МАРТ_Часть1_Главы1_5

Классическим примером свертки является отклик физически не реализуемой цепи с постоянными параметрами, имеющей импульсную характери-

ализуемость означает, что импульсная характеристика h(t) отлична от нуля при t < 0. Напомним, что h(t) – это реакция цепи на дельта-функцию, поданную на вход цепи в момент времени t = 0, т. е. для таких цепей отклик (следствие) возникает до подачи воздействия (причины).

Найдем преобразование Фурье свертки функций f(t) и g(t), что сводится к вычислению двойного интеграла вида

Меняя порядок интегрирования по и t, получим

Выражение в квадратных скобках в соответствии с теоремой смещения есть

Наряду со спектром, задаваемым преобразованием Фурье сигнала s(t) для всей области его определения, иногда приходится рассматривать теку-

щий спектр, который в зависимости от особенностей решаемой задачи может быть определен как

или

71

Часто удобно использовать симметричную форму задания текущего

t

Спомощью текущего спектра можно получить наглядную картину из-

менения спектра сигнала в зависимости от его длительности. Сделаем это для гармонического колебания s(t) = Um cos 0t, воспользовавшись симметричной формой задания текущего спектра:

При записи этого результата мы использовали известную формулу Эй-

e j 0 e j 0

лера cos 0 . Выполняя интегрирование и учитывая вторую

2

Анализ этого выражения показывает, что при малых значениях t

t 2 0 формируется спектр видеоимпульса, концентрирующийся вокруг нулевой частоты. С ростом t начинает формироваться спектр радиоимпульса, концентрирующийся вокруг частот ± 0. При t мы получаем спектр гармонического колебания

представляющий собой две дельта-функции, расположенные в точках 0 и – 0. Такие спектры называют дискретными или линейчатыми.

Для синусоидального колебания s(t) = sin 0t при задании текущего спектра в форме (5.7) получим:

72

Если рассматривать значения текущего спектра в дискретные моменты

лебания s(t), то можно получить выражение для амплитудно-частотного спектра в виде

Отметим, что п – это число полупериодов рассматриваемого колебания. В полученном выражении функция sin соответствует четным п, а cos – не-

четным п.

Раскрывая неопределенность при

оси, перпендикулярной плоскости чертежа, отложено число полупериодов си-

нусоиды или время t. По оси ординат откладываются значения ~t ( ) . Сим- s

где m – коэффициент амплитудной модуляции, 0 m 1, а – частота модулирующего колебания, для > 0 имеет вид:

Аналогичное выражение имеет место для < 0:

73

Таким образом, спектр амплитудно-модулированного колебания при гармоническом законе модуляции содержит три линии, три дискретных ча-

стоты: несущую 0 и две боковых ( 0 + ) и ( 0 – ).

Развитием понятия текущий спектр является переход к мгновенному спектру, который оказывается полезным при описании работы синтезаторов

спектра и при изучении процессов, параметры которых меняются во времени.

~

Простейшее определение мгновенного спектра st , t дается на осно-

определение связано с введением весовой функции р(t). При этом определе-

веденное выше определение есть частный случай данного, если положить

ничного скачка.

Используя определение для текущего спектра (5.6), мгновенный спектр можно представить в виде приращения текущего спектра за промежуток вре-

лее удобным является предложенный Пэйджем мгновенный спектр мощ-

функции по всем частотам дает мгновенную мощность сигнала s(t), т. е.

Преобразование Фурье используется для определения понятия кепстр сигна-

74

s(t). Переменная q, имеющая размерность времени, в зарубежной литературе называют «quefrency», что по-русски дает не очень благозвучный термин «сачтота». Для того, чтобы обеспечить сходимость записанного интеграла, пределы интегрирования делают конечными, охватывающими частотную область, в которой сконцентрирована основная энергия сигнала. Основное свойство кепстра, обусловившее его использование в задачах анализа и синтеза речи, при исследовании радиолокационными методами среды распространения сигнала, заключается в том, что кепстр сигнала s(t), полученного как свертка функций f(t) и g(t), равен сумме кепстров Cf(q) и Cg(q). В самом деле, преобразование Фурье свертки f g равно произведению спектров сво-

том линейности преобразования Фурье получаем Cs(q) = Cf (q) + Cg(q).

