Добавил:

Gigol Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Математический аппарат радиотехники

Файл:

МАРТ_Часть1_Главы1_5

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.03.2026

Размер:

1.76 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

ную комбинацию функций системы Ck k (t) и выясним, при каких зна-

k 1

											n
чениях коэффициентов Ck расстояние между f(t) и Sn Ck k (t) в соответ-
											k 1
ствии с метрикой 2	будет минимально. Таким образом, необходимо найти
			b			n				2
	min 2										dt .
	min 2	min f (t) Ck						k (t)			dt .
	Ck	Ck	a			k 1
Записывая необходимое условие экстремума функции п переменных
2 0;	C C ,		C	C	20	, ..., C	n	C	n0	;	l 0, 1, ..., n ,
	1	10	2		20		n		n0

получим:

Ck0 = fk = f (t) k (t) dt ( f , k ) . a

Эти коэффициенты, называемые коэффициентами Фурье, определяют для бесконечной ортонормальной системы k (t) ряд Фурье функции f(t)

fk k (t) . Часто этот ряд называют обобщенным рядом Фурье по системе

k 1

функций k (t) . Таким образом,	коэффициенты Фурье, определяемые для
ортонормальной системы k (t)	как Ck0 = ( f , k ) , обеспечивают среди

всех сумм вида Sn = Ck k (t) наименьшее уклонение от f(t) в соответствии с

k 1

метрикой 2. Этот факт называют экстремальным свойством коэффициентов Фурье.

Запишем выражение для квадрата нормы уклонения f(t) от Sn :

f S n 2

Так как f S n 2 0

b	n	2			2	n	2
			dt	= \|\| f \|\|

= f (t) Ck k (t)						– Ck .
a	k 1					k 1
для любых f и Sn		(аксиома нормы), то \|\| f \|\|2

Ck2 .

k 1

Это и есть неравенство Бесселя.

Дадим геометрическую трактовку полученному результату. Функция

n
f (t) Ck k (t) ортогональна всем	линейным комбинациям вида
k 1
n	оболочке системы k (t) (под-
k k (t) , т. е. ортогональна линейной	оболочке системы k (t) (под-
k 1
пространству, «натянутому» на функции	1 (t) , 2 (t), …, n (t) ) в том и

только в том случае, когда Ck = fk = ( f , k ) . Таким образом, неравенство Бесселя можно трактовать как обобщение известной теоремы элементарной геометрии, утверждающей, что длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую или плоскость, меньше, чем длина любой наклонной, проведенной из той же точки.

Можно дать и физическую интерпретацию неравенства Бесселя. Если рассматривать f(t) L2 как падение напряжения на резисторе в 1 Ом, то

квадрат нормы || f ||2 = f 2 (t) dt соответствует выделенной энергии Е.

В дальнейшем, когда элементы L2 будут иметь смысл сигналов, квад-

рат нормы сигнала s(t) L2 будем также называть энергией сигнала и обо-

значать как Е, т. е. \|\| s \|\|2 =
значать как Е, т. е. \|\| s \|\|2 =	s2 (t) dt			= Е.

Энергия соответствующего f(t) ряда Фурье
				2
Es			fk		dt
Es			fk	k (t)	dt
		k 1

fk k (t) будет равна

k 1

fk2 .

k 1

Таким образом, в силу ортонормированности системы k (t) величины

Ck20 fk2 имеют смысл энергии k-го члена обобщенного ряда Фурье (энергии k-й гармоники) и неравенство Бесселя фиксирует тот факт, что при разложении в обобщенный ряд Фурье энергия исходной функции (сигнала) не меньше, чем сумма энергий гармоник.

Теперь мы готовы к тому, чтобы дать следующее важное определение. Ортонормальная система k (t) называется замкнутой в L2 [a, b], если для

f(t) L2 [a, b] неравенство Бесселя обращается в равенство Парсеваля, т. е.

