МАРТ_Часть1_Глава6

Поскольку при замене R R, r1 r1, r2 r2 углы и не изменятся, то приведенную выше формулу можно записать в следующем виде:

J0 ( R) k J k ( r1)J k ( r2 ) cos k . k 0

При = j с учетом того, что Jk(x) = j kIk(x), k = 0, 1, 2, …, получим:

I0 (R) ( 1)k k Ik (r1)Ik (r2 ) cos k . k 0

Для произвольного значка v теоремы сложения для Jv(R) и Iv(R) примут вид:

Jv (R)e jv Jv k (r1)J k (r2 )e jk ,

k

Iv (R)e jv ( 1)k Iv k (r1)Ik (r2 )e jk .

k

Нули цилиндрических функций и разложение функций в ряды Фурье Бесселя. Как уже отмечалось, нули базовой или материнской функции определяют масштабный коэффициент при построении базисной системы на основе функций Бесселя. Рассмотрим уравнение J (x) 0 . Корни этого уравнения называются нулями функции Бесселя J (x) и обозначаются как

x k , k 0, 1, 2...

Нули функций Бесселя J (x) и J 1(x) перемежаются. Можно пока-

Так как нули соседних по индексу функций Бесселя перемежаются, то

J 1(x m ) 0.

Если функция f(x) кусочно-непрерывна и обладает ограниченным изменением в любом интервале (c, d), удовлетворяющем условию 0 < c < d < a, и

126

Приведем пример использования функций Бесселя в типичной задаче радиотехники.

Спектр частотномодулированного (ЧМ) колебания при гармониче-

ском законе модуляции. Найдем спектр сигнала, мгновенная частота которого равна (t) 0 cos t , где – девиация частоты, 0 – несущая

частота, – частота модуляции. Так как фаза колебания (t) (t) dt , то в

индексом модуляции. Как мы увидим из дальнейшего, именно он определяет структуру спектра ЧМ-колебания при гармоническом законе модуляции. Произвольную постоянную – начальную фазу 0 без потери общности можно положить равной нулю. Таким образом, исследуемый сигнал имеет вид:

s(t) Um cos( 0t sin t) ,

где Um – амплитуда колебания.

Используя известную формулу cos( ) cos cos sin sin , запишем наш сигнал в виде

s(t) Um[cos 0t cos( sin t) sin 0t sin( sin t)].

Применяя разложения (6.17) и упомянутую тригонометрическую формулу, получим окончательное выражение для спектра ЧМ-колебания при гармоническом законе модуляции:

Таким образом, спектр исследуемого сигнала имеет дискретный характер, причем амплитуды гармоник определяются номером n и индексом модуляции. Учитывая осциллирующий характер поведения функций Бесселя, отметим что при изменении индекса модуляции меняются соотношения между амплитудами гармоник.

127

Обращаясь к рис. 6.9, нетрудно заметить, что при 1отличными от

Следует заметить, что такой же амплитудный спектр имеет амплитудномодулированное колебание с гармоническим законом модуляции. Убедиться в этом мы предлагаем читателю.

Сростом индекса модуляции число отличных от нуля гармоник растет

испектр колебания расширяется. Так как высокое качество ЧМ-передач можно обеспечить при больших индексах модуляции, то становится понятным, почему качественное стереовещание ведется в УКВ-диапазоне, а не на длинных и средних волнах.

Интегральный оператор Фредгольма вида K (xt) f (t) dt , где ядром

0

K (xt) являются функции Бесселя или связанные с ними функции, определяет преобразование Бесселя. Одним из наиболее часто используемых частных случаев этого преобразования является преобразование Ганкеля

Обратный оператор (формула обращения) имеет вид

~

f (t) x fH (x) J (xt) dx .

0

С другими случаями применения преобразования Бесселя можно познакомиться с помощью [20].

