МАРТ_Часть1_Глава6

Добавил:

Gigol Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Математический аппарат радиотехники

Файл:

et 2 n 2 1 4 t 2 1 4 cos 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.03.2026

Размер:

2.11 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

или L2, удобнее рассматривать функции Лагерра или Эрмита, определённые соответственно как ln t e t2Ln t и hn t e t2Hn t . Совокупность произведений полиномов Лагерра на весовую функцию p t e t , т. е. функцию

вида e t Ln t , можно сформировать с помощью цепочечной схемы, приведённой на рис. 6.8.

1.0
					P1

0.5						P2
	P4
		P
				P7


		5	P
		5	P
			6

–0.5		1.0
1.0	0.5	1.0

1.0

T10 T2

– 1.0

0 0.5 1.0

Рис. 6.7

116

Пусть на вход схемы подается дельта-импульс δ(t). Тогда в точке 0 мы будем наблюдать импульсную характеристику интегрирующей цепи, равную

h t s0 t e t , где 1 RC – величина, обратная постоянной времени цепи. В точке 1, считая коэффициент усиления усилителя, обеспечивающего развязку цепей равным 1, получим:

		s t t e h			t d ,
		1		CR
			0
где h	t t e t	– импульсная характеристика дифференцирующей
CR
цепи с	постоянной времени		T RC 1 . Подставляя выражение для
hCR t и выполняя		интегрирование		с	учетом фильтрующего свойства

дельта-функции, получим:

s1 t t e t e t d e t 1 t .

Для точки 2:

s2 t t e 1 t e t d e t 1 2 t 2t 22 .

Если выбрать 1

с 1 , то s

t e

t L

t ,

t e t L t ,

t e

t L

так далее.

Читателю предлагается проверить справедливость данного результата с

помощью формулы Родрига.

C 2

Рис. 6.8

Благодаря свойству нулей классические ортогональные многочлены носят осциллирующий характер, причем с ростом номера полинома расстояния между нулями уменьшаются. Так, используя переход к переменной0, , можно получить следующую асимптотическую формулу для полиномов Лежандра:

117

	2	1 2	sin n 1 2 4 .
P cos	2
P cos
n
n	n sin

Для обобщенных полиномов Лагерра и полиномов Эрмита асимптотические формулы имеют более сложный вид

Hn t 2 n 1 2 nn2 e n2 et 22 cos 2n 1t n 2 . n

Хотя классические ортогональные многочлены образуют полные системы в L2 a,b , где a, b – интервал ортогональности, что гарантирует схо-

димость в среднем по метрике ρ2 соответствующих обобщённых рядов Фурье, часто представляет интерес точечная сходимость, требующая наложения на представляемые функции дополнительных условий. Так, например, при разложении функции f (t) по полиномам Эрмита кроме очевидного требова-

	t 2	f 2 t dt требуется, чтобы f (t) была кусоч-
ния конечности интеграла e	t 2	f 2 t dt требуется, чтобы f (t) была кусоч-

но-гладкой функцией на любом конечном интервале a, a . В этом случае


гарантируется, что ряд Фурье по полиномам Эрмита						Cn H n t , где коэф-
					n 0

	f t e t 2 Hn t dt			1		f t e t	2


фициенты Фурье Cn							Hn t dt , схо-
		Hn t	2	2n n!

дятся к f (t) в каждой точке t, являющейся точкой непрерывности этой функции.

Рассмотрим в качестве примера, полезного в дальнейшем, разложение по полиномам Эрмита знаковой функции

1, t 0;

f t sign t

0, t 0;

1, t 0.

Так как f (t) – нечётная функция, разложение будет иметь вид

118

sign t C2n 1H 2n 1 t ,

n 0

где

e t

C2n 1

sign t e

H2n 1 t dt

H2n 1 t dt.

22n 1 2n 1 !

22n 2n 1 !

t et 2

2n 1

t 2

Заменяя H

(t) по формуле Родрига H

2n 1

и выполняя

2n+1

dt 2n 1

интегрирование производной, получим:

d 2ne t

sign t

t 2

et 2

dt 2n

22n 2n 1 !

dt 2n

22n 2n 1 !

H 2n 0

22n 2n 1 !

С помощью производящей функции для полиномов Эрмита можно по-

казать, что H2n 0 1 n 2n!n!, и для разложения знаковой функции по полиномам Эрмита получить следующее выражение:

	1			n
sign t				1		H2n 1 t .
			22n 2n

		n 0			1 n!

В соответствии с условиями сходимости этот ряд сходится во всех точках, кроме точки t = 0, где он равен полусумме левого и правого пределов1 1 2 0 . Это действительно так, потому что H2n 1 0 0.

6.5. Функции Бесселя

Бесселевыми, или цилиндрическими, функциями называются решения линейного дифференциального уравнения Бесселя

z2d 2w	z	dw	z2	2 w 0 ,	(6.13)
dz2		dz

где z – комплексная переменная, ν – параметр, порядок, значок или индекс, также может быть произвольным комплексным числом.

