МАРТ_Часть1_Главы1_5

= х–1 х = е. Моноид, каждый элемент которого, за исключением, быть может, нулевого, обратим, называется группой. Если бинарная операция является коммутативной, то группа называется абелевой.

Если под бинарной операцией понимается сложение, то группа называется аддитивной, а если умножение, то мультипликативной.

Рассмотренные множества по отношению к арифметическим операциям сложения и умножения образуют следующие алгебраические структуры:

–множество натуральных чисел N образует полугруппу;

–множество целых чисел Z по отношению к операции сложения образует абелеву группу, а по отношению к операции умножения это всего лишь моноид (нет обратных элементов);

–множества вещественных и комплексных чисел (R и C) образуют абелевы группы по отношению к обеим операциям.

Примером некоммутативной мультипликативной группы является множество невырожденных квадратных матриц одного порядка. Напомним, что операция умножения матриц не коммутативна, а роль единицы играет

Для конечных множеств бинарная операция может быть задана с помощью таблицы. Так, например, для широко используемого в цифровой технике и теории кодирования множества Z2 = {0, 1} операция сложения элементов может быть задана с помощью таблиц, приведенных на рис. 1.3.

Рассмотрим, к каким алгебраическим структурам приводит определенная с помощью данных таблиц операция сложения элементов множества Z2. Таблица, представленная на рис. 1.3, а, определяет так называемую арифметику вычетов по модулю два. Если нейтральным элементом считать 0, то обратный элемент совпадает с исходным, что легко проверить самостоятельно. С учетом коммутативности заданной бинарной операции получаем абелеву группу.

11

Рис. 1.3

Таблица б на рис. 1.3 интерпретирует операцию сложения как операцию объединения множеств. При этом под нулевым элементом понимается пустое множество, а под единичным – универсальное множество S. При построении таблицы учтены следующие соотношения: = , S = S = S и S S = S. Поскольку при таком определении операции сложения и нейтральном элементе 0 элемент 1 не имеет обратного, то полученная алгебраическая структура представляет собой моноид.

Таблица в на рис. 1.3 определяет двоичную систему счисления и с учетом изложенных сведений не может задавать бинарную операцию, поскольку

элемента 10 нет в исходном множестве Z2. Более подробно с теорией групп и их использованием в задачах радиотехники можно ознакомиться с помощью учебного пособия [3].

Рассмотрим множества, на которых определены две бинарные операции: сложение и умножение. Если по отношению к операции сложения мы имеем абелеву группу, а по отношению к операции умножения – моноид и операции сложения и умножения связаны законом дистрибутивности (для любых трех элементов a, b, c множества выполняется соотношение a(b + c) = = ab + ac, то такая алгебраическая структура называется кольцом.

Примерами колец могут служить множество произвольных квадратных матриц одного порядка, множество многочленов степени не выше п.

Если по отношению к операции умножения элементы также образуют абелеву группу, то кольцо превращается в поле.

Для обозначения произвольного поля часто используют символ F. Поля,

заданные на конечных множествах, называют полями Галуа

Кольцо множеств с единицей называют алгеброй множеств. Если замкнутость кольца выполняется по отношению к объединению и пересечению любой счетной последовательности множеств А1, А2, …, Ап, принадлежащих , то мы получаем -кольцо, а при наличии единицы – -алгебру.

1.5. Нечеткие множества

Рассмотренные ранее обычные множества можно интерпретировать как предельный случай нечетких множеств, для которых ключевым является понятие функции принадлежности (характеристической функции) A(x) элемента х исходного (универсального) множества Х рассматриваемому нечеткому множеству А. Функция принадлежности задается на элементах х Х и удовлетворяет условию 0 A(x) 1. Для обычных множеств

1, x A;A (x) 0, x A.

Множество Х представляет собой область определения функции принадлежности A(x); х называют базовой переменной.

В качестве примера запишем выражение для четырехэлементного нечеткого множества А для случая, когда Х = R: A r1 / 0.3, r2 / 0, r3 / 0.9, r4 /1 . В этой записи ri , i = 1, 2, 3, 4 – элементы R (вещественные числа), а числа после наклонной черты – значения функции принадлежности для данных элементов. Приведенная запись показывает, что А не содержит r2 , полностью содержит r4 , в значительной степени содержит r3 и в малой степени – r1 .

Функцию принадлежности нельзя интерпретировать как распределение вероятностей (не выполняется условие нормировки) или как функцию распределения (она не обязательно является неубывающей).

Приведем определения некоторых операций над нечеткими множествами.

1.Дополнение нечеткого множества А с функцией принадлежности

A(x) представляет собой нечеткое множество A с функцией принадлеж-

ности (x) 1 (x) .

2. Пересечением нечетких множеств А1 и А2 с функциями принадлежности 1(x) и 2 (x) соответственно будет нечеткое множество А с функцией

принадлежности A (x) min 1(x), 2 (x) .

x

14

3. Объединением нечетких множеств А1 и А2 с функциями принадлежности 1(x) и 2 (x) соответственно будет нечеткое множество А с функ-

цией принадлежности A (x) max 1(x), 2 (x) .

x

4. Функция принадлежности нечеткого множества А, представляющего собой разность нечетких множеств А1 и А2, определяется выражением

A (x) max 0, 1(x) 2 (x) .

x

Более подробно с теорией нечетких множеств и с областями их применения можно ознакомиться с помощью многочисленной литературы по данному вопросу, например [4]–[6].