6.6. Функции гипергеометрического типа

При знакомстве с классическими ортогональными полиномами мы отмечали, что они являются решениями соответствующих линейных дифференциальных уравнений второго порядка:

(t)Qn'' (t) (t)Qn' (t) nQn (t) 0 ,

128

Дифференциальное уравнение гипергеометрического типа является обобщением уравнения для классических ортогональных полиномов и записывается следующим образом: t(1 t) y"(t) [c (a b 1)t]y'(t) aby(t) 0 , где a, b, c – произвольные числа, причем c 0, 1, 2, .... Это уравнение иногда называют дифференциальным уравнением Гаусса, а его решения функциями Гаусса. Одно из решений этого уравнения, называемое гипергеометрической функцией, имеет вид

(a 2)...(a n 1) обозначают как (a)n . Индексы 2 и 1, входящие в обозначение функции 2 F1(a, b, c; t) , показывают, что два параметра (a и b) входят в числитель коэффициентов, а один (c) – в знаменатель.

Если a или b равно отрицательному целому числу, то ряд обрывается и 2 F1( n, b, c; t) превращается в полином степени n 1 .

С помощью признака Даламбера можно установить, что радиус сходимости гипергеометрического ряда равняется единице.

Укажем элементарные свойства гипергеометрической функции. Прежде всего, отметим симметрию 2 F1(a, b, c; t) по отношению к па-

раметрам a и b.

Дифференцируя гипергеометрический ряд почленно, получим:

Гипергеометрические функции удовлетворяют большому количеству рекуррентных соотношений типа

(с a b)2F1(a, b, c; t) a(1 t)2F1(a 1, b, c; t) (c b)2F1(a, b 1, c; t) 0 ,

129

с которыми можно познакомиться с помощью справочников по теории специальных функций [19].

Придавая параметрам a, b и c конкретные значения, можно получить представления различных функций через гипергеометрическую.

Элементарные функции. Ранее отмечалось, что при отрицательных целых значениях параметра a или b гипергеометрическая функция превращается в полином. Если a = 1/2, b = c = 1, то 2 F1(1/ 2, 1, 1; t) 1 1 t .

Рассмотренные классические ортогональные полиномы также выражаются чрез гипергеометрическую функцию. Так, полином Лежандра представляет собой Pn (t) 2F1 n, n 1, 1; 1 t 2 , а полином Чебышева первого рода Tn (t) 2F1 n, n, 1/ 2; 1 t 2 .

где, как и раньше, a и c – любые числа, кроме с 0, 1, 2, ..., n . В отличие от гипергеометрической функции данный ряд сходится при любых конечных t. Вырожденная гипергеометрическая функция является решением уравнения Куммера ty"(t) (6 t) y'(t) ay(t) 0 .

Правила дифференцирования 1F1(a, c; t) аналогичны правилам для

2 F1(a, b, c;t) , т. е.

130

То же можно сказать и о рекуррентных соотношениях, связывающих функцию 1F1(a, c; t) с двумя любыми смежными функциями 1F1(a 1, c; t) и

1F1(a, c 1; t) , т. е.

(с a 1)1F1(a, c; t) a1F1(a 1, c; t) (c 1)1F1(a, c 1; t) 0 ; c1F1(a, c; t) c1F1(a 1, c; t) t1F1(a 1, c; t) 0.

Более подробно с рекуррентными соотношениями для вырожденных гипергеометрических функций можно познакомиться с помощью справочников.

Для приложений оказываются полезными формулы, связывающие вырожденные гипергеометрические функции с положительным и отрицательным значениями аргумента:

также может быть представлен с помощью вырожденной гипергеометриче-

ской функции erf t 2t 1 F1 1/ 2, 3 / 2; t 2 . И, наконец, функции Бесселя мо-

гут быть выражены через 1F1(a, c; t) следующим образом:

J (t) t / 2 e jt1F1( 1/ 2, 2 1; 2 jt) ;

( 1)

I (t) t / 2 e t 1 F1( 1/ 2, 2 1; 2t) .

( 1)

131

С примерами использования гипергеометрических функций мы встретимся в разделе, посвященном случайным процессам.

