Сидашов А.В. Актуализированный курс теор. мех. Учеб. пособ. 2020

4РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИЕ РАБОТЫ ПО КИНЕМАТИКЕ

К условию расчетно-графических работ К3 и К5 прилагаются рис. 41–

4.10и 4.34–4.43, а также табл. 4.1 и 4.6, содержащие 10 строк дополнительных данных к условию задачи. Нумерация вариантов от 1 до 0 проставлена на рис. 4.1–4.10, 4.34–1.43 и в первом столбце табл. 4.1 и 4.6 дополнительных данных. Варианту 0 соответствует строка 10.

Студент выбирает номер рисунка по предпоследней цифре шифра, а номер дополнительных данных в табл. 4.1 и 4.6 – по последней цифре.

Например, если шифр оканчивается числом 08, то следует выбрать рис. 4.10 (рис. 4.43), соответствующий варианту 0, и дополнительные данные к условию из 8 строки табл. 4.1 (табл. 4.6).

Решение расчетно-графических работ К3 и К5 необходимо, как в примере решения задачи, сопровождать краткими пояснениями и подробно излагать весь ход расчетов.

Работы, не отвечающие перечисленным требованиям, проверяться не будут, а будут возвращаться для переделки.

4.1 Условие РГР К3. Кинематический расчет плоского механизма

Плоский механизм состоит из четырех звеньев и колеса, которое катится по прямолинейной поверхности без проскальзывания (см. рис. 4.1– 4.10). Части механизма соединены между собой шарнирами.

Положение частей плоского механизма определяется углами 1,2, 3, 4 и , заданными в табл. 4.1. Каждый угол k (k = 1, 2, 3, 4) определяет положение соответствующего звена, а угол – положение точки E на ободе колеса. Все углы откладываются от горизонтального луча, проведенного вправо из соответствующего узла.

В заданном положении механизма угловая скорость звена OA постоянна и направлена против часовой стрелки. Величина угловой скорости задана: 1 = 4 с-1.Длины звеньев обозначены следующим образом: L1 = OA, L2 = AB, L3 = DC, L4 = EH. Радиус колеса равен R = 0,2 м.

Размеры звеньев заданы в табл. 4.1.

Для заданного положения механизма определить:

1)положение мгновенных центров скоростей Pk всех звеньев механизма (k = 2, 3, 4) , движущихся плоскопараллельно, и МЦС PK колеса;

2)скорости всех узлов механизма, т.е. точек A, B, C, D, E и H;

3)угловые скорости k звеньев механизма (k = 2, 3, 4) и колеса K;

4)ускорение aB ползуна B;

5)угловое ускорение AB звена AB;

6)положение мгновенного центра ускорения Q звена 2;

7)ускорение aD с помощью МЦУ Q.

71

4.1.1 Пример решения и оформления РГР К3

Плоский механизм (рис. 4.12) состоит из четырех звеньев и колеса, которое катится по прямолинейной поверхности без проскальзывания. Части механизма соединены между собой шарнирами. В заданном положении механизма угловая скорость звена OA постоянна и направлена против часовой стрелки. Величина угловой скорости задана: 1 = 4 с-1. Радиус колеса равен R = 0,2 м.

Рис. 4.12. Схема соединения частей механизма

Для заданного положения механизма определить:

1)положение МЦС Pk всех звеньев механизма (k = 2, 3, 4), движущихся плоскопараллельно, и МЦС PK колеса;

2)скорости всех узлов механизма, т.е. точек A, B, C, D, E и H;

3)угловые скорости k звеньев механизма (k = 2, 3, 4) и колеса K;

4)ускорение aB ползуна B;

5)угловое ускорение AB звена AB;

6)положение МЦУ Q звена 2;

7)ускорение aD с помощью МЦУ Q.

Решение

Часть 1

Таблица 4.2

Исходные данные примера к РГР К3

Расчет скоростных характеристик механизма показан на рис. 4.13.

