Информатика / MathCad / Бронников 0182 ЛР3(MathCad)

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

«ЛЭТИ» ИМ. В.И. УЛЬЯНОВА (ЛЕНИНА)

Кафедра РС

ОТЧЕТ

по лабораторной работе №3

по дисциплине «Информационные технологии»

Тема: MATHCAD. РАБОТА С ФУНКЦИЯМИ, РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ.

Студент гр. 0182 ______________ Бронников Д.Д.

Преподаватель ______________ Маркелова М.А.

Санкт-Петербург

2021

Цель работы

Детальное знакомство с принципами работы с функциями MathCad; знакомство с методами решения уравнений, особенностями аналитических и числовых методов решения уравнений и систем уравнений, реализованных в системе MathCad.

Краткие теоретические сведения

1. Функции в MathCad

В MathCAD формально можно разделить функции на два типа:

• встроенные функции;

• функции, определенные пользователем.

Функции в MathCAD записываются в обычной для математика форме:

<название функции> (<список аргументов>).

2. Вычисление значения функции от ранжированной переменной

Если в качестве аргумента функции указывается ранжированная переменная, то и результат расчета будет вектором, каждый элемент которого – значение функции в точке-элементе ранжированной переменной.

3. Определение матрицы через функцию

Для создания матрицы размера MxN, каждый элемент (i,j) которой есть значение некоторой функции f(x,y) в точке (i,j) используется функция matrix. Формат функции:

matrix (M,N,f)

где M – количество строк матрицы, N – количество столбцов матрицы, f – функция.

4. Решение уравнений

В Mathcad реализовано три подхода к решению уравнений:

1. Использование символьных преобразований (аналитический расчет)

2. Применение численных алгоритмов

3. Графический метод.

5. Аналитическое решение уравнений

Для аналитического решения уравнений в системе Mathcad существует специальный оператор solve.

Ответ оператор solve возвращает овтет в виде выражения, которое вполне можно использовать в дальнейших вычислениях. Если решений имеется несколько, то возвращается содержащий их вектор.

Замечание 1. В алгебре доказано, что аналитические выражения существуют лишь для корней полиномов до пятой степени. Корни будут найдены численным методом в форме чисел с плавающей точкой.

Замечание 2. Рекомендуется воздержаться от символьного решения тригонометрических уравнений напрямую.

6. Численное решение уравнений

Численные методы решения уравнений построены на принципе повторения одного и того же действия, результатом которого является большее или меньшее приближение некоторого промежуточного значения переменной к корню.

Корень уравнения – ближайшее к начальному приближению значение х, обращающее функцию в ноль. Начальное приближение лучше выбирать по графику ближе к значению корня.

Величина погрешности решения регулируется специальной системной переменной TOL (параметр, количественно определяющий условия прекращения итераций). Чем меньше ТОL, тем точнее будет найден корень По умолчанию TOL =10^-3.

 Функция root. Использует итерационный метод секущих.

Форматы функции:

1. Если задан интервал, на котором предположительно локализовано решение:

root(f(x), x, a, b),

где f(x) – функция, определяющая уравнение; х – переменная, относительно которой будет решаться уравнение; a и b – границы интервала локализации.

2. Если определена только одна точка приближения к корню

root(f(x), x),

Функция polyroots. Используется для нахождения всех корней полинома одновременно. Не требует начального приближения. Формат функции:

polyroots(P),

где Р – вектор коэффициентов полинома, начиная со свободного члена.

7. Методы решения систем линейных уравнений.

•  прямые методы (метод Крамера или Гаусса);

•  итеративные методы.

При использовании прямых методов расчет можно вести как численно, так и символьно. Итеративные методы применяются лишь в численных рас- четах.

Решение системы линейных уравнений через обратную матрицу.

Идея решения этим способом основана на представлении системы линейных уравнений в матричной форме АХ=В. В этом случае вектор неизвестных Х может быть найден из соотношения Х=В/А.

Этот способ допустим, если количество уравнений в системе невелико и расчет должен быть произведен только один раз.

Решение систем линейных уравнений с помощью встроенной функции lsolve.

Формат функции: lsolve(M,v), где М — матрица коэффициентов, v — вектор правых частей. Расчет данная функция может вести как численно, так и аналитически.

Упражнение 1. Встроенные и пользовательские функции.

Ниже введенных математических регионов переопределим значение переменной z на 0, а значение переменной k зададим равное 1:

Ответ останется такой же, т.к. переменная z (входящая в функцию) определяется после функции, а значит не влияет на результат.

Упражнение 2. Аналитическое решение уравнений.

Аналитические выражения существуют лишь для корней полиномов до пятой степени:

Упражнение 3. Численное решение уравнений.

Упражнение 4. Решение систем линейных уравнений через обратную матрицу.

Вывод.

Изучив методы решения уравнений, особенности аналитических и числовых методов решения уравнений и систем уравнений, реализованных в системе MathCad, можно сделать выводы:

• MathCad способен решить подавляющее большинство математических задач, которые могут стоять перед студентом технического университета и будущим радиоинженером.

• Аналитическое решение уравнений может применяться во многих изучаемых мной дисциплинах и обладает преимуществами перед численным, но его возможно применить к очень ограниченному количеству примеров.

• Необходимо проверять правильность аналитических решений.

• Решать линейные уравнения проще используя встроенные функции.