Сидашов А.В. Актуализированный курс теор. мех. Учеб. пособ. 2020

3.2Кинематика твердого тела

Вэтом разделе решаются две задачи кинематики твердого тела.

1 Нахождение уравнений различных видов движения тела и установление кинематических характеристик тела при этих видах его движения.

2 Определение кинематических характеристик любой точки тела в каждом виде его движения, т.е. её скорости и ускорения.

Основное содержание раздела кинематики состоит в изучении различных видов движения твердых тел. В разделе «Кинематика твердого тела» все возможные варианты движения тела делятся на пять видов.

Виды движения твердого тела

1 Поступательное – движение тела, при котором любой его отрезок перемещается параллельно самому себе.

Уравнения поступательного движения тела имеют вид (здесь x, y, z – координаты любой точки твердого тела)

Кинематическими характеристиками тела при поступательном движении являются скорость V и ускорение a этого тела.

2 Вращательное – движение тела, при котором две точки тела (или неразрывно с ним связанные) остаются неподвижны.

Уравнение вращательного движения тела имеет вид (здесь – угол между двумя плоскостями, проходящими через ось вращения тела, одна из которых неподвижна, а другая связана с телом)

Кинематическими характеристиками вращающегося тела являются угловая скорость и угловое ускорение этого тела. Вектор угловой скорости направлен по оси вращения по правилу правого винта. Направление вектора углового ускорения совпадает с направлением вектора угловой скорости, когда вращение тела ускоренное, и противоположно ему, когда вращение замедленное.

3 Плоскопараллельное (плоское) – движение тела, при котором траектории всех точек тела лежат в параллельных плоскостях.

Уравнения плоского движения тела имеют вид (здесь x, y – координаты точки, выбранной за полюс, а – угол поворота вокруг оси, проходящей через этот полюс)

61

Кинематическими характеристиками плоского движения тела являются векторы скорости VA и ускорения aA полюса (точки A), лежащие в плоскости фигуры S, и векторы угловой скорости и углового ускорения , направленные перпендикулярно плоскости фигуры S.

4 Сферическое – движение тела, при котором одна точка тела (или неразрывно с ним связанная) остаётся неподвижна.

Уравнения сферического движения тела имеют вид (здесь , , – углы Эйлера: собственного вращения, прецессии и нутации)

Кинематическими характеристиками вращающегося тела являются векторы угловой скорости и углового ускорения этого тела, проходящие через неподвижную точку. Вектор угловой скорости направлен по мгновенной оси вращения по правилу правого винта. Вектор углового ускорениянаправлен по касательной к годографу вектора .

5 Свободное – ничем не ограниченное движение тела.

Уравнения свободного движения тела имеют вид (здесь x ,y, z – координаты точки, выбранной за полюс, а , , – углы Эйлера)

3.3 Теоремы кинематики твердого тела

Теоремы кинематики решают вторую задачу кинематики тела об определении скорости и ускорения любой точки тела в каждом виде его движения.

Теорема 1. О поступательном движении тела

При поступательном движении тела все его точки движутся по тождественным (совпадающим при наложении) траекториям и имеют одинаковые векторы скорости и ускорения.

Вектор скорости любой точки тела, движущегося поступательно, равен вектору скорости этого тела.

Вектор ускорения любой точки тела, движущегося поступательно, равен вектору ускорения этого тела.

Теорема 2. О вращательной скорости. Формула Эйлера

Вращательная скорость VM точки M вокруг прямой линии (оси вращения) равна векторному произведению вектора угловой скорости вращения радиуса-вектора r, соединяющего любую точку оси вращения с точкой M, на сам радиус-вектор r:

62

Вектор угловой скорости вращения радиуса-вектора r направлен по прямой линии по правилу правого винта (рис. 3.3, a).

Рис. 3.3. Формула Эйлера

Вектор вращательной скорости VM направлен (рис. 3.3, б) по правилу правой руки. Величина вращательной скорости определяется выражением V = h , где h – расстояние от точки M до оси вращения (линии ).

Вектор скорости любой точки тела, движущегося вращательно, равен вращательной скорости, т.е. определяется формулой Эйлера, а именно:

–вектор скорости VM направлен перпендикулярно прямой линии, соединяющей точку M с осью вращения;

–величина скорости VM равна произведению угловой скорости тела на расстояние от точки M до оси вращения:

Теорема 3. О вращательном и осестремительном ускорении. Формула Ривальса

Изменение вращательной скорости по времени характеризуется ускорением, имеющим две составляющие: вращательное ускорение и осестремительное ускорение:

Вращательное ускорение точки M вокруг прямой линии равно векторному произведению вектора углового ускорения вращения радиусавектора r на сам радиус-вектор r:

Вектор вращательного ускорения a направлен по правилу правой руки (рис. 3.4, a).

