Сидашов А.В. Актуализированный курс теор. мех. Учеб. пособ. 2020

5 МЦУ плоской фигуры называется точка Q, связанная с плоской фигурой, ускорение которой в данный момент времени равна нулю: aQ = 0.

6 Способы определения положения МЦУ:

a) Если известны векторы ускорений двух точек плоской фигуры, то для определения положения МЦУ надо прежде определить угол . Для этого следует перенести оба вектора в одну точку (рис. 4.16). Соединяя концы векторов aA и aB, построить вектор aBA. Определяя угол между этим вектором и прямой AB, найдем угол . Затем следует провести из точек A и B лучи, направленные под углом к векторам ускорений этих точек в сторону направления углового ускорения . Точка пересечения Q этих лучей и является МЦУ плоской фигуры.

Q

A

Рис. 4.16. Определение МЦУ по ускорениям двух точек

б) Если известны векторы ускорений двух точек плоской фигуры и они параллельны между собой, то для определения положения МЦУ надо соединить сами точки и концы векторов ускорений этих точек (рис. 4.17, a). Точка пересечения проведенных линий и является МЦУ плоской фигуры.

Рис. 4.17. Определение МЦУ при параллельных ускорениях

81

Если угол прямой (рис. 4.17, б), то = 0, так как tg = / 2. В этом случае плоская фигура S совершает мгновенно поступательное движение, при котором векторы скоростей всех точек фигуры S равны между собой.

Если угол равен нулю (рис. 4.17, в), то векторы ускорений всех точек фигуры S направлены в сторону её МЦУ, т.е. к точке Q.

в) В некоторых случаях положение МЦУ удается указать из общих соображений. Примером может являться равномерное качение колеса по прямолинейной поверхности (рис. 4.18).

Рис. 4.18. МЦУ равномерно катящегося колеса

При таком движении ни направление, ни величина вектора скорости vO оси колеса не изменяется. Это означает, что ускорение оси равно нулю. Следовательно, МЦУ колеса – точка Q совпадает с осью колеса – точкой O

(см. рис. 4.18).

Если колесо катится без проскальзывания, то его МЦС – точка P совпадает (см. рис. 4.18) с точкой контакта колеса и поверхности. В этом случае расстояние от оси колеса до его МЦС постоянно.

Тогда из формулы (3.21) следует, что постоянна и угловая скорость колеса . Последнее означает, что угловое ускорение колеса равно нулю. Следовательно, = 0, так как tg = / 2.

В итоге получается, что при равномерном качении колеса без проскальзывания по прямолинейной поверхности векторы ускорений всех точек колеса направлены в сторону его МЦУ, т.е. к его оси (см. рис. 4.18).

7 Теорема синусов. Отношение синусов всех углов треугольника к длинам сторон, лежащих против этих углов, одинаково.

Это означает, что для ABC выполняется следующее равенство:

sin BAC /BC = sin ABC /AC=sin ACB /AB.

82

Рис. 4.22. Тест 4.4

Ответы: 4.1: 1 = 8/3, 2 = 6,93; 4.2: vA = 1, vB = 1,73, 1 = 5; 4.3: vA = 1, vB = 0,58, 1 = 2.9, 2 = 1,4; 4.4: = 3, vC = 3.

83

Рис. 4.25. Тест 4.7

Ответы: 4.5: = 4, vO = 0,6; 4.6: = 2, vA = 0, vD = 0,4 и vC = 0.69; 4.7:= 0, vA = vB = vC = 0,6, vD = vE = 0,4; 4.8: aA = 2, вниз.

84

A

Рис. 4.29. Тест 4.11

Ответы: 4.9: aB = 25; 4.10: aK = 0; 4.11: aE = 0,8; 4.12: aE = 0,2.

85

Примеры решения тестовых заданий к РГР К3

Тестовое задание 1

Колесо радиусом R = 0,2 м катится без проскальзывания по прямолинейной поверхности (рис. 4.31, a). В некоторый момент времени скорость оси колеса vO = 0,4 м/с, а ускорение его оси, направленное в противоположную сторону, aO = 0,3 м/с2. Определить в этот момент времени скорость vA и ускорение aA самой верхней точки колеса A.

Рис. 4.31. Пример для выполнения тестового задания 1

Решение

1 МЦС колеса K, катящегося без проскальзывания по неподвижной поверхности, находится в точке соприкосновения колеса с поверхностью PK.

Величины скоростей точек плоскопараллельно движущегося тела пропорциональны расстояниям от этих точек до МЦС тела и равны произведению угловой скорости тела на эти расстояния

K = vO/OPK = vO /R = 2, vA = K APK = 0,8.

Так как вектор vO направлен вправо, то колесо вращается вокруг PK по часовой стрелке, значит, вектор vE направлен направо (рис. 4.31, б).

2 Продифференцируем выражение

K = vO/OPK

по времени, учитывая, что расстояние от оси колеса до его МЦС при качении колеса без проскальзывания остается постоянным, получим

d K /dt = d(vO /OPK) /dt = d(vO) /dt /OPK = aO /OPK K = aO / R = 1,5.

3 Колесо движется плоскопараллельно. Определим ускорение aA точки A по теореме об ускорениях точек плоской фигуры:

aA = aO + aAO = aO + a AO + a AO.

86

Вектор осестремительного ускорения a AO точки B за счет вращения вокруг точки A направлен от A к O. Вектор вращательного ускорения a AO точки A за счет вращения вокруг точки O направлен перпендикулярно AO налево (рис. 4.31, в).

Величина осестремительного ускорения точки A равна произведению квадрата угловой скорости K колеса на расстояние от точки A до точки O.

a AO = K2 AO = 0,8.

