МАРТ_Часть1_Глава6

Добавил:

Gigol Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Математический аппарат радиотехники

Файл:

t x ln t dt

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.03.2026

Размер:

2.11 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

вания [a, b] или к левому краю интервала a, . При этом замена интеграла

b	p x0	x x0	2
exp
	2
a


	на
dx	на

	p x0	2
exp	p x0	x x0

		2
		2

dx справедлива

лишь в том случае, когда подынтегральная функция равна нулю вне интервала [a, b]. Очевидно, величина ошибки, связанной с такой заменой, зависит от

положения точки x0 внутри [a, b] и большого параметра p. Чем больше p, тем меньше ошибка за счёт «краевого эффекта».

Для применения метода Лапласа представим Γ(x) в следующем виде:

и сделаем замену переменной t x , после чего вынесем множитель ex ln x за знак интеграла.

После этих преобразований получим:

x e

x ln x

x ln d

В соответствии с методом Лапласа x – большой параметр, ln ,

f 1 ,

поэтому первое приближение для Γ(x) будет иметь вид:

f 0

e x 0 e x ln x ,

x 0

x 1

где τ0 – точка минимума функции φ(τ), определяемая из уравнения

0 ,

0 1.

Вторая производная функции φ(τ) равна

2 , а её значение

в точке τ

равно 1,

поэтому окончательно получим: x

e x ln x x

x x 1 2 e x .

2 x

По-

x 1

грешность

этого представления

не

превышает величины

exp

12x

106

			Асимптотическая формула для
у			факториала имеет вид
у


	n 1 !		nn 1 2 e n .

4		2
	n
	n
			1	1.


2	Ошибка не превышает exp
2	Ошибка не превышает exp
			12n
			12n

			Через гамма-функцию может
0			быть выражен обширный класс опре-


			делённых интегралов. Для приложе-



–2			ний особый интерес представляет ин-
–2
			теграл вида
			теграл вида
		1		x 1	1 t	y 1	dt ,


	–4		x, y t
	–4

–4	–2	0	2	4	х
		Рис. 6.3

x > 0, y > 0, называемый Эйлеровым интегралом первого рода, или бета-

функцией. Можно показать, что x, y x y x y .

x, y x y x y

Гамма- и бета-функции широко используются в теории вероятностей, задавая весьма универсальные модели случайных величин, имеющих гамма- и бетараспределения. Функции распределения этих величин описываются с

помощью неполных гамма- и бета-функций ( (x, y) и Bz(x, y) соответственно), определяемых следующим образом:

y		z
x, y e	t t x 1 dt ;	z x, y t x 1 1 t y 1dt .
0		0

Соответствующие функции распределения имеют вид

F y x, y x ; F z z x, y x, y .

В заключение параграфа приведём график гамма-функций (рис. 6.3). Как уже отмечалось, Γ(x) имеет в точках z = 0, –1, –2, –3, … полюса, поэтому гамма-функция Γ(x) имеет в этих точках вертикальные асимптоты с чередованием знаков в полюсах. При положительных целочисленных значениях аргументов x = n гамма-функция совпадает со значением факториала (п – 1)!.

6.3. Интеграл вероятностей и функции, с ним связанные

Интегралом вероятностей называют интеграл вида

107

2 dt ,

k e bt (6.12)

где a и z в общем случае комплексные величины, z – переменная, k и b – константы, выбираемые в зависимости от особенности решаемой задачи. В теории вероятностей под интегралом вероятностей понимают функцию

	1	x	2
x	1	e t	2	2dt , которая является функцией распределения нормаль-


	2
	2

ной случайной величины с нулевым средним значением и единичной дисперсией, называемой стандартной нормальной CB N(0, 1).

Функция Φ(x) является дифференцируемой сколь угодное число раз, её производные обозначаются обычно как φ(k)(x) и образуют ортогональную си-

стему

функций.

