МАРТ_Часть1_Главы1_5

названного оператора А существует ортонормальная система k соб-

ственных векторов, отвечающих собственным значениям { k}, такая, что

x H

Сформулированная теорема означает, что для всякого самосопряженного оператора А в подпространстве Н существует ортогональный базис, состоящий из собственных векторов этого оператора. Еще раз вспомним наш разговор о способах построения ортогональных систем.

Вообще говоря, данная теорема справедлива для самосопряженных и компактных операторов, но для подавляющего большинства встречающихся в радиотехнике операторов условия компактности оператора выполняются.

Часто теорема Гильберта–Шмидта формулируется для вполне непрерывных самосопряженных операторов. Линейный оператор А называется вполне непрерывным, если он может быть с любой точность аппроксимирован конечномерным оператором, т. е. может быть представлен в виде суммы конечномерного оператора и оператора со сколь угодно малой нормой.

При решении многих задач математической физики, а также в иных приложениях чрезвычайно продуктивными являются самосопряженные дифференциальные операторы и соответствующие им самосопряженные дифференциальные уравнения. Рассмотрим этот вопрос на примере определенного на промежутке [a, b] дифференциального оператора второго порядка

D2 f (t) 2(t) f (t) 1(t) f (t) 0(t) f (t) . Функции i(t), i = 0, 1, 2 веще-

ственны и имеют в области a t b непрерывные производные i-го порядка. Кроме того, функция 2(t) не должна иметь нулей при t (a, b).

61

выполнении этого условия оператор D2 принимает вид

D2 f (t) = D2* f (t) (t) f (t) q(t) f (t) ,

где (t) = 2(t), a q(t) = 0(t).

Данный самосопряженный дифференциальный оператор второго порядка называется оператором Штурма–Лиувилля. Его собственные функции, образующие ортогональную систему, широко используются при решении разнообразных радиотехнических задач.

С учетом краевых условий получим следующее выражение для собственных значений оператора: k = k2, k = 0, 1, 2, … . Каждому собственному значению

k соответствуют две линейно независимые функции cos kt и sin kt, образующие при k = 0, 1, 2, … хорошо знакомую нам ортогональную на промежутке [– , ] систему {cos kt, sin kt}, разложение по которой дает ряд Фурье.

Рассмотрим вопрос о собственных функциях произвольного дифференциального оператора второго порядка, т. е. о решениях дифференциального уравнения D2 f (t) = f(t), или, в развернутом виде с заменой на – ,

2(t) f (t) 1(t) f (t) 0(t) f (t) 0 .

Умножая левую и правую части на функцию (t), удовлетворяющую усло-

вию (t) 1(t) (t) 2 (t) , получим:

(t) f (t) (t) 0 (t) f (t) 0 ,

где (t) (t) 2(t) . Таким образом, уравнение для определения собственных функций оказалось записанным в самосопряженной форме. Собственные функции, отвечающие различным собственным значениям k и l, будут те-

62

b

перь ортогональны с весом, т. е. k (t) l (t) (t) dt 0, k l. Условие, кото-

a

рому должна удовлетворять функция (t), можно переписать в виде

(t) (t) 1(t) 2(t) 2 (t),

в котором мы узнаем дифференциальное уравнение для весовой функции, определяющей для рассматриваемого промежутка систему классических ортогональных многочленов (см. 6.4).

Важным типом линейных операторов являются нормальные операторы. Оператор А называется нормальным, если он коммутирует со своим со-

пряженным, т. е. А A* = A* А. Частным случаем нормальных операторов являются рассмотренные выше самосопряженные операторы, для которых

A* A. Другим частным случаем нормальных операторов являются унитарные операторы.

Унитарным оператором U называется линейный оператор, преобразующий Н на все Н и не меняющий нормы преобразуемых векторов, то есть

Легко доказать, что произведение унитарных операторов есть также унитарный оператор, а оператор, обратный унитарному оператору, также унитарен. Таким образом, унитарные операторы образуют группу. Сформулируем следующее важное свойство унитарных операторов. Собственные значения унитарного оператора по модулю равны единице, а собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Для дальнейшего изложения нам понадобится понятие дельта-функ- ции, которое мы введем, пользуясь терминологией теории вероятности.

Пусть W (x) – плотность вероятности (ПВ) случайной величины (СВ) , имею-

математическое ожидание (среднее значение) СВ , а 2 – ее дисперсия.

Будем считать, что а = 0 и определим обобщенную функцию (х), называемую дельта-функцией Дирака, или просто дельта-функцией, как

63

ство сохраняется и для дельта-функции, т. е. x dx 1.

рии вероятности дельта-функция и функция Хевисайда определяют ПВ и ФР детерминированной случайной величины Х, принимающей единственное значение х = 0. Запишем основное интегральное соотношение для дельтафункции, определяющее ее «фильтрующее» свойство.

Для любой непрерывной функции f(t) интеграл f t t s dt с учетом

того, что дельта-функция отлична от нуля лишь в точке s = t, можно записать

Тем самым определено понятие производной дельта-функции. Более глубоко с теорией обобщенных функций можно ознакомиться с помощью [11].

