Практика / Бронников,0182,ИДЗ3

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)

Кафедра МиТ

отчет

по индивидуальному домашнему заданию №3

по дисциплине «Основы электроники и радиоматериалы» Вариант 2-10-8

Студенты гр. 0182		Бронников Д.Д.
Преподаватель		Фантиков В.С.

Санкт-Петербург

2022

Задание 3 – «Рассчитать и построить зависимости средней длины свободного пробега, времени релаксации и электропроводности от температуры для металла в диапазоне температур (0,1-10) T_D. Оценить степень дефектности металла по заданной величине удельного сопротивления.»

1. Рассчитать и построить зависимости средней длины свободного пробега, времени релаксации и электропроводности от температуры для металла в диапазоне температур (0,1- 10)*Т_D.

1. Исследование температурной зависимости длины свободного пробега 𝜆(𝑇)

Рассеяние электронов на фононах по-разному зависит от температуры. При высоких температурах T >> T_D процесс рассеяния носит упругий характер, и средняя длина свободного пробега λ(T) определяется простой приближенной формулой:

(1)

При T << T_D характер рассеяния становится неупругим и λ(T) имеет вид:

(2)

где: T_D — температура Дебая (K) (360 для Cr);

Т — температура (K);

Т_ПЛ — температура плавления (К) (2130);

а — параметр решетки (м) (Постоянная решетки – 2,88*10^-10).

Соотношения (1) и (2) позволяют приближенно оценить длину свободного пробега, определяемую рассеянием электронов на тепловых колебаниях решетки (фононах). На графике 1 представлены зависимости λ1(T) и λ2(T), рассчитанные по формулам (1) и (2) соответственно для Cr. Синим цветом выделена, результирующая зависимость λ(T).

На графиках 2, 3, 4 изображены зависимости в характерных точках.

График 1- Длина свободного пробега при T_D

График 2- Длина свободного пробега при 0.1T_D

График 3- Длина свободного пробега при 10T_D

График 4- Длина свободного пробега при Т_ПЛ

2. Рассчитаем значения свободного пробега λ(T) для температур 0,1𝑇_𝐷, 𝑇_𝐷, 10𝑇_𝐷 и 𝑇_ПЛ:

Иллюстрация 1 работы MathCad

Вывод: Длина свободного пробега уменьшается с увеличением температуры. При температуре больше температуры Дебая скорость изменения длины свободного пробега уменьшается медленнее, чем при температуре меньше температуры Дебая.

2. Исследование зависимости времени релаксации от температуры 𝜏(𝑇)

Результирующее время релаксации τΣ при учете обоих механизмов рассеяния определяется правилом Маттиссена:

где - время релаксации для электрон-фононного рассеяния;

где - скорость электронов на поверхности Ферми;

𝜏𝑑 – время релаксации для рассеяния на дефектах.

1. Оценим вклад механизма рассеяния на дефектах структуры. Проведем сравнение времени свободного пробега электронов в чистом металле и при T = 273 К с результирующим временем релаксации τΣ(273).

1. Процесс рассеяния τΣ(Т)

Рассчитаем время свободного пробега электрона:

где 𝑚“ - эффективная масса электрона 9,1*10^-31(кг);

𝜌 - удельное сопротивление при 0˚С: 1,29*10^-8 (Ом*м);

e - заряд электрона −1,6⋅10⁻¹⁹ (Кл);

n — концентрация носителей заряда 5.0235*10²⁹ (м^-3).

Определим степень дефектности:

2. Чистый металл τΣ(273)= τ_f (273)

Определяем λ(273)= 3.397*10^-7м и время свободного пробега электрона в чистом металле τ_f (273)= 1.193*10^-13с:

Из сравнения значений τ_Σ(Т) и τ_f(273) делаем вывод, что процесс рассеяния на дефектах структуры является преобладающим механизмом, так как он имеет на порядок меньшее значение.

2. Рассчитаем значения времени релаксации τΣ при различных Nдеф (10¹² и 10¹⁵) для температур 0,1𝑇_𝐷, 𝑇_𝐷, 10𝑇_𝐷 и 𝑇_ПЛ.

Для Nдеф =10¹²:

Для Nдеф =10¹⁵:

Иллюстрация 2 работы MathCad

Построим графики зависимости времени релаксации τ_Σ от температур 0,1𝑇_𝐷, 𝑇_𝐷, 10𝑇_𝐷 и 𝑇_ПЛ.

