МАРТ_Часть1_Главы1_5

s(t) sk k (t) .

(3.2)

n

Стремление sk k (t)

к s(t) при п в смысле (3.3) называют сходи-

k 0

векторы являются коллинеарными (параллельными). Аналитически условие

коллинеарности векторов a

и b записывается как

(4.2)

a

= b , R.

Как метрика и норма, скалярное произведение для ЛП, заданных над

полями R или С, определяется аксиоматически как правило отображения лю-

> векторов

бой упорядоченной пары < x ,

y

x и

y в множество скаляров из

поля R или С, над которыми задано ЛП. Это правило должно удовлетворять

следующим условиям:

1.

,

( x

x ) – неотрицательное вещественное число, равное нулю, только

если x = 0 .

2.

,

,

*

, где * – знак комплексного сопряжения.

( x

y ) = ( y

x )

3.

,

*

( x

y ) =

( x ,

y );( x

, y ) =

( x ,

y ), причем второе равенство

( 1x1

2x2

, y) 1(x1, y) 2

(x2

, y) ;

*

*

)

) ,

(x, y

2

y

2

)

(x, y )

2

(x, y

2

(x, y )

2

(x, y

2

1 1

1

1

1

1

границы.

Запишем очевидное неравенство,

справедливое для любых векторов

x

и

+

y

и значений скаляра : ( x

+ y ,

x

y ) 0. Раскрывая его, получим:

*

2

( x

, x ) + ( y

, x ) +

( y

, x ) + | | ( y

, y ) 0.

Поскольку

это неравенство справедливо при любых , то полагая

(x, y)

, после подстановки и преобразований на основе аксиомы 2, по-

( y, y)

| (x, y) |2

| (x, y) |2

0,

( x

, x ) – 2

+

( y, y)

( y, y)

2

откуда следует: |( x ,

y )|

( x

, x )( y ,

y ).

В

соответствии

с

аксиомой

1

знак

равенства достигается, если

, где = – .

x

+ y

= 0 , откуда и следует условие (4.2)

x

= y

1

~

1

2

q(t0 )

s ( )K ( j ) exp j t0

d

S ( )

K ( j )

d .

2

2

~*

( ) exp j t0

и ( )

s

. Использова-

двух функций: f ( )

S( )K( j )

S ( )

ние записи

S( )

корректно, поскольку

S ( ) 0 .

Нетрудно заметить, что

*

~

f ( )

( ) d

s ( )K ( j ) exp j t0 d . Применяя неравенство Коши–

Буняковского, получим

~

2

1 2

1

S( )

K ( j )

2

d

1

s ( )

d

2

2

S( )

1

~

2

q(t0 )

s ( )

d .

1

2 d

2 S( )

S( )

K ( j )

2

~*

( ) exp j t0

~*

( )

s

s

exp j t0

.

S ( )Kopt ( j ) c

или Kopt ( j ) c

S( )

S ( )

~

2

функция, а размерность s ( ) и S( ) есть В/Гц и В /Гц соответственно) и не

влияющую на величину q(t0), выбирают равной единице.

Если S( ) N0 2 (помеху с такой

спектральной плотностью мощно-

сти называют белым шумом), то

2 1

~

2

q(t0 )

s ( )

d .

N0 2

Как будет показано в гл. 5,

1

~

2

2

s

s ( )

d

(t) dt E ,

2

~*

( ) exp j t0 .

называемого согласованным, имеет вид Kс.ф. ( j ) s

В евклидовых пространствах норму и метрику согласовывают с введен-

2

2

ным скалярным произведением, полагая || x

||

= ( x

, x );

( x ,

y ) = ( x

– y

, x

– y ).

окончательный вид (4.1) с условием (4.2).

Два вектора x и

y называются ортогональными,

x

y

, если ( x ,

y ) = 0.

Ненулевая совокупность векторов ek называется ортогональной систе-

мой, если для любой пары векторов этой системы скалярное произведение

при l m. Если квадрат нормы каждого векто-

равно нулю, т. е. (el , em) 0

мальной. Ортогональная система будет в дальнейшем обозначаться как

ek . Для ортогональной

системы векторов ek справедливо равенство

n

2

n

2

ek

ek

, которое можно рассматривать как обобщение теоремы Пи-

k 1

k 1

n

2

фагора, считая

ek

катетами, а ek

– гипотенузой. Так как

0

0, 0 0 |,

k 1

то с помощью неравенства Коши–Буняковского можно установить следующий

полезный факт. Если ( x

, y ) = 0 при любом ненулевом векторе

y , то

x

= 0 .

Доказать это утверждение предоставляется читателю.

Также в качестве упражнения предлагается доказать, что любая орто-

гональная система ненулевых векторов является линейно независимой.

Скалярное произведение

дает

возможность определять

координаты

вектора x = (х1, х2, …, хп) относительно произвольного базиса ek , k = 1, 2,

…, п.