Величина вращательного ускорения точки A равна произведению углового ускорения K колеса на расстояние от точкиA до точкиO.

a AO = K AO = 0,3.

Введем плоскую прямоугольную декартову систему координат Oxy, направив ось Ox по линии AB (см. рис. 4.31, в). Спроецируем уравнение приведенной теоремы на оси введенной системы координат, получим

aAx = a AO = 0,8; aAy = aO + a AO = 0,6,

откуда находим

aA = (a2Ax + a2Ay )0.5 = 1.

Тестовое задание 2

Равнобедренный треугольник ABC с основанием AC = 0,2 м движется плоскопараллельно. Определить угловую скорость треугольника, скорости vA, vB и vC его вершин и скорости vD, vE и vK середин его сторон точек D, E и K в момент, когда (рис. 4.32, a) скорость точки C направлена перпендикулярно основанию, а скорость вершины B параллельна основанию AC.

Здесь vC = 0,8 м/с, ABC = ACB = . sin = 0,6.

Рис. 4.32. Тестовое задание 2

Решение

1 Строим МЦС треугольника ABC, восстанавливая перпендикуляры из вершин A и C к векторам скоростей этих точек (рис. 4.32, б). МЦС треугольника ABC, движущегося плоскопараллельно, находится в точке K.

87

Величины скоростей точек плоскопараллельно движущегося тела пропорциональны расстояниям от этих точек до МЦС тела и равны произведению угловой скорости тела на эти расстояния:

= vC/KC = 8 с–1.

Так как BK перпендикулярно AC, то AK = KC = AC/2 = 0,1 м, потому что высота равнобедренного треугольника является его медианой. BK = KC tg = 0,075 м.

vB = BK = 0,6 м/с, vA = AK = 0,8 м/с.

KE = AB/2 как срединная линия треугольника ABC. CE = BC/2 по условию, значит, треугольники KEC и ADK также равнобедренные. Тогда KE =

DK = 0,0625 м, так как AB = BC = KC/cos = 0,125 м. Итак, получим

vD = vE = DK2 = 0,5 м/с.

Вектор vC направлен вниз, значит, треугольник ABC вращается вокруг K по часовой стрелке. Векторы скоростей всех точек треугольника направлены перпендикулярно (см. рис. 4.32, б) прямым линиям, соединяющим эти точки с МЦС.

Тестовое задание 3

Кривошип AO вращается равномерно вокруг оси O. Угловая скоростью кривошипа = 4 рад/с. Длина кривошипа AO = 0,2 м. Длина шатуна

AB = 0,3 м.

Определить угловое ускорение шатуна AB и ускорение aB ползуна B, когда кривошип расположен перпендикулярно направляющей ползуна. Если в этом положении угол между кривошипом и шатуном (рис. 4.33) ра-

вен . sin = 0,8.

A

Q

aA

B

Рис. 4.33. Тестовое задание 3

Решение

1 Стержень OA движется вращательно с постоянной угловой скоростью. В этом случае ускорение точки A имеет только нормальную составляющую anA, направленную к оси вращения (точке O). Величина ускорения

88

точки A равна произведению квадрата угловой скорости стержня 1 на расстояние от точки A до оси вращения.

aA = anA = 2 OA = 3,2 м/с2.

2 Вектор скорости точки A направлен перпендикулярно прямой AO. Вектор скорости узла B направлен по касательной к траектории ползуна, т.е. горизонтально по его направляющей. Когда кривошип расположен перпендикулярно направляющей ползуна, эти векторы параллельны, а значит, МЦС шатуна AB находится в бесконечно удаленной точке. Следовательно,

AB = 0.

3 Так как AB = 0, то угол между векторами ускорений точек шатуна и прямыми, соединяющими эти точки с МЦУ шатуна, прямой. Строим МЦУ шатуна Q (см. рис. 4.33), восстанавливая под прямым углом лучи к векторам ускорений точек A и B.

4 Из теоремы об ускорениях точек плоской фигуры

aA = aQ + aAQ = aQ + a AQ + a AQ.

Но aQ = 0 и a AQ = 0, значит,

aA = a AQ = AQ и aB = a BQ = BQ,

откуда находим

=aA /AQ = 13,3 с–2, aB = BQ = 2,4 м/с2,

так как AQ = AB sin = 0,24 м и BQ = AB cos = 0,18 м.

4.2 Условие РГР К5. Определение кинематических характеристик точки при её сложном движении

Прямоугольная пластина вращается вокруг неподвижной оси, либо расположенной перпендикулярно плоскости пластины (рис. 4.34, 4.36, 4.38, 4.40, 4.42), либо лежащей в плоскости пластины (рис. 4.35, 4.37, 4.39, 4.41, 4.43). Положение оси вращения показано на рис. 4.34–4.43.

Уравнение вращательного движения имеет вид

(t) = k1 cos2 1t + k2 sin2 1t.

Направление отсчета угла поворота пластины показано на рис. 4.34–

4.43.

По пластине вдоль направляющей, сделанной в форме окружности радиусом R, движется точка M. Точка C – центр окружности. Точка A – начало отсчета траектории. На рис. 4.34–4.43 показано направление отсчета траектории точки M. Уравнение закона движения точки M имеет вид

s(t) = AM = k3 cos 2t + k4 sin 2t.

89

Размеры радиуса R и значения коэффициентов ki (i = 1,…,4) и i (i = 1, 2), входящих в уравнения закона вращательного движения пластины и закона движения точки M, а также момент времени t1 заданы в табл. 4.5.

Изобразить все кинематические характеристики точки M на рисунке. Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки M в

момент времени t1 .

Варианты рисунков к РГР К5

90