75

Из теоремы косинусов определим сторону DP2 треугольника BDP2.

DP22 = DB2 + BP22 – 2DB BP2cos ABP2 = 0,233 DP2 = 0,482.

2 = vA /AP2 = 2,58, vB = 2 BP2 = 2,27, vD = 2 DP2 = 1,24.

Так как вектор vA направлен вниз, то звено AB вращается вокруг P2 против часовой стрелки, следовательно, вектор vB направлен влево, а vD – вниз.

3 Стержень DC движется плоскопараллельно. Строим МЦС (точку P3) звена 3, восстанавливая перпендикуляры из узлов C и D к векторам скоростей этих точек (см. рис. 4.13), учитывая, что вектор скорости узла C направлен параллельно направляющей колеса (горизонтально), а вектор скорости точки D направлен перпендикулярно прямой линии, соединяющей точку D

с точкой P2.

Из теоремы косинусов определим (см. рис. 4.13)

cos BP2D = (–DB2 + BP22 + DP22) /(2DP2 BP2) = 0,097.

Следовательно,

BP2D = 84,4 , DCP3 = 0,5 – 3 = 60 , CP3D = BP2D = 84,4 ,

CDP3 = – CP3D – DCP3 = 35,6 .

Из теоремы синусов определим стороны треугольника CDP3

DP3 = CD sin DCP3 /sin CP3D = 0,870,

CP3 = CD sin CDP3 /sin CP3D = 0,585.

3 = vD /DP3 = 1,43, vC = 3 CP3 = 0,835.

Так как вектор vD направлен вниз, то звено DC вращается вокруг P3 против часовой стрелки, значит, вектор vC направлен влево.

4 МЦС колеса, катящегося без проскальзывания по неподвижной опоре, находится в точке соприкосновения колеса с поверхностью: PK = K.

CPKE = ( – 0,5 ) /2 = 15 , PKE = 2Rcos CPKE = 0,386.K = vC /CPK = 4,18, vE = K EPK = 1,61.

Так как вектор vC направлен влево, то колесо вращается вокруг PK против часовой стрелки, значит, вектор vE направлен влево (см. рис. 4.13).

5 Стержень EH движется плоскопараллельно. Строим МЦС звена 4 (точку P4), восстанавливая перпендикуляры из узлов E и H к векторам скоростей этих точек (см. рис. 4.13).

Вектор скорости точки E направлен перпендикулярно прямой EPK. Вектор скорости узла H направлен по касательной к траектории ползуна, т.е. по его направляющей.

77

EP4H = CPKE + 0,5 = 105 , EHP4 = 2 – 4 = 30 HEP4 = 45 .

Из теоремы синусов определим стороны треугольника ABP2.

EP4 = EH sin EHP4 /sin EP4H = 0,828,

HP4 = EH sin HEP4 /sin EP4H = 1,171,

4 = vE /EP4 = 1,948, vH = 4 HP4 = 2,281.

Так как вектор vE направлен влево, то звено EH вращается вокруг P4 против часовой стрелки, значит, вектор vH направлен вверх (см. рис. 4.13).

Часть 2

Определим кинематические характеристики ускорения 2-го звена

(рис. 4.14).

B

D

aA

x

Рис. 4.14. Расчет характеристик ускорения звена AB

Таблица 4.4

Решение части 2 примера к РГР К3

1 Так как стерженьOA вращается с постоянной угловой скоростью, то ускорение точки A имеет только нормальную составляющую anA, направленную к оси вращения. Величина ускорения точки A равна произведению квадрата угловой скорости стержня 1 на расстояние от точки A до оси вращения.

aA = anA = 12L1 = 6,4 м/с2.

78

2 Стержень AB движется плоскопараллельно. Определим ускорение aB точки B по теореме об ускорениях точек плоской фигуры:

aB = aA + aBA = aA + a BA + a BA.