Величина его определяется выражением a = hE, где hE – расстояние от точки M до линии, по которой направлен вектор .

63

Осестремительное ускорение точки M вокруг прямой линии равно векторному произведению вектора угловой скорости вращения радиусвектора r на вектор его вращательной скорости VM:

Вектор осестремительного ускорения a направлен по правилу правой руки (рис. 3.4, б) к линии .

Величина его определяется выражением a = 2h , где h – расстояние от точки M до линии .

Рис. 3.4. Формула Ривальса

Итак, касательное и нормальное ускорения любой точки вращающегося тела могу быть определены соответственно, как вращательное (3.17) и осестремительное (3.18) ускорения вокруг оси вращения тела.

Теорема 4. О скоростях точек плоской фигуры

Скорость любой точки плоской фигуры равна векторной сумме скорости полюса и вращательной скорости фигуры вокруг полюса (оси, проходящей через полюс перпендикулярно плоскости фигуры).

Вращательная скорость VBA определяется формулой Эйлера (3.16*):

Для того чтобы упростить нахождение скоростей точек плоской фигуры, в качестве полюса следует выбирать МЦС.

Мгновенный центр скоростей (МЦС) – точка P, скорость которой в данный момент времени равна нулю: VP = 0.

Тогда из теоремы 4 (3.20) и формулы Эйлера (3.16а) следует, что вектор скорости VM любой точки плоской фигуры направлен перпендикулярно прямой линии, соединяющей точку M с МЦС, и величина скорости VM равна произведению угловой скорости фигуры на расстояние от точки M до МЦС:

64

Итак, отношение скорости любой точки фигуры S к расстоянию от неё до МЦС есть величина постоянная и равная угловой скорости плоской фигуры S:

Способы определения положения МЦС

Пусть известен вектор скорости VA некоторой точки A плоской фигуры S и направление вектора скорости VD другой точки D фигуры S. В этом случае для определения положения МЦС надо провести из этих точек лучи, направленные перпендикулярно векторам скоростей этих точек. Точка пересечения этих лучей P и является МЦС плоской фигуры S (рис. 3.5, a).

Пусть известны скорости VA и VB (или VA и VE) двух точек A и B (или A и E) плоской фигуры S. Вектора этих скоростей параллельны между собой и перпендикулярны прямой, соединяющей эти точки. В этом случае для определения положения МЦС надо соединить сами точки и концы векторов скоростей этих точек (см. рис. 3.5, a). Точка пересечения проведенных ли-

Рис. 3.5. Определение положения МЦС

Пусть известны векторы скоростей VA и VB (или VA и VE) двух точек A и B (или A и E) плоской фигуры S. Векторы скоростей этих точек параллельны между собой (рис. 3.5, б) и равны (или не перпендикулярны прямой, соединяющей эти точки).

В этом случае МЦС (точка P) плоской фигуры S находится в бесконечно удаленной точке. Из отношения (3.21*) следует, что в этот момент времени угловая скорость плоской фигуры S равна нулю:

= 0.

Из уравнений (3.20) и (3.20*) следует, что в этом случае векторы скоростей всех точек плоской фигуры S равны между собой:

VA = VB = VD = VE= ….

65

В этом случае движение плоской фигуры S может быть названо мгновенно поступательным.

Теорема 5. Об ускорении точек плоской фигуры

Ускорение любой точки плоской фигуры равно векторной сумме ускорения полюса и ускорения за счет вращения фигуры вокруг полюса (оси, проходящей через полюс перпендикулярно плоскости фигуры)

Ускорение за счет вращения фигуры вокруг полюса определяется по формуле Ривальса (3.17) и равно сумме двух составляющих

Для того чтобы упростить нахождение ускорений точек плоской фигуры, в качестве полюса следует выбирать МЦУ.

Мгновенный центр ускорений (МЦУ) – точка Q, ускорение которой в данный момент времени равна нулю: aQ = 0.

Тогда из теоремы 5 (3.22) и формулы Ривальса (3.17) следует, что вектор ускорения aM любой точки плоской фигуры направлен под углом к прямой линии, соединяющей точку M с МЦУ, и величина ускорения aM равна произведению двух сомножителей. Корня квадратного из суммы угловой скорости фигуры в четвертой степени и квадрата углового ускорения и расстояния от точки M до МЦУ:

Итак, отношение ускорения любой точки фигуры S к расстоянию от неё до МЦУ есть величина постоянная и равная корню квадратному из суммы угловой скорости фигуры в четвертой степени и квадрата углового ускорения

Способы определения положения МЦУ

Пусть известны векторы ускорения aA и aB двух точек A и B плоской фигуры S. В этом случае для определения положения МЦУ прежде всего надо определить угол . Для этого вектор ускорения aA перенесем в точку B и построим вектор aAB (рис. 3.6, a). Угол между этим ускорением и прямой AB равен (3.23). Затем проведём из точек A и B лучи, направленные под углом к векторам ускорений этих точек в сторону направления углового ускорения . Точка пересечения этих лучей Q и является МЦУ плоской фигуры S (см. рис. 3.6, a).