Производная

нулевого

порядка

0 x x , а

e x

является плотностью вероятности стандартной нормаль-

ной СВ N(0, 1). Более подробно об этой ортогональной системе речь пойдёт в

разделе,

посвящённом полиномам Эрмита. Кроме интеграла вероятностей

часто используют интегралы вида

erf x

e t 2 dt и

erfc x

e t 2 dt ,


связанные друг с другом соотношением erf x erfc x 1. Каждый из них мо-
жет быть выражен через Φ(x). Например,
x 0.5	1 erf			x .
			2
Графики функций Φ(x) и erf		x приведены на рис. 6.4. Из этих гра-
	2

фиков видно, что табулировать функции Φ(x) и erf 2x нужно лишь для x > 0, так как erf x erf x , а x 1 x . Представление интеграла вероятностей при малых и больших значения аргумента дают соответственно следующие выражения:

			erf x					n		2n 1
1.0	Ф(х)		erf x	2			1		x				,
1.0				n 0				n!	2n 1
				n 0				n!	2n 1
	erf(	2x)	1 erf (x) e x		2						1 3			1 3 5
0.5			1 erf (x) e x			1		1			1 3			1 3 5
			2	2x				2x2			2x	2		2x	2
											2x			2x
0													2			3
0						x 1.
–2.0 –1.0	1.0 2.0			,		x 1.
–2.0 –1.0	1.0 2.0
–0.5			108
			108
–1

...

Рис. 6.4

Пользуясь связью erf(x) и Φ(x) нетрудно получить аналогичные представления и для Φ(x).

Если комплексная переменная z в (6.12) принимает значения на прямой z r j , то после некоторых преобразований и при соответствующих значе-

			x	t 2dt и
ниях	k, a и b		приходим к интегралам Френеля C x cos	t 2dt и
			0	2
			0
S x	x	t 2dt .
S x	sin	t 2dt .
	0	2
	0
	При x = 0		С(0) = S(0) = 0, как интегралы с одинаковыми верхним и

нижним пределами. С помощью теоремы о вычетах можно показать (сделать

самостоятельно), что lim C x	lim	S x	1	.
			2
x	x

Точки экстремумов интегралов Френеля находятся из уравнений:

cos

0 ; sin

0 .

x xэ s

x xэ с

Представление при малых значениях аргумента имеет вид

2k 1

C x

, S x

4k 3 2k

k 0

4k 1 2k !

k 0

1 !

Для больших значений аргумента

1 в качестве первого прибли-

жения можно использовать выражения C x

sin x

и S x

cos x

2 x

Графики интегралов Френеля приведены на рис. 6.5.

Рассмотрим

использование

ин-

тегралов Френеля в задачах радиотех-

0.8

ники

на примере

отыскания

спектра

0.7

импульса с линейной частотной моду-

0.6

ляцией (ЛЧМ-импульса). Такой сиг-

нал был первым предложен для устра-

0.5

нения противоречия между дально-

0.4

стью

действия

радиолокационной

0.3

станции (РЛС) и её разрешающей спо-

0.2

собностью по дальности, которая су-

ществовала при использовании про-

0.1

стых

сигналов,

характеризуемых

со-

109

Рис. 6.5

отношением f и 1, где f – ширина спектра, τи – длительность импульса. Дело в том, что при появлении помех в виде нормального «белого»

τи

шума дальность действия РЛС определяется энергией сигнала E pc t dt ,

равной при постоянной мощности pc t pc E pc и и спектральной плотностью мощности нормального «белого» шума N0 2 .

Если технические возможности повышения pс и уменьшения N0 2 ис-

черпаны, то для роста E остается увеличивать τи, что в соответствии с соотношением f τи 1 ведёт к уменьшению f, а это ухудшает разрешающую способность РЛС по дальности, то есть способность раздельно воспринимать две или более близко расположенных цели. Поэтому возникла необходимость в разработке таких сигналов, у которых можно было бы независимо изменять длительность и ширину спектра и, тем самым, получать большие значения произведения fτи B , называемого базой сигнала.

cos t t

2 ,

T 2

Рассмотрим сигнал вида s t

и запишем выражение для его спектра

T 2

cos 0t t

2 e

j t

dt ,

s um

где 0 – центральная частота, μ – крутизна модуляционной характеристики (скорость изменения частоты).

После некоторых преобразований выражение для спектра, соответствующее положительным частотам, примет вид

j t

exp

dt ,

где

x T

0 ,

0 .

Пользуясь формулой Эйлера и определением интегралов Френеля, получим окончательно


~	um
~	um
s	2	exp
	2

110

Как видно из приведённого выражения, амплитудно-частотный спектр равен

	~	um							2							2	1 2
	~	um							2							2	1 2
	s			C x1 C x2						S x1				S x2			.
	s	2		C x1 C x2						S x1				S x2			.
		2
Фазовый спектр имеет вид
					0	2		S x			S x	2
							arctg		1			2			,
			2				arctg								,
			2					C x			C x		2
									1				2

причём для случаев, интересных для практики, вторым слагаемым можно пренебречь.

