МАРТ_Часть1_Глава6
.pdfУолша
pal( p, t)
p 2 p 2 p 1
P
R k 1(t) . k 0
... 2 0 , p p 1 ... 1 0 . Таким образом,
Ниже представлены выражения для первых восьми
функций Уолша:
|
|
|
20 , |
|
|
|
||
pal(0, t) 1; |
pal(1, t) R (t) , поскольку 1 |
0 |
0 |
; |
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
pal(2, t) R |
(t), поскольку 2 21, |
|
0 |
1; |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
pal(3, t) R (t)R (t) , поскольку |
3 21 20 , |
|
0 |
0, |
1; |
|
||||||||||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
pal(4, t) R (t) , поскольку |
4 22 , |
0 |
2 ; |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
pal(5, t) R (t)R (t) , поскольку5 22 20 , |
|
0 |
0, |
2; |
|
|||||||||||||
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
pal(6, t) R (t)R (t) , поскольку |
6 22 21, |
|
0 |
0, |
2 ; |
|
||||||||||||
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
pal(7, t) R (t)R |
(t)R (t) , поскольку 7 22 |
21 20 , |
|
0 |
|
0, 1, |
2 |
2. |
||||||||||
3 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
Матрица, определяющая первые восемь функций Уолша (m = 3), упо- |
||||||||||||||||||
рядоченных по Пэли и обозначаемая обычно как Pm , имеет вид |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 1 1 1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
1 1 |
1 1 |
1 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 1 |
1 |
1 |
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
P3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
1 1 |
1 1 |
1 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 1 |
1 |
1 |
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
1 |
1 |
1 1 |
1 1 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
1 1 1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Часто более удобным оказывается способ упорядочивания функции Уолша по Адамару, суть которого состоит в следующем. Введем в рассмотрение прямое произведение матриц A {aij } i, j 1, 2, ..., n и B {bkl},
k, l 1, 2, ..., m , обозначаемое как A B и определяемое как блочная матрица вида
a |
|
B |
a |
B |
... |
a |
B |
||||
11 |
|
12 |
|
|
|
1n |
|
|
|||
a |
21 |
B |
a |
22 |
B |
... |
a |
2n |
|
B |
|
A B |
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
... |
|
... ... ... |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
an2 B |
... |
|
|
|
|
||
an1B |
ann B |
||||||||||
136
Например,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
6 |
12 |
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
3 5 9 |
15 |
|
. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
5 |
|
|
3 |
|
|
4 8 10 |
20 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
10 |
15 |
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Запишем матрицу |
H |
|
|
1 |
|
1 |
|
и с помощью операции прямого произведе- |
||||||||||
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ния получим матрицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
||||
|
|
H4 H2 H2 1 |
1 |
1 |
1 |
, |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
1 1 |
1 |
|
1 |
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 1 |
1 1 |
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 1 1 |
1 |
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
||||||||||
H8 H2 H4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
1 1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
1 1 1 |
|||||||||||
и т. д. Матрицы Hm, m 1, 2, ..., получаемые по этой схеме, называются матрицами Адамара. Их строки определяют функции Уолша, упорядоченные по Адамару и обозначаемые как had(h, t) , где h – номер функции, h 0, 1, ..., 2m 1.
Третий из используемых на практике способов упорядочивания функций Уолша называется упорядочиванием по секвенте (числу перемен знака или нулей функции Уолша на рассматриваемом интервале). Он очень близок к тому, который был предложен Уолшем, следствием чего является используемое обозначение wal(w, t) .
Функции, упорядоченные по секвенте могут быть определены с помощью матрицы Wm . Так, матрица W8 имеет вид:
137
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|||
1 1 |
1 |
1 |
1 |
1 1 |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
||
W8 |
1 |
1 1 |
|
1 |
1 |
|
. |
||
1 |
1 |
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 1 |
1 1 |
1 |
1 |
||||
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 1 |
|
|
||
1 |
1 |
||||||||
Между номерами функций при различных способах упорядочивания существует взаимно однозначное соответствие. Матрицы, с помощью которых задаются функции Уолша, обладают рядом особенностей, определяющих свойства функций Уолша.