6.7. Ортогональные системы кусочно-постоянных функций

Кусочно-постоянной называют функцию, сохраняющую неизменное значение на заданном множестве интервалов. Формально ее можно опре-

Таким образом, множество чи-

132

Для того чтобы эта система была ортонормальна, необходимо, чтобы амплитуды импульсов были бы равны 1 Т Д . Совокупность базисных

функций можно задать с помощью матрицы, которая для нашей базисной системы имеет вид

т. е. является единичной матрицей E .

Система функций Хаара. В 1900 г. венгерский математик Альфред Хаар предложил и исследовал ортонормальную систему функций на промежутке 0, 1 , к которому с помощью операции масштабирования и сдвига может быть преобразован любой конечный отрезок. Схема построения функций Хаара была рассмотрена в гл. 4.

Являясь полной ортонормальной системой в L2 (0, 1), система функций Хаара обладает замечательным свойством: для любой непрерывной на проме-

Однако ряды Фурье–Хаара сходятся довольно медленно, причем темп сходимости, в отличие от тригонометрического базиса, не зависит от гладкости (непрерывности и наличия непрерывных производных) представляемой функции.

При фиксированном разбиении основного промежутка на двоичные отрезки (фиксировано m) функции Хаара, отвечающие данному m, образуют базис на множестве кусочно-постоянных функций, которые можно построить на данной системе отрезков. При m система функций Хаара превращается в базис L2 (0, 1). Это замечание в полной мере относится и к системе функций Уолша, о которой мы поговорим несколько позже.

Для иллюстрации рассмотрим представление в базисе Хаара треугольного импульса вида

133

t, t [0; 0.5);

f (t) (1 t), t [0.5; 1];0, t [0, 1].

Учитывая вид f (t) , можно утверждать, что модуль коэффициентов ряда Фурье–Хаара будет зависеть только от m, причем коэффициенты стоящие перед функциями Хаара, располагающимися на промежутке [0, 0.5) будут отрицательными, а на промежутке [0.5, 1] – положительными.

проксимации первыми членами ряда Фурье–Хаара.

Для сравнения на рис. 6.14, б приведен результат аппроксимации f (t) в тригонометрическом базисе с тем же числом членов.

Отметим, что для тригонометрического базиса скорость сходимости ряда Фурье зависит от гладкости раскладываемой в ряд функции. Так, если f (t) непрерывна вместе с l первыми производными, то коэффициенты ряда

Фурье убывают по закону 1nl 1 , где n – номер коэффициента ряда Фурье, l 0 соответствует непрерывности функции.

Таким образом, для рассматриваемой функции коэффициенты Фурье в тригонометрическом базисе убывают по закону 1n2 . Для базиса Хаара темп сходимости не зависит от степени гладкости функции и имеет порядок 1n3 / 2 .

Суммируя по j 1, 2, ..., 2m 1 функции Хаара, соответствующие одно-

му и тому же m , и умножая результат суммирования на 2 (m 1)2 , приходим к функциям Радемахера

134

j 1

Другая форма определения функций Радемахера

sign(sin 2m t), t [0, 1];

Rm (t)

0, t [0, 1]

часто бывает более наглядной.

Функции Радемахера образуют на промежутке [0, 1] ортонормальную систему, т. е.

но она не полна, так как содержит лишь нечетные по отношению к середине промежутка, функции.

На ее основе может быть построена полная в L2 (0, 1) ортонормальная система функций Уолша, к знакомству с которыми мы и переходим.

В заключение приведем матричное представление первых восьми функций Хаара (матрица ) и первых четырех функций Радемахера (матрица R ):

Функции Уолша. Первое знакомство с функциями Радемахера и Уолша состоялось в конце гл. 4, где речь шла о построении ортогональных систем. Там были введены функции Уолша, упорядоченные по Пэли, при этом функция Уолша, обозначаемая при этом как pal( p, t) , где p – номер функции, определялась как произведение функции Радемахера с номерами m k 1. Целые числа k есть показатели степени двоичного представления номера функции

135