Выясним условия, при которых оператор Фредгольма A f t

b

k s, t f s ds будет унитарным оператором. Запишем скалярное произве-

a

64

дение преобразованных функций, имея в виду общий случай комплексного

a

где s1 s2 – дельта-функция, то учитывая "фильтрующее" или интеграль-

который часто встречается в задачах радиотехники. Это оператор проектиро-

ру из М. Оператор проектирования обычно обозначают как Р, указывая иногда с помощью индекса подпространство, на которое осуществляется проектирова-

ние, т. е. пишут РМ. Очевидно, что норма || P || = 1 (доказать самостоятельно). Ключевым свойством оператора проектирования является справедли-

вость утверждения Рn = Р, т. е. многократное применение оператора проектирования совпадает с однократным. Оператор проектирования является самосопряженным. Для того чтобы линейный оператор Р в Н был проектором, необходимо и достаточно, чтобы он был самосопряженным оператором и для

Радиотехническим примером проектора может служить оператор полосовой фильтрации с прямоугольной единичной АЧХ и нулевой ФЧХ. Такой оператор отображает множество входных сигналов на множество сигналов с финитным спектром. Во временной области проектором будет линейный ключ,

65

Рассмотрим линейные операторы, наиболее часто встречающиеся в задачах радиотехники.

Оператор Фурье F определяется на множестве функций L2 или L1 и с

ственно. Прямое преобразование Фурье (оператор Фурье) определяется как

В радиотехнике преобразование Фурье сигнала s(t) называют спектральной плотностью, или просто спектром, причем прямое преобразование

Для четных сигналов s(t) = s(–t) интеграл s t sin tdt 0 и амплитуд-

ный спектр определяется косинусным преобразованием Фурье и равен

s t cos tdt . Для нечетных сигналов s(t) = –s(t) амплитудный спектр равен

s t sin tdt .

66

Приведем для иллюстрации спектры часто встречающихся сигналов, пользуясь «радиотехническим» способом определения оператора Фурье.

пряженность оператора Фурье. Оператор Фурье является унитарным, так как его ядро удовлетворяет условию (5.4), т. е.

Эта запись означает, что преобразование Фурье функции f(t) = 1 при t (– , )

соответствии с фильтрующим свойством дельта-функции есть функция ( ) = 1

67

при (– , ). На радиотехническом языке это означает, что спектр бесконечно короткого импульса равномерен. Это позволяет при анализе линейных цепей заменять входной импульс дельта-функцией, умноженной на площадь импульса, если длительность входного сигнала много меньше длительности импульсной характеристики h(t) или ширина спектра сигнала много больше полосы пропускания системы. Напомним, что импульсной характеристикой называется отклик линейной цепи на воздействие в виде дельта-функции (t).

Унитарность преобразования Фурье объясняет, почему обратное преобразование (обратный оператор) F –1 имеет вид

Ведь для унитарного самосопряженного оператора ядро обратного оператора есть комплексное сопряжение исходного ядра.

Так как унитарный оператор не меняет скалярного произведения, то,

Интерпретируя s(t) как падение напряжения на резисторе сопротивле

нием в 1 , можно считать s2(t) мгновенной мощностью, а интеграл s2 t dt

равным энергии сигнала Е. Таким образом, равенство (5.5) позволяет определить энергию сигнала как через его временное представление s(t), так и через

~

спектр s . Обобщенное равенство Парсеваля и соотношение (5.5), часто называемое теоремой Рэлея, записаны при использовании преобразования

Собственные значения и собственные функции оператора Фурье удовлетворяют интегральному уравнению Фредгольма

Одну собственную функцию мы уже знаем. В самом деле, если записать преобразование Фурье для функции f t e t 22 , то в соответствии с приме-

68

ром, рассмотренным ранее, получим Fe t 22 e 22 . Таким образом,

e t 22 является собственной функцией оператора Фурье, отвечающей собственному значению 1. Можно показать, что множество собственных функций оператора Фурье, образующих в соответствии с теоремой Гильберта–

замену переменной х = t – , получим, что спектр смещенного на время сиг-

ция смещения сигнала во времени реализуется с помощью линии задержки,

69

Таким образом, спектр модулированного сигнала состоит из двух слага-

емых, совпадающих по форме с исходным спектром ~ , сдвинутых вправо s

ивлево на величину 0 и умноженных на коэффициент 0.5.

2.Посмотрим, что произойдет со спектром сигнала s(t) при изменении масштаба времени, т. е. при переходе к сигналу s(kt), где k > 0 – масштабный коэффициент, определяющий при k >1 сжатие сигнала, а при k < 1 растяжение.

Преобразование Фурье для сигнала s(kt) будет иметь вид

s kt e j t dt и после замены переменной х = kt получим, что искомый

проверить самостоятельно.

3.Спектры производной и интеграла. Пусть сигнал s(t) дифференцируем

иобращается в ноль при t ± . Тогда, интегрируя по частям выражение для

операция дифференцирования подчеркивает высокие частоты в спектре исход-

Заметим, что спектр определенного интеграла, как спектр константы, равен произведению этой константы на ( ).

4. Теорема о свертке. Чрезвычайно важной операцией, выполняемой над функциями f(t) и g(t), является образование их свертки

f g f g t d ,

которую при фиксировании одной из функций можно рассматривать как линейный оператор.

70