Для нашего сигнала девиация частоты W T . Из теории частотной модуляции известно, что когда девиация частоты во много раз превышает ширину спектра модулирующего колебания (у нас это линейно нарастающая функция длительностью T и, следовательно, в первом приближении за ширину спектра модулирующего колебания можно принять 1T W ), ширина

Амплитуда		Фаза



	T f = 13

– 0/2	0	+ 0/2		– 0/2	0	+ 0/2

T f = 52

– 0/2	0	+ 0/2		– 0/2	0	+ 0/2

T f = 130



– 0/2	0	+ 0/2	– 0/2	0	+ 0/2

		Рис. 6.6

спектра ЛЧМ-импульса близка к Wω, его база B T W T 1 и он относится к категории сложных сигналов. На рис. 6.6 приведены заимствованные

111

из [16] графики амплитудно-частотных и фазо-частотных спектров ЛЧМимпульсов при различных значениях базы B.

6.4.Ортогональные многочлены

Сортогональными многочленами мы познакомились в гл. 4, рассматривая разные способы построения базисных систем. Там же была отмечена важная роль классических ортогональных многочленов и указан признак, по которому они выделяются из множества ортогональных многочленов.

Прежде чем более детально заниматься классическими ортогональными многочленами, сформулируем некоторые общие свойства ортогональных полиномов.

1. Любой ортогональный на промежутке [a, b] полином Qn(t) степени n можно представить с помощью степенных моментов весовой функции p(t)

Cn t n p t dt следующим образом:

	C0	C1 ...	Cn
Qn t An	C1	C2 ...	Cn 1
Qn t An	.	. .	.	,
	Cn 1	Cn ...	C2n 1
	1	t ...	t n

где An – нормировочная константа.

2. Любые три последовательных по номеру ортогональных полинома Qn–1(t), Qn(t), Qn+1(t) связаны между собой линейным соотношением

n 1

t Qn t

Qn 1

Qn t

Qn 1 t ,

an 1

Qn 1

an 1

где an+i и bn+i –

коэффициенты

при старших

степенях полиномов

Qn+i(t) = an+i t n+i + an+i t n+i–1 + …,

t p t dt – квад-

i 0 i ;

рат нормы полинома Qn(t) по весу p(t).

3. Важным для приложений является свойство нулей ортогональных полиномов, которое можно сформулировать следующим образом:

–все нули полинома Qn(t) вещественные и простые,

–все они находятся на промежутке a, b ,

112

– нули соседних по номеру ортогональных полиномов перемежаются. Из этих свойств вытекает, что ортогональные полиномы не могут об-

ращаться в нуль на концах отрезков a, b .

Если ортогональные полиномы рассматриваются на симметричном промежутке a, a , конечном или бесконечном, и весовая функция является

чётной функцией, то Qn t 1 n Qn t , т. е. полиномы с чётными номерами являются чётными функциями, а c нечётными – нечётными функциями.

Познакомимся теперь более подробно со свойствами классических ортогональных полиномов.

В гл. 4 было указано, что классическими называются ортогональные на промежутке a, b полиномы, весовая функция которых удовлетворяет урав-

нению dxd x p x x p x , где σ(x) и τ(x) – полиномы степени не выше второй и первой соответственно.

Выполняя дифференцирование, уравнение для весовой функции p(x)

можно записать в виде

dp x x x p x , dx x

что с учётом сказанного относительно σ(x) и τ(x) делает это уравнение совпадающим с уравнением Пирсона, решение которого (кривые Пирсона) порождает большинство используемых на практике плотностей вероятностей. Более подробно о распределениях пирсоновского типа мы поговорим в разделе, посвященном случайным процессам.

Среди всех ортогональных полиномов только у классических ортогональных полиномов производные также являются классическими ортого-

нальными полиномами с весом p t m t p t , где m – порядок производной, σ(t) – полином степени не выше второй, зависящей от интервала ортогональности и определённый в табл. 4.1. Например, полиномы Лежандра и Чебышева при дифференцировании превратятся в полиномы Якоби, а полиномы Эрмита таковыми и останутся, так как для них t 1.

Классические ортогональные полиномы удовлетворяют линейному дифференциальному уравнению второго порядка, часто встречающемуся в задачах математической физики и имеющему вид

t Qn t t Qn t n Qn t 0 .