В приложениях часто приходится рассматривать случай, когда ν = n – целое число. Под цилиндрическими функциями понимают следующие функ-

ции: функции Бесселя Jν(z), функции Неймана Nν(z), часто называемые функ-

119

(1)(z), Hν

(2)(z).

циями Вебера с обозначением Yν(z), и функции Ганкеля Hν

Названные функции при фиксированном n являются аналитическими функциями z. Часто функции Бесселя приходится рассматривать при фиксированном z как функции значка ν. При этом они являются целыми функциями комплексной переменной ν.

Целой функцией называется аналитическая функция, представимая

всюду сходящимся рядом Тейлора f z Cn z n .

n 0

Между функциями Jν(z), Nν(z) или Yν(z), Hν(1)(z), Hν(2)(z) существуют

зависимости, аналогичные формулам Эйлера:

H 1 z J z jN z ; H 2 z J z jN z .

С физической точки зрения, гармонические функции описывают незатухающие колебания постоянной частоты, в то время как функции Бесселя характеризуют слабозатухающий осциллирующий процесс, частота которого становится постоянной лишь в ассимптотике.

Отыскивая решение уравнения (6.13) в виде обобщённого степенного

ряда am z m a , где am и a – подлежащие определению коэффициен- w z

m 0

ты и значение параметра соответственно, получим два частных решения:

J z		1 m z 2 2m	; J z		1 m z 2 2m
J z		m! m 1	; J z		m! m 1	, (6.14)
	m 0	m! m 1		m 0	m! m 1
	m 0			m 0

которые при n являются линейно независимыми и их линейная комбинация образует общее решение уравнения (6.13). Если ν = n, то между функциями

Jп(z) и J–п(z) существует линейная зависимость вида J n z 1 n J n z . Что-

бы получить общее решение уравнения (6.13) для ν = n и вводится функция Неймана N z J z cos J z sin . Функции Jν(z) и Nν(z) образуют фундаментальную линейно независимую систему решений уравнения Бесселя при любых значениях v, в том числе и при целых.

Функции Бесселя чисто мнимого аргумента (модифицированные функции Бесселя). Если считать, что z jx , где x – вещественная переменная, то подставляя это значение в (6.14), получим:

J jx j		x 2 2m	; J jx j		x 2 2m
						.
					m! m 1	.
	m 0 m! m 1			m 0	m! m 1
			120

Входящие в эти выражения ряды и определяют модифицированные функции Бесселя

I x

m 0

x 2 2m	; I x		x 2 2m
				.	(6.15)
m! m 1			m! m 1
		m 0

То, что ряды (6.14) являются знакопеременными, а (6.15) – знакопостоянными, определяет резкое различие в их поведении (см. рис. 6.9 и 6.10, на

которых представлены графики функций Jn(x) и In(x) соответственно).

0.5

–0.5

0.5

–0.5

y = J0(x)

y = J1(x)


5	10	15

J2(x) J3(x)

J8(x)

J16(x)

Рис. 6.9

Далее будем считать аргумент функции Бесселя вещественным числом х. Правило дифференцирования функций Бесселя определяется следующим ре-

121

куррентным соотношением:

d J x

J 1 x J 1 x

. В

частности, при

с учётом того, что J 1 x J1 x , получим:

d J0

J1 x .

0.4

I1(x)

I2(x)

I3(x)

I4(x)

I (x)

0.3

0.2

0.1

I9(x)

I10(x)

40

		I0(x)
30		I1(x)
		I1(x)
		I2(x)
		I2(x)
		I3(x)
		I3(x)
20		I4(x)
20		I4(x)
		I5(x)

I6(x)

	0	1	2	3	4	5	6

				Рис. 6.10
Три соседних по значку функций Бесселя связаны соотношением
			J 1 x J 1 x		2 J x	.	(6.16)
			J 1 x J 1 x		x	.	(6.16)
					x

122

Аналогичные формулы справедливы и для модифицированных функций Бесселя:

d I x	I 1 x I 1 x	; I 1 x I 1 x	2	I x .
dx	2		x

Из определения (6.15), учитывая поведение гамма-функции при отри-

цательных целых значениях аргумента, нетрудно показать, что I n(x) = In(x)

и, следовательно, d I0 x I1 x . dx

При полуцелом значке n 1 2, где n – целое число, функции Бесселя выражаются через элементарные функции, так как выполняются соотно-

шения J	x	2	sin x и J	1 2	x	2	cos x , что позволяет с помощью

1 2		x				x

рекуррентного соотношения (6.16) определить J3 2 x , и так далее.