\|\| f \|\|2
\|\| f \|\|2	= fk2 .	(4.3)

k 1

Обобщением (4.3) является обобщенное равенство Парсеваля, в соответствии с которым для f(t) и g(t) L2 [a, b]


f , g f	k	gk*				(4.4)
k 1	k

для комплексного варианта L2 [a, b] и (f, g) = f			k	g	k	для вещественного.
		k 1	k		k
		k 1

Доказать (4.4) предлагается читателю.

Для L2 [a, b] понятия замкнутости и полноты эквивалентны.

Среди бесконечномерных евклидовых пространств ведущую роль играют так называемые гильбертовы пространства.

Определение. Гильбертовым пространством называется полное евклидово пространство бесконечного числа измерений . Обычно оно обозначается буквой Н по фамилии знаменитого немецкого математика Д. Гильберта, который ввел это понятие.

Преимущество ортогональных базисов состоит в том, что для отыскания координат вектора в ортогональном базисе нет необходимости решать линейную систему уравнений. Для ортогонального базиса k (t) координаты век-

тора, принадлежащего L2 (для функции f(t) коэффициенты Фурье), равны


	( f , k (t))			f (t) k (t) dt
fk	( f , k (t))					.
		k (t)	2		2	.


					k (t) dt

В связи с этим актуальна задача построения на основе линейно независимой системы векторов эквивалентной ей ортогональной системы. Такую

возможность дает процедура Грама–Шмидта.

Пусть ek – система линейно независимых векторов и нам надо по-

строить ортогональную систему, каждый вектор которой был бы линейной

комбинацией векторов системы ek .

Требование бесконечномерности пространства часто опускают.

Выберем в качестве первого вектора новой системы первый вектор ис-

ходной,

т. е. e1 = e1. Второй вектор ортогональной системы построим как

21 выбирается из условия ортогональ-

= 21 e1

, где коэффициент

ности e1

e2 ,

т. е.

( e1 , e2 )

0 = 21( e1 , e1 )

( e2

, e1 ),

откуда

)

(e , e

. Третий вектор e

строится как сумма линейной комбина-

||2

|| e

ции e1

и e2

и третьего вектора исходной системы:

= 32 e2

+ 31 e1

+ e3 .

Учитывая ортогональность e1

e2 , а также условие ортогональности

двум построенным векторам e1 и e2 , получим:

(e3

, e2 )

; 31

(e3

, e1 )

||2

|| e

k 1

Таким образом,

в основе процедуры лежит схема

ek klel ek ,

где

l 1

(ek , el )

. Иллюстрация этой процедуры для R

|| el ||

(плоскости) приведена на рис. 4.2.

Поясним описанную процедуру с помощью не-

скольких примеров.

Система функций вида e kct , t 0, где k =

21e1

Рис. 4.2

= 1, 2, … – номер функции, с > 0 – масштабный множи-

тель, является линейно независимой, так как заменой

x e ct

сводится к ли-

нейно независимой системе xk , k = 1, 2, …, с которой мы уже встречались.

Ортогональная система на промежутке [0, ) в соответствии с про-

цедурой

Грама–Шмидта

строится

следующим

образом.

Первая функция

e2cte ct dt

(t) e ct ;

вторая

(t)

e ct

e2ct , где

ct 2 dt

таким образом

2 (t) e

2ct

. Такая система используется для ап-

проксимации корреляционных функций стационарных случайных процессов.

2. Полиномы Лежандра Pk(t) получаются на основе ортогонализации на промежутке [–1, 1] системы линейно независимых функций t k . Каждая

функция ортогональной системы, строящейся на основе t k , будет линей-

ной комбинацией степеней t, т. е. Pk(t) = ltl , что представляет собой по-

l 0

лином. В соответствии с процедурой Грама–Шмидта P0(t) = t0 = 1;