113

Для записи классических ортогональных многочленов удобно использовать обобщённую формулу Родрига, в соответствии с которой

Q	t A	1 d n	n t p t ,

n	n p t dt n

где An – нормировочная константа.

При изучении специальных функций часто оказываются полезными производящие функции – функции двух переменных, которые, будучи разложены в степенной ряд по одной переменной, породят (произведут) в качестве коэффициентов ряда соответствующую систему функций. Так, для полиномов Лежандра обычно используемая производящая функция имеет вид

1
1			Pn t xn ,


	1 2tx x2
	1 2tx x2		n 0
причём ряд сходится при	x	1.
причём ряд сходится при	x	1.

Производящая функция может быть использована для определения значений Pn(t) в наиболее характерных точках 0, 1 при любых t. Так, при t = 1

xn ; Pn(1) = 1.

2x x

n 0

Аналогично

1 n xn

и Pn(–1) = (–1)n.

2x x

Если t = 0, то используя ряд Маклорена для функции 1

1 x2 полу-

чим: P

0 0

, P

1 n 2n !

2n 1

22n

n! 2

Для полиномов Чебышева первого рода Tn(t) производящая функция

определяется как

1 x2

T0 t 2

Tn t

xn ,

1 2tx x2

n 1

а для полиномов Эрмита

e2xt x2

Hn t

n 0

Полагая t = 0 и учитывая, что e x2

H2n 1 0 0 ,

1 n

, получим

n 0

H2n 0 1 n 2n ! .

114

Для полиномов, заданных на промежутке 1, 1 , удобным бывает переход к новой переменной θ по формуле t cos , 0, . В частности, для чебышевских полиномов первого рода это даёт запись, часто используемую, как определение Tn cos cos n . Эта запись определяет полином Чебышева первого рода как соответствующий тригонометрический многочлен. С помощью этого выражения легко проверяется ортогональность и вычисляется норма полинома Чебышева Tn(t).

	1	T	t	T t
Вычислим	интеграл	k		l	dt с помощью замены переменной

			1	t 2
	1		1	t 2
	как T cos cos k ,				T cos cos l ,
t cos . Так	как T cos cos k ,				T cos cos l ,	1 t 2 sin и
	k				l

dt sin d , то

Tk t Tl t		0, k l;


	dt cos k cos l dt 2 , k l 0;

1 t 2
1 t 2	0		0.
		, k l	0.

Часто вместо полиномов Tn(t)				рассматривают полиномы
~		1
Tn t			Tn t , обладающие тем свойством,	что среди всех полиномов
Tn t	2	n 1	Tn t , обладающие тем свойством,	что среди всех полиномов

степени не выше n с единичным старшим коэффициентом полиномы ~n

T t

меньше всех отклоняются от нуля на промежутке 1, 1 . Величина этого от-

	~	1
	~	1
клонения равна	Tn t		.
клонения равна	Tn t	2n 1	.
		2n 1

Полиномы Чебышева широко используются в задачах синтеза полосовых фильтров, дав этим фильтрам имя чебышевских.

На рис. 6.7, а приведены графики нескольких первых полиномов Лежандра, а на рис. 6.7, б построены графики полиномов Чебышева первого рода.

Для представления функций на полубесконечном промежутке [0, ) или на всей оси используются обобщённые полиномы Лагерра или Эрмита

Ln t или Hn(t) соответственно.

Формулы Родрига для них имеют вид

L t et

d n

e t t n

n! dt n

t 1 n et 2

t 2

, n 0, 1, 2, .... Для функций, принадлежащих L [0, )

dt n

115

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический аппарат радиотехники

#
21.03.20261.29 Mб02.docx
#
21.03.2026802.37 Кб03.docx
#
21.03.20261.12 Mб04.docx
#
21.03.2026670.32 Кб05.docx
#
21.03.20262.03 Mб06.docx
#
21.03.20262.11 Mб0МАРТ_Часть1_Глава6.pdf
#
21.03.20261.76 Mб0МАРТ_Часть1_Главы1_5.pdf
#
21.03.20261.86 Mб0МАРТ_Часть2_Главы1_3.pdf
#
21.03.20261.81 Mб0МАРТ_Часть2_Главы4_8.pdf
#
21.03.20262.53 Mб0Фед_задачник_итог.pdf