1. Это ортогональные матрицы (скалярные произведения любых двух строк равно нулю). Матрица A называется ортогональной, если AA* E ,
где – скаляр. В нашем случае 2m .
2. Замена l -й строки на l -й столбец не меняет матрицу. Это означает, что если вместо непрерывного времени t рассматривать дискретное – номера двоичных отрезков, то переменные p и t , h и t , w и t являются равноправными.
3.Сумма элементов каждой строки, кроме первой, равна нулю. Это свойство определяет уравновешенность функции Уолша.
4.Поэлементное произведение любых двух строк дает строку этой матрицы с номером l m n ( mod 2 ), где m и n – номера перемножаемых строк, а записанная операция означает суммирование по модулю 2. Это свойство определяет мультипликативность системы функций Уолша.
Система функций { k (t)} называется мультипликативной, если произ-
ведение любых двух функций системы дает функцию системы и для любой функции l (t) , функция 1/ l (t) также входит в систему.
Хорошо знакомым примером мультипликативной системы является система комплексных экспонент {e jkt}, k 0, 1, 2, ..., n, ....
Остановимся теперь на вопросах представления функций в базисе (базисах) Уолша. Как уже неоднократно отмечалось, система функций Уолша полна в L2 (0,1) . Это означает, что для f (t) L2 (0, 1) выполняется соотношение:
138
1
lim f (t)
N
0
N |
2 |
|
c p pal( p, t) |
dt 0. |
|
p 0 |
|
|
|
|
|
Аналогичные утверждения справедливы и для had(h, t) и wal(w, t) .
Для равномерной сходимости рядов Фурье–Уолша необходимо, чтобы
функция |
f (t) была непрерывна и имела на интервале [0, 1] |
ограниченное |
полное изменение (ограниченную вариацию). Функция f (t) |
имеет на про- |
|
межутке |
[a, b] ограниченную вариацию, если при любом разбиении проме- |
|
жутка [a, b], (a t0 t1 ... tn b) и при любом n совокупность сумм вида
n |
|
S | |
f (tk ) f (tk 1) | , отвечающая всевозможным разбиениям промежут- |
k 1 |
|
ка [a, b], ограничена.
Точную верхнюю грань sup S называют полной вариацией функции
b
f (t) на [a, b] и обозначают как V ( f ) .
a
Из самой идеи построения функций Уолша видно, что для получения конечной совокупности функций Уолша необходимо задать m, определяющее число двоичных отрезков, на которых задаются значения функций Уолша. Построенная система будет полна на множестве кусочно-постоянных функций, построенном на данной системе отрезков, но не будет полна в
L2 (0, 1).
Пусть представляемая кусочно-постоянная функция fm (t) определена своими значениями fmi (t) на заданных двоичных отрезках, т. е. задан вектор fm fm0, fm1, ..., fm2m 1 . Тогда выражение для коэффициента Фурье–
Уолша (для определенности будем использовать упорядочивание по Адамару) примет вид
1 |
1 |
2m 1 |
|
Сh fm (t)h(h, t)dt |
fmihhi , |
||
2m |
|||
0 |
i 0 |
где hhi – i-й элемент h-й строки матрицы Hm .
Таким образом, коэффициент Фурье с точностью до постоянного при данном m множителя 2 m определяется скалярным произведением вектора
139
|
и вектора, |
значений кусочно-постоянной функции fm fm0, fm1, ..., fm2m 1 |
|
определяющего соответствующую функцию Уолша. |
|
Вся совокупность коэффициентов ряда Фурье–Уолша, |
определяемая |
||
|
|
, c1, ..., c2m 1 кусочно-постоянной функции |
|
вектором |
cm c0 |
fm (t) , может |
|
быть найдена как произведение матрицы Уолша ( Pm , Hm или Wm ) на вектор
|
т |
|
|
|
1 |
|
|
|
т |
|
f |
, т. е. C |
|
H |
|
f |
, где символ «т» означает транспонирование. |
||||
|
m |
|
m |
|
||||||
m |
|
|
2m |
m |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Так как элементы матриц Pm , Hm или Wm равны 1, то для вычисле-
ния спектра требуется 2m (2m 1) 22m операций сложения или вычитания.