Оператор Фурье на конечном интервале. Рассмотрим кроме основного пространства L2 два подпространства D и В. Элементами D являются финитные функции, отличные от нуля лишь на промежутке [–T/2, T/2] и получаемые из функций, принадлежащих L2, с помощью оператора проектирования

ного селектирования или стробирования.

Элементами пространства В являются функции с финитным спектром, у которых преобразование Фурье тождественно равно нулю, если | | > . Во временной области действие этого оператора описывается сверткой исходной функции f(t) и импульсной характеристики h(t) идеального фильтра нижних

довательное действие), приходим к оператору Фурье на конечном интервале

пает коэффициент C T2 . В силу симметрии ядра оператор BD является

75

Таким образом, необходимо решить следующую задачу. При заданных Т и

выше, является положительно определенной квадратичной формой

(BDs, s). Множитель перед функционалом опущен, так как он не влияет

на решение поставленной задачи. Рассмотрим вначале более общую задачу.

Пусть требуется обеспечить экстремум квадратичной форме Ax, x , где А – самосопряженный положительно определенный оператор, при ограничении

2

xx, x 1. Это задача на условный экстремум. В соответствии с методом

вектор, а – числовая переменная. Этот прием позволяет свести задачу ис-

полняя действия в соответствии с аксиомами скалярного произведения, получим

Мы предполагали, что оператор А определен в вещественном пространстве и

77

ленного самосопряженного оператора собственные значения положительны. Таким образом, для нашей задачи отыскания импульса с максимальной концентрацией энергии в полосе [– , ] необходимо найти собственную функцию, отвечающую наибольшему собственному значению, а так как собственные значения нашего оператора образуют убывающую последовательность0 > 1 > … > n > …, то это функция D 0 t .

На рис. 5.4 приведены заимствованные из [13] графики оптимальных сигналов, построенные для разных значений параметра C T2 с нормировкой s0(С, 0) = 1. По оси абсцисс откладывается безразмерная переменная x 2tT .

78

s0(C, х) 1.0

Рис. 5.4

При С 0 оптимальный сигнал стремится к прямоугольному импуль-

су, а при С – к гауссовскому s0(С, х) e cx22 (см. штриховой график на рис. 5.4).

При С оператор Фурье на конечном интервале превращается в обычный оператор Фурье, а его собственные функции – в функции Эрмита. Рассмотренная задача является частным случаем боле общей задачи о концентрации энергии сигнала на плоскости время-частота. Рассмотрим множество сигналов с единичной энергией, т. е. элементов L2 с дополнительным

Введем в рассмотрение две весовые функции: р(t) – во временной области и

~

q – в частотной. Введенные весовые функции удовлетворяют естественным

Сформулируем следующую задачу. При фиксированном значении энергии сигнала s2 1 и фиксированном одном из энергетических функционалов

79

обеспечить экстремум другого. Это задача на условный экстремум. Функционал Лагранжа для нее имеет вид (фиксируем функционал Eq и условие нор-

жение в квадратных скобках (свертка) соответствует временному образу

~ ~

произведения s q . Следовательно, необходимо исследовать на безусловный экстремум функционал

Как и в предыдущей задаче, с помощью представления функции s(t) в виде s(t) = s0(t) + z(t), где s0(t) – функция, для которой достигается экстремум, – числовая переменная, z(t) – любая функция L2, приходим к необходимому

где 1 и 2 – новые произвольные постоянные. Левую часть этого равенства можно записать в форме скалярного произведения

Учитывая равенство нулю записанного скалярного произведения при любой функции z(t), получим окончательное уравнение для определения s0(t)

80