Контрольные вопросы

1.Дайте определение понятия множества. Приведите примеры мно-

жеств.

2.Что называется подмножеством множества? Дайте определение равенства двух множеств.

3.Назовите основные операции над множествами.

4.Какому множеству соответствует DT BF?

5.Для множеств F = {3, –5, 6, 1} и B = {–8, 4, 3, 1} найти А В, А В,

А\ В, В \ А и А В.

6.Дайте определение эквивалентности двух множеств. Приведите примеры эквивалентных множеств.

7.Что такое мощность конечных множеств? Для множеств А и В, при-

веденных в вопр. 5, определите мощность множеств, найдите А В, А В,

А\ В, В \ А и А В.

8.Изобразите на диаграмме Эйлера–Венна множество (А + С)(В + С) и убедитесь в том, что оно равно АВ + С.

9.Установите, какие из приведенных ниже выражений правильны:

а) (А В) \ С = А (В \ С);

б) АВС = АВ (С В); в) А В = (А \ АВ) В = (А В) (А В);

г) АВС АВ ВС СА; д) (АВ ВС СА) (А В С); е) А \ В = А (А В).

15

10. Дайте определение основных алгебраических структур (полугруппа, моноид, группа, кольцо, поле). Приведите примеры.

Глава 2. МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

2.1. Понятие метрического пространства

Множество Х элементов различной природы образует метрическое пространство, если любой паре элементов xi, xj, принадлежащих данному множе-

ству (xi, xj Х), поставлено в соответствие (определено) неотрицательное веще-

ственное число (xi, xj), называемое расстоянием между элементами xi и xj. Символически сформулированное определение записывается как (Х, ). Расстояние можно понимать как вещественную неотрицательную функцию, заданную на любой паре элементов множества Х.

Данная функция должна удовлетворять следующим трем аксиомам:

1. (xi, xj) = 0, только если xi = xj.

Заметим, что при задании на одном и том же множестве Х различных метрик из равенства нулю расстояния между элементами в одной метрике не следует равенства нулю расстояния в другой. Примеры подобных ситуаций будут приведены далее.

2.(xi, xj) = (xj, xi). Это утверждение называют аксиомой симметрии.

3.Для любых xi, xj, xk Х (xi, xk) (xi, xj) + (xj, xk).

Данное утверждение представляет собой аксиому треугольника, обобщающую на произвольные пространства хорошо известное из геометрии неравенство треугольника, в соответствии с которым любая сторона меньше суммы двух других сторон.

Обычно метрические пространства (Х, ) обозначаются одной буквой, определяемой типом множества, на котором определена метрика.

Рассмотрим примеры метрических пространств.

но проверить, что все аксиомы метрики в этом случае выполняются. Такое метрическое пространство называют пространством изолированных точек.

16

ское пространство R.

векторов, элементы которых принимают лишь два значения: 0 или 1. Такие

вектора образуют п-разрядные кодовые последовательности (кодовые слова),

и 1 x, y определяет количество разрядов, в которых одно кодовое слово отличается от другого. Данная метрика широко используется в теории кодирования.

Введенные метрические пространства часто обозначают как Rnp при

17

a

Такое множество обозначается обычно как L2[a, b] и после введения метрики

2 x, y превращается в метрическое пространство с сохранением обозначе-

ния L2[a, b].

Если речь идет о функциях, определенных на всей оси (– , ) и удо-

влетворяющих условию x(t) 2 dt , то соответствующее метрическое

18

пространство обозначается как L2. Отметим, что элементами L2[a, b] или L2 могут быть как вещественные функции, так и функции, принимающие комплексные значения.

Как и для конечномерных пространств, часто используют евклидово расстояние с весом p(t), где p(t) – неотрицательная

ляемые для достаточно общих множеств. Для специфических множеств могут быть введены свои способы определения расстояния. Так, для множества всех пар вещественных чисел x, y , лежащих на окружности единичного радиуса с центром в начале координат и, следовательно, удовле-

длину наименьшей дуги, соединяющей точки xi, yi и xj, yj. Примером специфической метрики может также служить «метрика города», заданная для множества, состоящего из всех домов города, и определяемая как мини-

мальная длина пути между домами по улицам города, т. е. xi , x j min Lij ,

i, j

где Lij – множество всех путей по улицам, соединяющим дома xi и xj. Введенные метрики могут быть определены с соответствующими по-

правками и для множества комплексных чисел, множества векторов с комплексными элементами, множества комплекснозначных функций. Например,

19

для множества комплекснозначных функций, каждая из которых удовлетво-

называется фундаментальной, или последовательностью Коши, если 0N такое, что из условия n, m > N следует, что xn, xm .

Из аксиомы 3 следует, что любая сходящаяся последовательность является последовательностью Коши. Обратное утверждение в общем случае неверно, так как для последовательности Коши предельный элемент может не принадлежать метрическому пространству Х.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий приведенное утверждение. Пусть на множестве С непрерывных на промежутке [0, 1] функций рассматривается последовательность функций вида

вательность xn(t) не является сходящейся, так как предельный элемент, прямоугольная функция, не принадлежит С, поскольку в точках 0 и 1 нарушаются условия непрерывности.

20