Это число можно уменьшить до |
m2m за счет структурных особенностей |
матриц Уолша. Поясним это на примере, взяв, как и прежде, m = 3. |
|
|
|
Для вектора f3 компоненты вектора C3 , определяющего спектр Уолша |
|
в системе Адамара, будут равны (общий множитель 1/8 опущен): |
|
С0 f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 ; С1 f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 ; С2 f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 ; С3 f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 ; С4 f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 ; С5 f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 ; С6 f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 ; С7 f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 .
Как уже отмечалось, требуемое число сложений и вычитаний равно
23 (23 1) 56 . Экономия в вычислениях достигается за счет группирования слагаемых, входящих в исходное выражение. Вычислим восемь чисел по правилу: A f0 f1; B f2 f3 ; C f4 f5 ; D f6 f7 ; E f0 f1,
F f2 f3 ; G f4 f5 ; H f6 f7 . После этого выражения для коэффициентов C0, C1, ..., C7 примут вид:
C0 A B C D ; C1 E F G H ; C2 A B C D ; C3 E F G H ; C4 A B C D ; C5 E F G H ;
C6 A B C D ; C7 E F G H .
Вычислим еще восемь чисел: A' A B ; B' C D ; C' E F ; D' G H ; E' A B ; F ' C D ; H ' E F ; G' G H . После этого вычисляются коэффициенты C0, C1, ..., C7 :
140
C0 A' B'; C1 C' D' ; C2 E' F' ; C3 G' H '; C4 A' B';
C5 C' D'; C6 E' F'; C7 G' H ' .
На это уйдет еще восемь операций. Общее число операций, как уже было указа-
но, будет m2m 3* 23 24 вместо исходных 56. С ростом m выигрыш в числе
операций нарастает. Число операций уменьшается в |
22m |
|
2m |
раз. Приведен- |
|
m2m |
m |
||||
|
|
|
ная процедура определяет «быстрое» преобразование Адамара–Уолша. Формализация «быстрого» преобразования состоит в факторизации
матрицы преобразования, т. е. представлении ее в виде произведения матриц такого же порядка, содержащих большое количество нулей.
Так, для нашего примера матрица Адамара–Уолша H3 записывается как произведение трех (m = 3) одинаковых матриц вида
|
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
A3 |
1 |
1 0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
. |
|
|
|
||||||||
|
0 |
0 |
1 |
1 0 0 |
0 |
0 |
|
||
|
|
||||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 0 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
1 |
||||||||
Записывая процедуру умножения матриц на вектор, исключающую умножение на 0, мы получаем алгоритм «быстрого» преобразования, который уже был рассмотрен ранее.
Контрольные вопросы
1.Дайте определение комплексного числа. Приведите алгебраическую
ипоказательную форму представления комплексного числа.
2.Сформулируйте правила сложения, умножения, возведения в степень и извлечения корня из комплексного числа.
3.Дайте определение непрерывности функции комплексного пере-
менного.
4.Запишите условия дифференцируемости функции f (z) = u(x, y) +
+jv(x, y).
5.Дайте определение аналитической функции, аналитичной в области D. Приведите примеры.
141
6.Как определяется интеграл от функции комплексной переменной?
7.Сформулируйте теорему Коши об интеграле по замкнутому контуру.
8.Что такое ряд Лорана для функции f (z) ? Что называется главной
частью ряда Лорана?
9. Что такое вычет функции f (z) в точке z = a? Как он вычисляется?
10. Как с помощью вычетов можно вычислить интеграл вида f (x) dx ?