														1		1			2
P1(t) = 10 P0(t) + t, где 10											t 1 dt						(1)		2	dt 0 , т. е. P1(t) = t;
														1			1
							P (t) =					P (t) + P (t) + t2,
							2		21				1		20	0
	1						1								1					1
где 21	t 2 t			dt			t 2	dt 0,			20			t 2 1 dt						12	dt 1 3, т. е.
	1					1									1					1
	P (t) = t2 – 1 3; P (t) =											32		P (t) +		31		P (t) + P (t) + t3,
	2							3				32			2	31		1			30		0
	1	3		2		1		1		2			1		2						1	3		1	2		3
где 32	t		t				dt		t						dt 0 ,			31		t			t dt	t		dt		,
где 32	t		t			3	dt		t				3		dt 0 ,			31		t			t dt	t		dt	5	,
	1					3							3								1			1			5
	1							1													1			1
	1				1											3
30 t3 1 dt					12 dt 0 , т. е. P3(t) = t3 –											3	t.
30 t3 1 dt					12 dt 0 , т. е. P3(t) = t3 –											5	t.
1				1												5
1				1

Построенная система полиномов Лежандра нормирована таким образом, чтобы коэффициент при старшей степени равнялся бы единице. Используют и другие способы нормировки (см. гл. 6).

В L2 [a, b] можно ввести метрику, учитывающую, в каких точках промежутка [a, b] возникает отклонение функций друг от друга, т. е.

2p ( f , g)	b	f (t) g(t) 2 p(t) dt ,
2p ( f , g)		f (t) g(t) 2 p(t) dt ,
	a

где p(t) – весовая функция. Весовая функция должна быть неотрицательной,

и для f(t) L2p[a, b] интегралы			b
и для f(t) L2p[a, b] интегралы			f 2 (t) p(t) dt должны сходиться.
	p (t)		a
Система функций	p (t)		называется	ортогональной			на промежут-
		k
	b			0,		k l;
ке [a, b] с весом p(t), если							, где \|\| p \|\|2 –
ке [a, b] с весом p(t), если		p (t) p (t) p(t) dt					, где \|\| p \|\|2 –
		k	l	\|\| p \|\|2 , k l			k
	a				k
квадрат нормы по весу p(t). Система функций				p		(t) , ортогональная с ве-
				k

сом p(t), может быть превращена в просто ортогональную, если рассматривать функции k (t) kp (t) p(t) .

Ортогонализация системы линейно независимых функций t k , k = 0, 1, … на различных промежутках с различными весовыми функциями позволяет построить системы ортогональных полиномов Qk (t) , из которых особую роль играют так называемые классические ортогональные полиномы.

Таблица 4.1

Наименование

Обозначения

(a, b)

(t)

p(t)

Полиномы Якоби

( , )

(– 1, 1)

1 – t2

– (++2)t +

(t)

+ – ;

, > – 1

Полиномы Лежандра

Pk (t)

(– 1, 1)

1 – t2

– 2t

Полиномы Чебышева

Tk (t)

(– 1, 1)

1 – t2

– t

I рода

1 t 2

Полиномы Чебышева

Uk (t)

(– 1, 1)

1 – t

– 3t

1 t2

II рода

Ультрасферические

( )

(– 1, 1)

1 – t2

– 2( + 1)t

(1 t

)

полиномы

(t)

Обобщенные

L( ) (t)

(0, )

+ 1– t,

t e t

полиномы Лагерра

> – 1

Полиномы Эрмита

H k (t)

(–, )

– 2t

t 2

Классическими называют такие ортогональные полиномы, у которых весовая функция p(t) удовлетворяет дифференциальному уравнению

dtd (t) p(t) (t) p(t) , где (t) и (t) – полиномы степени не выше первой и второй соответственно. Их конкретный вид определяется интервалом ортогональности, который может быть конечным, полубесконечным или соответствовать всей числовой оси (– , ). В табл. 4.1 приведены основные характеристики классических ортогональных полиномов.

Более подробное знакомство с классическими ортогональными полиномами мы отложим до гл. 6, посвященной специальным функциям.

Кроме процедуры ортогонализации исходной системы линейно независимых функций, существуют и другие способы построения ортогональных систем.