66

Скорость любой точки M тела, движущегося сферически, определяется формулой Эйлера (3.16) и равна векторному произведению мгновенной угловой скорости тела на радиус-вектор, соединяющий неподвижную точку тела с точкой M.

Ускорение любой точки M тела, движущегося сферически, определяется формулой Ривальса (3.17) и равно векторной сумме двух составляющих: вращательного (3.18) и осестремительного (3.19) ускорений.

Втеоретической механике задачи об определении скоростей и ускорений точек тела, совершающего сферическое или свободное движение, в общем случае не исследуются.

3.4Сложное движение точки

Вдвух последних разделах кинематики «Сложное движение точки» и «Сложное движение твердого тела» исследуется движение этих объектов относительно движущихся систем отсчета. Вводятся понятия абсолютного, переносного и относительного движения точки. Получены выражения, определяющие кинематические характеристики сложного движения точки.

Основные понятия при сложном движении точки

Если точка M участвует в двух или более движениях, то такое её дви-

жение называется сложным движением.

Примером сложного движения точки M является её движение по телу D, движущемуся относительно неподвижной прямоугольной декартовой системы координат OX1Y1Z1 (рис. 3.7). Другую систему координат OXYZ скрепим с телом D. Точка M движется по телу D относительно подвижной системы координат OXYZ.

Рис. 3.7. Сложное движение точки

Движение точки M относительно неподвижной системы координат называется абсолютным и определяется радиусом-вектором , начало которого совпадает с точкой O1, а конец – с точкой M (рис. 3.7).

68

Скорость точки M относительно неподвижной системы координат называется абсолютной скоростью и обозначается Va. Абсолютное ускоре-

ние aa характеризует изменение абсолютной скорости точки M в её абсолютном движении.

Движение точки M относительно подвижной системы координат OXYZ, связанной с движущимся телом D, называется относительным и определяется радиусом-вектором r, начало которого совпадает с точкой O, а конец – с точкой M (см. рис. 3.7).

Скорость точки M относительно подвижной системы координат (тела

D) называется относительной скоростью и обозначается Vr. Относитель-

ное ускорение ar характеризует изменение относительной скорости точки M в её относительном движении.

Пусть положение осей подвижной системы координат OXYZ определяют орты i, j и k (см. рис. 3.7). Зная координаты x, y, z точки M в этой системе координат, можно введенные характеристики определить выражениями:

r = xi + yj + zk, Vr = Vrxi + Vryj + Vrzk, ar = arxi + aryj + arzk,

где Vrx = dx/dt, Vry = dy/dt, Vrz = dz/dt и arx = d2x/dt2, ary = d2y/dt2, arz = d2z/dt2.

Движение точки M вместе с подвижной системой координат, связанной с движущимся телом D, называется переносным.

Скорость той точки тела D, с которой в данный момент совпадает движущаяся по телу точка M, называется переносной скоростью точки M и обозначается Ve. Ускорение той точки тела D, с которой в данный момент совпадает движущаяся по телу точка M, называется переносным ускорением точки M и обозначается ae.

Теорема 6 (определение скорости точки при сложном движении)

При сложном движении точки её абсолютная скорость равна векторной сумме переносной и относительной скоростей

Теорема 7 (определение ускорения точки при сложном движении)

При сложном движении точки её абсолютное ускорение равно векторной сумме трёх ускорений: переносного, относительного и Кориолиса

Ускорение Кориолиса

Ускорение Кориолиса характеризует изменение вектора относительной скорости точки M в её переносном движении и изменение вектора переносной скорости точки M в её относительном движении.

69

Поясним последнее утверждение на примере равномерного и прямолинейного движения точки M по радиусу диска от его центра, когда сам диск вращается равномерно (рис. 3.8).

aK Vr

Ve M

O

e

Рис. 3.8. Сложное движение точки

В приведенном примере изменение направления вектора относительной скорости точки M происходит за счет вращения диска (ar = 0), т.е. при переносном движении точки. Изменение величины переносной скорости происходит за счет перемещения точки M по диску ( e = 0), т.е., при относительном движении. И то и другое характеризует ускорение Кориолиса.

Вектор ускорения Кориолиса равен удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения точки на линейную скорость её относительного движения

Направление вектора ускорения Кориолиса определяется по правилу правой руки (рис. 3.9).

e

Vr

aK

Рис. 3.9. Направление ускорения Кориолиса

70