Записывая представление

вектора x через базисные векторы

x =

n

= xk ek и последовательно скалярно умножая обе части этого равенства на

k 1

базисные векторы el , l = 1, 2, …, п, получим для определения координат хk

линейную систему уравнений

n

( x ,

el ) =

xk (ek , el ) , l = 1, 2, …, п.

k 1

не была бы

Это – неоднородная система, иначе совокупность векторов ek

определитель G( e 1,

e 2, …,

e n), называемый определителем Грама, отличен

от нуля, т. е.

(e1, e1)

(e2

, e1)

(en , e1)

1,

(e1, e2 )

(e2

, e2 )

(en , e2 )

0 .

G( e

e 2, …, e n) =

(e1, en ) (e2

, en )

(en , en )

Можно показать, что определитель Грама имеет смысл квадрата объ-

ема гиперпараллелепипеда, «натянутого» на векторы e1, e2

, …, en . Для п = 1

2

это ( e1

, e1) = ||( e1)||

– квадрат длины вектора e1

; для

п = 2

определитель

2

2

2

G( e1

, e2 ) = || e1

||

|| e2

||

– |( e1

, e2 )|

– квадрат площади параллелограмма, по-

можно утверждать, что для системы линейно независимых векторов опреде-

литель Грама G( e1

, e2

, …,

en ) > 0. Для системы ненулевых ортогональных

n

||2

векторов ek G( e1

, e2 , …, en ) =

|| ek

0 .

k 1

Определитель Грама можно записать в форме

),

G( e

, e , …, e

) = || h ||2 G( e

, e

, …, e

1

2

n

n

1

2

n 1

в представлении

. В этом

где || h ||2 – квадрат нормы вектора h

e = h

+ p

n

n

n

n

n

называемый проекцией вектора

на подпро-

представлении вектор pn ,

en

странство М, «натянутое» на векторы

e1,

e2 , …, en 1, представляет собой

вектор, принадлежащий М и максимально близкий по используемой метрике

,

, где минимизация ведется по всем век-

к вектору e

т. е. || h

|| = min (e

, e)

n

n

n

e

торам e , принадлежащим М.

При разложении вектора

x

по ортогональному базису ek квадрат

будет равен

нормы вектора x

2

n

n

n

2

2

|| x || = ( x ,

x ) =

| xk |

|| ek || .

xk ek ,

xk ek

k 1

k 1

k 1

2

n

Если базисная система ортонормальна

(|| ek ||2

1), то || x

|| = | xk |2 .

k 1

Это соотношение часто называют равенством Парсеваля.

Координаты

вектора

относительно

x

ортогонального базиса ek

)

(x, e

равны хп =

k

, а для ортонормального

хп =

(x, ek )

. Читателю предла-

|| e

||2

k

гается самостоятельно доказать данные утверждения.

С учетом приведенных результатов скалярное произведение в Сп запи-

n

n

xk yk* ,

сывается как ( x ,

y ) =

а в Rn

( x ,

y ) = xk yk , где хk и yk – коорди-

k 1

k 1

наты векторов x

и y в ортонормальном базисе.

.

Часто бывает удобным введение базиса u

, взаимного с базисом e

i

i

торы попарно ортогональны с векторами базиса ei , т. е.

ui , e j ij , i = 1,

2, …, n, где ij

1, i j;

– символ Кронекера.

0, i j

Если базис ei является ортонормальным, то он совпадает со своим

взаимным базисом.

При использовании взаимных базисов ei и

ui для

любого вектора

принадлежащего линейному пространству Rn

или Сп,

x ,

в котором ei является базисом, можно записать

Приведем примеры евклидовых пространств и ортогональных базисов в них.

1. В Rn ортонормальным базисом является введенный ранее базис с век-

торами e1 = (1, 0, …, 0); e2 = (0, 1, …, 0);

en = (0, 0, …, 1). Его частным

случаем для трехмерного пространства R3 являются орты i ,

j, k .

2. В пространстве L2 [a, b] скалярное произведение функций f(t) и g(t)

b

определяется как ( f , g) f (t)g*(t) dt , а в L2 как ( f , g)

f (t)g*(t) dt .

a

Если L2 [a, b] или L2 – вещественные функциональные пространства, то

знак комплексного сопряжения * опускается.

В L2 [a, b] используются разнообразные базисы, из которых важней-

шим

является

тригонометрический базис,

состоящий

из функций 1,

cos k

2 t

, sin k

2 t

, k = 1, 2, … . Для промежутка длиной 2 базисной бу-

b a

b a

j 1

j

нуля на двоичном промежутке

,

, где m = 1, 2, … , а j = 1, 2, …,

m 1

m 1

2

2

m – 1

j 1

j 1/ 2

2

. На левой половине двоичного отрезка

,

функция Хаара

m 1

m 1

2

2

(t) = =

2(m1)

2

j 1/ 2

j

, а на правой половине

,

соответственно

mj

2m1

2m1

mj(t)

=

k = 2m – 1 + j, m = 1, 2, … ; j = 1, 2, …, 2m – 1.

1(t)

При таком обозначении нумерация функций

1

Хаара k(t) начинается с k = 2. При этом 1(t)

0

1

t

полагается равной единице на всем промежутке

0.5

2(t)

[0, 1].