График 5 - время релаксации при 0,1𝑇_𝐷

График 6 - время релаксации при 𝑇_𝐷

Масштаб изменился

График 7 - время релаксации при 10𝑇_𝐷

График 8 - время релаксации при 𝑇_ПЛ

Вывод: Время релаксации при рассеянии электронов на дефектах структуры в металле τd не зависит от температуры. Поэтому по мере приближения температуры к абсолютному нулю сопротивление реальных металлов стремится к некоторому постоянному значению, называемому остаточным сопротивлением. Наиболее существенный вклад в остаточное сопротивление вносит рассеяние на примесях, которые всегда присутствуют в реальном проводнике либо в виде загрязнения, либо в виде легирующего элемента. Результирующее время релаксации при учете механизмов рассеяния электронов на фононах и рассеяния электронов на дефектах определяется правилом Маттиссена (при увеличении температуры происходит изменение графика).

3. Исследовать зависимость электропроводности металла от температуры 𝜎(𝑇)

Электропроводность металла при заданной концентрации электронов 𝑛0 с эффективной массой m" определяется выражением:

где: e — заряд электрона (Кл);

𝑛0 — концентрация носителей заряда 5.0235*10²⁹(м^-3);

𝜏Σ (c)- результирующее время релаксации при температурах 0,1𝑇𝐷, 𝑇𝐷, 10𝑇𝐷 и 𝑇ПЛ;

𝑚“ - эффективная масса электрона (кг).

Р ассчитаем электропроводность при Nдеф=10¹²(См):

См

См

См

См

Построим зависимости электропроводности в металле 𝜎(𝑇) для температур 0,1𝑇𝐷, 𝑇𝐷, 10𝑇𝐷 и 𝑇ПЛ разных значений концентрации дефектов Nдеф.

1. Nдеф 10¹²

График 9. График 10.

Электропроводность при 0,1𝑇𝐷 Электропроводность при 𝑇𝐷

График 11. Электропроводность при 10𝑇𝐷

График 12. Электропроводность при 10𝑇𝐷

2. Nдеф 10¹⁵ Масштаб изменился

График 13. Электропроводность при 0,1𝑇𝐷	График 14. Электропроводность при 𝑇𝐷
График 15. Электропроводность при 10𝑇𝐷	График 16. Электропроводность при 𝑇ПЛ

Вывод: при концентрации дефектов 10¹², электропроводность тем быстрее испытает падение, чем меньше температура Дебая. А при концентрации 10¹⁵ электропроводность падает постепенно, однако при больших температурах Дебая становиться заметна составляющая, обусловленная релаксацией электронов. Также можно заметить, что электропроводность металлов обратно пропорциональна температуре. Это значит, что с возрастанием температуры электропроводность уменьшается, а с уменьшением температуры - возрастает. При увеличении концентрации дефектов в металле график становиться более пологим.

4. Исследовать зависимость теплопроводности металла от температуры k(𝑇)

Исследование проводим через закон Видемана-Франца, который справедлив при высоких температурах, а также при низких температурах, что рассеяние стационарными дефектами становится преобладающим.

где: k - теплопроводность (Вт/(мКл);

L0 - число Лоренца (Дж/(ККл));

Т - температура (K);

𝜎 - электропроводность металла (Ом^-1∙м^-1);

k0 - постоянная Больцмана;

е - заряд электрона (Кл).

Рассчитаем теплопроводность

Построим зависимости теплопроводности металла 𝑘(𝑇) от температуры при разных значениях электропроводности и сделаем вывод.

1. Nдеф 10¹²

График 17. Теплопроводность при 0,1𝑇𝐷	График 18. Теплопроводность при 𝑇𝐷
Масштаб изменился
График 19. Теплопроводность и при 10𝑇𝐷	График 20. Теплопроводность при 𝑇ПЛ

2. Nдеф 10¹⁵ Масштаб изменился

График 21. Теплопроводность при 0,1𝑇𝐷	График 22. Теплопроводность при 𝑇𝐷
График 23. Теплопроводность и при 10𝑇𝐷	График 24. Теплопроводность при 𝑇ПЛ

Вывод: при концентрации дефектов 10¹⁵ теплопроводность металлов только увеличивается с ростом температуры (при этом изменение температуры Дебая практически не влияет на теплопроводимость). Однако при концентрации 10¹² наблюдается резкое увеличение и такое же резкое падение теплопроводности относительно какой-то температуры (с ростом температуры Дебая этот скачок увеличивается). При увеличении концентрации дефектов в металле график становиться более пологим (при концентрации 10¹⁵ заметен небольшой скачок, аналогичный тому, что сильно заметный при концентрации 10¹²).