Приведите примеры.
11.Дайте определение аналитического продолжения функции f (z) .
12.Дайте определение гамма-функции. Приведите основное функциональное соотношение для гамма-функции.
13.Как получается асимптотическое представление гамма-функции Г(х) при x >> 1? В чем сущность метода Лапласа?
14.Как определяется бета-функция? Как она связана с гаммафункцией? Какое применение находят гамма- и бета-функции в теории вероятностей? Что такое неполные гамма- и бета-функции?
15.Дайте определение интеграла вероятностей Ф(х) и укажите его связь с другими формами представления erf x, erfc x.
16.Дайте определение интегралов Френеля и укажите их асимптотические свойства.
17.Дайте определение ортогональных многочленов и сформулируйте их основные свойства.
18.Сформулируйте признак, по которому выделяются классические ортогональные многочлены.
19.Дайте определение полиномов Лежандра, Чебышева (I-го и II-го рода), Якоби, Лагерра и Эрмита.
20.Какие функции называются цилиндрическими? Какова их классификация?
21.Приведите основные функциональные соотношения для функций
Jv(x) и Iv(x). Охарактеризуйте особенности их применения.
22. Приведите пример использования свойств функций Бесселя в зада-
че отыскания спектра сигнала s(t) = Umcos( 0t + sin t), где Um – амплитуда сигнала, = / – индекс модуляции, – девиация частоты, – частота модулирующего гармонического колебания.
23. Какие функции относятся к функциям гипергеометрического типа?
142
24.Как определяется гипергеометрический ряд? Какие ограничения накладываются на его параметры?
25.Какие функции называются кусочно-постоянными?
26.Дайте определение системы функций Хаара. Приведите первые восемь функций этой системы.
27. Найдите первые четыре члена ряда Фурье–Хаара для функции
f (t) t 2 , t 0, 1 ;
0, t 0, 1 .
28.Дайте определение системы функций Радемахера. Почему они не могут быть базисной системой?
29.Дайте определение функций Уолша при различных способах упорядочивания.
30.Что такое быстрое преобразование Уолша и в чем его алгоритм?
143
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Казаринов Ю. М., Коломенский Ю. А., Ульяницкий Ю. Д. Математический аппарат статистической радиотехники: Учеб. пособие / ЛЭТИ, Л., 1989.
2.Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1976.
3.Подкопаев Б. П. Элементарное введение в теорию групп. Учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2002.
4.А. Кофман. Введение в теорию нечетких множеств. М.: Радио и связь, 1982.
5.Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта / Под ред. Поспелова Д. А. М.: Наука, 1986.
6.Обработка нечеткой информации в системах принятия решений / А. Н. Борисов, А. В. Алексеев, Г. В. Меркурьев и др. М.: Радио и связь, 1989.
7.Л. Колатц. Функциональный анализ и вычислительная математика.
М.: Мир, 1969.
8.Э. Маделунг. Математический аппарат физики. Справ. руководство. М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1960.
9.Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1988.
10.Иванов М. Т., Сергиенко А. Б., Ушаков В. Н. Теоретические основы радиотехники. М.: Высш. шк., 2002.
11.Черняев А. П. Ряды Фурье. Интегралы, зависящие от параметра и обобщенные функции. Курс лекций. М.: М3 Пресс, 2004.
12.Харкевич А. А. Спектры и анализ. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1962.
13.Гуревич М. С. Спектры радиосигналов. М.: Гос. изд-во лит. по вопр. связи и радио, 1963.
14.Шилов Т. Е. Математический анализ. Конечномерные линейные пространства. М.: Наука, 1969.
15.Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1958.
16.У. Кук, М. Бернфельд. Радиолокационные сигналы. М.: Сов. Радио,
1971.
17.Кузнецов Д. С. Специальные функции. М.: Высш. шк., 1965.
18.Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1961.
19.Лебедев Н. Н. Специальные функции и их приложения. М.: Физма-
тгиз, 1963.
144