергии в полосе частот [– , ].

Оператор Гильберта. Одним из основных понятий теории сигналов является комплексная функция s t , образованная из исходного вещественного сигнала s(t) добавлением мнимой составляющей s (t), которая определя-

1 s

ется преобразованием Гильберта исходного сигнала s t t d . Эта

комплексная функция называется аналитическим сигналом, т. е. s t s t js t .

Вещественная и мнимая части аналитического сигнала позволяют определить огибающую (модуль аналитического сигнала), характеризующую закон амплитудной модуляции и фазу (аргумент аналитического сигнала), определяющие закон угловой модуляции следующим образом:

– огибающая S t s2 t s2 t ,

– фаза t arctg s t .

s t

При этом аналитический сигнал s t может быть записан в форме s t S t e j t . Естественно, если мнимую часть аналитического сигнала

определить не с помощью преобразования Гильберта, а иначе, то мы придем к другому определению огибающей, фазы и частоты, определяемой как про-

изводная от фазы, т. е. t d t . dt

Таким образом, чтобы однозначно определить огибающую, фазу и частоту, необходимо и достаточно указать правило построения мнимой части v(t) по исходному сигналу s(t), т. е. указать оператор А, осуществляющий преобразование v(t) = As(t).

При выборе оператора А необходимо потребовать, чтобы определенные на его основе понятия огибающей и фазы согласовывались бы с физическими инженерными представлениями. Вот эти представления.

1. Потребуем, чтобы малым изменениям исходного сигнала s(t) соответствовали бы малые изменения огибающей S(t) и фазы Ф(t). Так как функ-

82

ции, определяющие S(t) и Ф(t), непрерывны, то сформулированное требование означает непрерывность оператора А.

2. Фаза, а следовательно, и мгновенная частота не должны зависеть от

энергии (нормы) сигнала. Это означает, что оператор А должен быть однородным, т. е. A ks t kA s t . В этом случае

3. Для гармонического сигнала s(t) = Um cos ( 0t + ) мы должны получить S(t) = Um и Ф(t) = 0t + . Это означает, что А[Umcos( 0t + )] =

=Umsin ( 0t + ).

В[14] доказано, что единственным линейным оператором, удовлетво-

ряющим этим условиям, является оператор Гильберта. Следовательно, определенные на его основе понятия огибающей и фазы физически обоснованными.

Остановимся на свойствах оператора Гильберта, обозначаемого обычно буквой Н. Это – линейный оператор, являющийся сверткой исходного сигнала и функции 1 t . Обратный оператор Н–1 может быть найден путем решения уравнения s (t) H s(t) относительно s(t) переходом в частотную область с помощью преобразования Фурье. Учитывая правило преобразования Фурье для свертки, получим:

1, x 0;

sign x 0, x 0; – знаковая функция.

1, x 0

сматривать как комплексный коэффициент передачи линейного фильтра,

83

Амплитудно-частотная характеристика такого фильтра F 1 t 1, а

отличие от прямого преобразования, изменился лишь знак. Следовательно, обратное преобразование Гильберта имеет вид:

s(t) 1 s ( ) d .

t

С учетом частотного представления оператора Гильберта, H 2 H H E , так как sign 2 1.

1

Оператор Гильберта унитарен, так как для его ядра (t ) выполняется условие (5.4), что доказывается с помощью обобщенного равенства Парсеваля:

Исходная функция s(t) и функция, преобразованная по Гильберту, ортогональны, что также доказывается с помощью обобщенного равенства

как интеграл от нечетной функции в симметричных пределах.

Норма оператора Гильберта равна 1. Он не меняет энергии преобразуемых сигналов, т. е. Hs(t) 2 s(t) 2 .

Для узкополосных сигналов, для которых ширина спектра много меньше центральной частоты 0, гильбертову фазу (t) целесообразно представить в виде (t) = 0t + (t), а аналитический сигнал s(t) записать как s(t)

= s(t) + js (t) = S(t)e j(t) = S(t)e j 0 (t) .

84

ла.

В соответствии с теоремами о спектрах получим:

85

Рисунок 5.5 иллюстрирует сказанное.