Один из наиболее употребительных состоит в следующем. Выбирается функция, отражающая наиболее характерные особенности множества функций, которые предполагается раскладывать по конструируемой ортогональ-

ной системе. Эти особенности могут заключаться в периодичности, финитности преобразования Фурье (ограниченность спектра), непостоянстве поведения (нестационарности) на рассматриваемом промежутке и пр. Параметры этой функции согласовываются с параметрами множества представляемых функций (величина периода, полоса занимаемых частот – ширина спектра). Ортогональная система формируется на базе построенной функции (она иногда называется материнской) с помощью операции масштабирования и (или) сдвига. Поясним эту процедуру на примерах.

1. Тригонометрическая система используется для представления периодических функций, поэтому в качестве материнской функции выбирается функция sin t. Так как эта функция нечетная, то для представления четной составляющей раскладываемой функции необходима функция cos t, которая получается из функции sin t с помощью операции сдвига на /2. Далее происходит согласование периодов материнской функции и представляемых.

Если они имеют период Т, то мы будем использовать функции			sin	2 t	и
Если они имеют период Т, то мы будем использовать функции			sin	T	и
				T
cos	2 t	. Завершает построение ортогональной системы операция масштаби-
cos	T
	T

				2k t			2k t
рования, и мы получаем систему sin					, cos				, k = 0, 1, 2, ….
рования, и мы получаем систему sin					, cos				, k = 0, 1, 2, ….
				T			T
2. Базис Котельникова используется для представления функций, пре-
	~					j2ft
образование Фурье которых	~	f	s t e			j2ft		dt	(спектральная функция,
образование Фурье которых	s	f	s t e					dt	(спектральная функция,

спектральная плотность или просто спектр) тождественно равно нулю, если | f | > F.

В качестве материнской используется функция sin t , преобразование t

Фурье которой равно при | f | 1/2 и нулю при | f | > 1/2 . Для согласова-

ния ширины спектра F материнской функции sin t и представляемых сигна- t

лов используется операция масштабирования, и мы приходим к функции

sin 2 Ft , спектр которой тождественно равен нулю при | f | > F. 2 Ft

Для построения ортогональной системы используется операция сдвига k-й функции системы на время k t, где t = 1/2F, за счет чего получаем

sin 2 F t k t			1, 2, … .
		, k = 0,
	2 F t k t

Доказательство ортогональности полученной системы и более подробное знакомство с ее свойствами мы отложим до главы, в которой рассматривается преобразование (оператор) Фурье.

3. Система функций Хаара используется для представления функций,

заданных

на конечном промежутке [a, b], который с помощью замены

x a

может быть сведен к промежутку

11(t)

b a

[0, 1]. Она оказывается полезной для пред-

m = 1

ставления функций, свойства которых (ско-

21(t)

0.5

рость изменения, интенсивность) меняются

в пределах [a, b] и, соответственно, [0, 1]. В

качестве

материнской выбираем

функцию

m = 2

31(t)

2 (t), приведенную на рис. 4.1.

Функция,

равная константе (в данном случае 1(t) 1,

m = 3

t 0, 1 )

присутствует в любой

базисной

системе и служит для представления посто-

янной составляющей раскладываемой в ряд

Рис. 4.3

функции.

Следующая операция это мас-

штабирование с масштабным коэффициентом 12m1 , т = 1, 2, …, т. е. переход к функциям m1(t) , которые изображены на рис. 4.3.

Завершает построение ортогональной системы операция сдвига, при которой функции, соответствующие одному и тому же т сдвигаются так, чтобы они не перекрывались. В результате после нормировки (умножения

полученной функции на 2 m1/ 2 ) мы приходим к системе Хаара, рассмотренной ранее.

Еще один способ построения ортогональных систем основан на перемножении функций некоторой исходной системы. Рассмотрим в качестве примера систему функций Уолша. За основу при построении системы функ-

ций Уолша берутся функции Радемахера Rk (t) sign sin 2k t , k = 0, 1, 2, …;

1, t 0;

t 0, 1 , где sign t 1, t 0; представленные на рис. 4.4. Система функций

0, t 0,

Радемахера не может быть базисной, так как она содержит только нечетные по отношению к середине промежутка [0, 1] функции. Для функций Уолша

используют несколько

способов упорядоче-

R0(t)

ния (нумерации). Для рассматриваемого спо-

соба обычно используют обозначение pal(p, t)

и система называется упорядоченной по Пэли.