Общие выражения для функций Бесселя полуцелого значка имеют вид

1 d n

1 d

Jn 1 2 x

In 1 2 x

cos x и

ch x , где сим-

x dx

1 d

вол

означает п-кратное дифференцирование стоящего за ним выра-

x dx

жения с умножением результата на 1 x после каждого дифференцирования. Последующее дифференцирование проводится с учетом этого множи-

теля. Например,

1 d 2

1 d sin x

sin x

J3 2 x

cos x

cos x .

x dx

Приведенные выражения еще раз подчеркивают осциллирующий и слабозатухающий характер поведения функций Бесселя.

При изучении асимптотического поведения функции Бесселя рассматривают разные сценарии поведения аргумента z и значка v. Наиболее интересным и простым является случай, когда v фиксировано, а z . В этом

случае первое приближение для J (x) имеет вид

J (x)		2		cos(x / 2 / 4) ,
			x
x

и, соответственно, I (x)	e x		.

	2 x
x

123

Особенностью функций Бесселя является увеличение с ростом v промежутка [0, b), на котором функция Бесселя близка к нулю.

Важную роль в изучении функций Бесселя играют производящие функ-

	t			1
ции. Так, например, если разложить функцию	exp		z		комплексной

		2		z

переменной z и вещественной t в ряд Лорана в окрестности существенно

Полагая z e j и записывая условия равенства комплексных чисел,

получим два важных для практики разложения:
exp t e j e j		2 e jt sin cos(t sin ) j sin(t sin )

		J n (t)(cos n j sin n )
		n
откуда следует, что

cos(t sin )	J n (t) cos n ; sin(t sin )		J n (t)sin n .	(6.17)
	n		n

Пользуясь тем, что J n (t) ( 1)Jn (t) и учитывая четность косинуса и нечетность синуса, эти выражения можно записать в виде


cos(t sin ) J 0 (t) 2 J 2n (t) cos 2n ; sin(t sin ) 2 J 2n 1(t) sin(2n 1) .
n 1	n 1
Если заменить в этих выражениях	на / 2 , то получим

cos(t cos ) J0 (t) 2 J 2n (t) cos 2n ; sin(t cos ) 2 J 2n 1(t) cos(2n 1) .
n 1	n 1
Эти разложения носят имя Якоби, впервые их получившего.
Умножая левую и правую части первого равенства (6.17) на cos n , а
вторую на sin n и интегрируя от 0 до , получим:
	Jn (t) при четном n;

cos(t sin ) cos n d
0	0 при нечетном n;

	0 при четном n;

sin(t sin ) sin n d
0	Jn (t) при нечетном n.

Складывая эти равенства, находим, что при любом п:

124

cos(t sin n )d J n (t) .

Этот интеграл, который можно рассматривать как интегральное представление функции Бесселя с целым значком, называется интегралом Бесселя. При п = 0 интеграл Бесселя обращается в интеграл Парсеваля:

	1				2	/ 2
J0 (t)	1	cos(t sin )d			2	cos(t sin )d .
J0 (t)		cos(t sin )d				cos(t sin )d .
		0				0
Для произвольного значка v при условии Re v 1 2 справедлива фор-
мула Пуассона
		t 2 v	2	cos 2v cos t sin d .
Jv (t)		t 2 v

	v 1 2
	v 1 2		2

Убедиться в том, что при v = 0 мы получим интеграл Парсеваля, предлагается читателю самостоятельно.

Для модифицированных функций Бесселя Iv (t) при v 1 2 справедливо интегральное представление Пуассона

		t	2 v	1	1 x v 1 2 ch xt dx .
Iv (t)

	v 1 2
	v 1 2			1
				1

При v = 0 с помощью замены переменной x cos можно получить инте-
гральное представление					R
					R
		1		r1
I0	(t)	1	exp t cos d .	r1
I0	(t)		exp t cos d .
			0
Во многих задачах оказываются полезными тео-					r2
Во многих задачах оказываются полезными тео-
ремы сложения	для		бесселевых (цилиндрических)		Рис. 6.11
функций, простейшей из которых является следующая.					Рис. 6.11
функций, простейшей из которых является следующая.

Пусть r1, r2, R – стороны треугольника, приведенного на рис. 6.11, а и – его углы, лежащие против сторон R и r1 так, что в соответствии с тео-

ремами косинусов и синусов R r12 r22 2r1r2 cos и sin rR1 sin . То-

гда для J0(R) имеет место разложение вида

J0 (R) k J k (r1)J k (r2 ) cos k , k 0

125

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический аппарат радиотехники

#
21.03.20261.29 Mб02.docx
#
21.03.2026802.37 Кб03.docx
#
21.03.20261.12 Mб04.docx
#
21.03.2026670.32 Кб05.docx
#
21.03.20262.03 Mб06.docx
#
21.03.20262.11 Mб0МАРТ_Часть1_Глава6.pdf
#
21.03.20261.76 Mб0МАРТ_Часть1_Главы1_5.pdf
#
21.03.20261.86 Mб0МАРТ_Часть2_Главы1_3.pdf
#
21.03.20261.81 Mб0МАРТ_Часть2_Главы4_8.pdf
#
21.03.20262.53 Mб0Фед_задачник_итог.pdf