Комплексная огибающая упрощает решение задачи о преобразовании узкополосного сигнала s(t) S(t) cos 0t (t) линейной системой с импульсной характеристикой h(t) H (t) cos 0t (t) , где S(t) и H(t) – огибающие сигна-

ла и импульсной характеристики, а (t) и (t) – отклонение фазы от линейного закона.

С помощью интеграла Дюамеля комплексная огибающая выходного

комплексные огибающие входного сигнала и импульсной характеристики фильтра. Выходной сигнал находится как sвых(t) Re Sвых(t)e j 0t .

Контрольные вопросы

1.Дайте определение оператора, функционала, функции.

2.Как определяется понятие обратного оператора?

3.Дайте определение ограниченного оператора. Что называется нормой оператора?

4.Какой оператор называется линейным?

5.Как определяется произвольный линейный оператор в Rn?

6.Какой оператор называется тождественным? Приведите примеры тождественных операторов для Rn и L2.

7.Приведите примеры интегральных операторов Фредгольма и Вольтерра. Сформулируйте требования, предъявляемые к ядрам этих операторов.

8.Дайте определение суммы операторов, произведения и функции от оператора.

9.Какой оператор называется разрешающим, или резольвентой, для оператора А?

10.Что такое спектр оператора, дискретный спектр, собственные зна-

чения?

11.Что такое собственные вектора оператора А?

12.Приведите примеры линейных дифференциальных операторов.

13.Дайте определение линейного функционала. Приведите примеры

для Rn и C[a, b].

14.Поясните геометрический смысл линейного функционала.

15.Дайте определение выпуклого множества.

86

16.Что называется выпуклой оболочкой множества А?

17.Дайте определение симплекса.

18.Дайте определение выпуклого функционала.

19.Как можно представить любой линейный функционал в гильбертовом пространстве Н?

20.Как определяется норма линейного функционала?

21.Как определяется оператор А*, сопряженный оператору А?

22.Приведите примеры линейных сопряженных операторов для Rn и L2.

23.Что такое квадратичная форма? Приведите примеры для Rn и L2.

24.Дайте определение самосопряженного оператора. Приведите при-

меры для Rn и L2.

25.Что такое положительно (неотрицательно) определенная квадратичная форма?

26.Как формируются условия для положительно определенной квадратичной формы в Rn?

27.Сформулируйте свойства собственных значений и собственных векторов самосопряженных операторов.

28.Сформулируйте теорему Гильберта–Шмидта.

29.Дайте определение самосопряженного дифференциального оператора второго порядка.

30.Как записывается оператор Штурма–Лиувилля? Приведите пример его использования в задачах радиотехники.

31.Что такое нормальный оператор, унитарный оператор?

32.Как определяется понятие дельта-функции и ее производных?

33.В чем состоит «фильтрующее» свойство дельта-функции и ее производных?

34.Запишите условие, при котором оператор Фредгольма будет уни-

тарным.

35.Как определяется оператор проектирования? Приведите примеры.

36.Дайте определение оператора Фурье. Докажите, что он является унитарным оператором.

37.Сформулируйте основные свойства оператора Фурье (теоремы о спектрах).

38.Какие функции являются собственными для оператора Фурье?

39.Дайте определение текущего и мгновенного спектра.

40.Как определяется понятие кепстр сигнала? В каких задачах целесообразно использовать кепстральное представление сигнала?

87

41.Как определяется оператор Фурье на конечном интервале?

42.Что такое функции с двойной ортогональностью? Каковы их свойства?

43.Сформулируйте результат решения задачи об отыскании формы конечного сигнала, отличного от нуля лишь в промежутке [–T/2, T/2] и имею-

щего максимум энергии в полосе частот [– , ].

44.Сформулируйте принцип решения задачи об отыскании сигнала, обладающей требуемой концентрацией энергии на плоскости время-частота.

45.Дайте определение оператора Гильберта.

46.С помощью оператора Гильберта определите огибающую сигнала, его фазу и мгновенную частоту.

47.Докажите, что оператор Гильберта унитарен.

48.Определите коэффициент передачи фильтра, реализующего преобразование Гильберта.

49.Докажите, что исходный сигнал s(t) и преобразованный по Гильбер-

ту s (t) ортогональны.

50.Дайте определение узкополосного сигнала.

51.Для узкополосного сигнала определите понятие комплексной огиба-

ющей.

88