0.5

R1(t)

Алгоритм

построения

системы

Уолша–Пэли

состоит в следующем. Сперва записывается

0.5

двоичное представление номера функции

p 1

p 2

... 2

0 ,

–1

R2(t)

p p 1 ... 1 0 ,

0.5

после чего

pal(p,

t) = R

(t) . Например,

k 0

k 1

–1

pal(7, t) = R1(t)R2 (t)R3(t), так как 7 = 22 + 21 + 20.

Рис. 4.4

Наиболее универсальным способом построения ортогональных базисных систем является использование собственных функций линейных операторов. Этот подход мы обсудим после знакомства с элементами теории линейных операторов.

Контрольные вопросы

1.Сформулируйте аксиомы скалярного произведения.

2.Запишите неравенство Коши–Буняковского и приведите пример его использования в задачах оптимизации.

3.Какие векторы называют ортогональными?

4.Как в евклидовых пространствах норму и метрику согласовывают со скалярным произведением?

5.Дайте определение гильбертова пространства Н.

6.Что такое ортогональная система векторов?

7.Докажите, что, если ( x , y ) = 0 при любом ненулевом векторе y , то

x= 0 .

8.	Докажите, что любая ортогональная система ненулевых векторов
является линейно независимой.

9.	Запишите определитель Грама для системы векторов ek , k = 1, 2, 3.

Какой геометрический смысл он имеет?

10. Вычислите определитель Грама для системы функций e t , e2t ,

e	3t , t > 0. Какой вывод можно сделать из полученного результата?
	11. Проверьте линейную независимость векторов		= (0, –1, 3),		=
		e1		e2

= (1, 1, 0), e3 = (–1, –1, 1) и с помощью процедуры Грама–Шмидта постройте ортогональную систему.

12.Дайте определение взаимного базиса.

13.Сформулируйте условия полноты и замкнутости ортонормальной

системы.

14.Как вычисляются коэффициенты Фурье функции f(t) для ортонормальной системы k (t) ?

15.Сформулируйте экстремальное свойство коэффициентов Фурье

для ортонормальной системы k (t) .

16.Запишите неравенство Бесселя. Дайте ему геометрическую и физическую трактовку.

17.Дайте определение классических ортогональных многочленов.

18.Постройте первые три полинома Лагерра (L0(t), L1(t), L2(t)). Интер-

вал ортогональности (0, ), весовая функция p(t) = e t .

19. Докажите эквивалентность систем функций 1, cos kt, sin kt , k =

1, 2, и e jkt , k 0, 1, 2, .

20.Докажите ортогональность системы 1, cos kt, sin kt , k 1, 2, на

отрезке [– , ]. Превратите ее в ортонормальную систему.

21.Запишите систему функций Котельникова. Как выбираются параметры F и t базисной функции?

22.Как строится система функций Хаара?

23.Запишите представление R1(t) и R2(t) с помощью тригонометриче-

ской системы 1, cos 2k (t 0.5), sin 2k (t 0.5) , k 1, 2, .

24.Постройте функцию Уолша pal(9, t).

Глава 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ

Оператором называют отображение элементов одного метрического пространства Х в элементы другого метрического пространства Y, что кратко записывается в форме y = Ax. Множество элементов, на котором определен

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический аппарат радиотехники

#
21.03.2026802.37 Кб03.docx
#
21.03.20261.12 Mб04.docx
#
21.03.2026670.32 Кб05.docx
#
21.03.20262.03 Mб06.docx
#
21.03.20262.11 Mб0МАРТ_Часть1_Глава6.pdf
#
21.03.20261.76 Mб0МАРТ_Часть1_Главы1_5.pdf
#
21.03.20261.86 Mб0МАРТ_Часть2_Главы1_3.pdf
#
21.03.20261.81 Mб0МАРТ_Часть2_Главы4_8.pdf
#
21.03.20262.53 Mб0Фед_задачник_итог.pdf