Здесь вектор осестремительного ускорения a BA точки B за счет вращения вокруг точки A направлен от B к A. Вектор вращательного ускорения a BA точки B за счет вращения вокруг точки A направлен перпендикулярно AB. Вектор ускорения узла B направлен по касательной к траектории ползуна, т.е. горизонтально по его направляющей.

Величина осестремительного ускорения точки B равна произведению квадрата угловой скорости 2 стержня AB на расстояние от точки B до точки A

a BA = 22 L2 = 7,96 м/с2.

На рис. 4.14 введем плоскую прямоугольную декартову систему координат Oxy, направив ось Ox по линии AB. Спроецируем уравнение приведенной теоремы на оси введенной системы координат, получим

aB cos 2 = –aA cos BAO + a BA;

–aB sin 2 = aA sin BAO + a BA.

Откуда находим:

aB = (–aAcos BAO + a BA) / cos 2 = 6,873; a BA = –(aB sin 2 +aA sin BAO) = –10,477.

Следовательно, BA = 2 = a BA /BA = 8,731.

Определим угол между векторами ускорений точек звена 2 и прямыми, соединяющими эти точки с МЦУ звена 2: Q.

= arctg( BA/ 22) = arctg(a BA/a BA) = 52,77 .

Строим МЦУ (точку Q) звена 2, проводя лучи из узлов A и B, направленные к векторам ускорений этих точек под углом (см. рис. 4.14).

BAQ = – BAO = 7,8 , ABQ = 2 – = 7,2 AQB = 16,5 .

Из теоремы синусов определим стороны треугольника ABQ.

AQ = AB sin ABQ /sin AQB = 0,621, BQ = AB sin BAQ /sin AQB = 0,878.

Из теоремы косинусов определим сторону DQ треугольника BDQ.

DQ2 = DB2 + BQ2 – 2DB BQ cos ABQ = 0,233 DQ = 0,482.

Величины ускорений точек плоскопараллельно движущегося тела пропорциональны расстояниям от этих точек до МЦУ тела и равны произведению этого расстояния на следующий радикал: ( 24 + 22)0.5 = 10,98.

Следовательно, aD = DQ ( 24 + 22)0.5 = 5,29.

79

Дополнительные вопросы к РГР К3

1 Теорема о скоростях точек плоской фигуры. Скорость любой точки плоской фигуры равна векторной сумме скорости полюса и вращательной скорости фигуры вокруг полюса (оси, проходящей через полюс перпендикулярно плоскости фигуры):

VB = VA + VBA,

где VBA AB, VBA = AB.

2 МЦС плоской фигуры называется точка P (связанная с плоской фигурой), скорость которой в данный момент времени равна нулю: vP = 0.

3 Способы определения положения МЦС (рис. 4.15):

a) Если известны направления векторов скоростей двух точек плоской фигуры, то для определения положения МЦС надо провести из этих точек лучи, направленные перпендикулярно векторам скоростей этих точек. Точка пересечения этих лучей и является МЦС плоской фигуры (рис. 4.15, a).

Рис. 4.15. Способы определения положения МЦС

б) Если известны величины скоростей двух точек, векторы которых параллельны, то для определения положения МЦС надо соединить сами точки и концы векторов скоростей этих точек. Точка пересечения проведенных линий и является МЦС плоской фигуры (рис. 4.15, б).

в) В некоторых случаях положение МЦС удается указать из общих соображений. Примером может являться качение без проскальзывания диска по неподвижной поверхности. Точка контакта K одновременно принадлежит и неподвижной поверхности и катящемуся диску, следовательно, при качении без проскальзывания она постоянно является МЦС диска.

4 Теорема об ускорении точек плоской фигуры. Ускорение любой точки плоской фигуры равно векторной сумме ускорения полюса и ускорения за счет вращения фигуры вокруг полюса (оси, проходящей через полюс перпендикулярно плоскости фигуры)

aB = aA + aBA, где (aM. MQ) = , aM = MQ ( 4 + 2)0.5, tg = / 2.

80