Сидашов А.В. Актуализированный курс теор. мех. Учеб. пособ. 2020

51

Ответы: 2.31: 30; 2.32: 5; 2.33: 16; 2.34: 5; 2.35: –24.

52

Ответы: 2.41: –160; 2.42: 100; 2.43: 80; 2.44: –60; 2.45: 160.

53

Примеры решения тестовых заданий к РГР С3

Тестовое задание 1

Однородный шар опирается на две плоскости, пересекающиеся под углом (sin = 0,6). Правая плоскость наклонена к горизонту под углом

(рис. 2.88).

Определить связь между весом шара P и давлением его на плоскости.

Рис. 2.88. Анализ тестового задания 1

Решение

1Шар, находящийся в равновесии, – объект исследования.

2Сила тяжести шара P – активная сила, приложенная в его центре и направленная вертикально вниз.

3Заменим связи (см. рис. 2.88), наложенные на шар, их реакциями.

Силы реакции гладкой опоры NA и NB приложены в точках контакта шара с поверхностями опоры и направлены перпендикулярно им.

4Аналитические условия равновесия плоской системы сходящихся

сил, приложенной к шару, имеют вид FkX = 0, FkY = 0.

5 В подобных тестовых заданиях известно значение только одного из трех параметров, входящих в уравнения равновесия. Для быстрого решения тестового задания здесь при составлении уравнения равновесия следует выбирать ось, направленную перпендикулярно вектору неизвестной силы, определение которой не требуется при решении задачи.

Для определения связи между весом шара P и его давлением NA на левую плоскость в точке A следует проецировать все силы на ось, перпендикулярную силе NB: FkX = NA sin – P sin = 0, откуда NA = P.

Для определения связи между весом шара P и давлением NB на правую плоскость в точке B следует проецировать все силы на ось, перпендикуляр-

ную силе NA: FkY = NB sin – P sin( – 2 ) = 0, откуда NB = 1,6 P.

При определении углов на рис. 2.88 использовалась теорема о равенстве углов с взаимно перпендикулярными сторонами.

54

Тестовое задание 2

К балке ABD (рис. 2.89), состоящей из двух соединенных под прямым углом стержней AK = 0,6 м и BD = 0,8 м, привязана к точке D невесомая нерастяжимая нить, переброшенная через неподвижный блок и составляющая с горизонтом угол (sin = 0,6). К другому концу нити привязан груз P. Трением на блоке пренебрегаем. AK = BK.

В точке A балка закреплена неподвижным шарниром, а в точке B упругим стержнем, наклоненным к горизонту под углом (sin = 0,6).

Определить зависимость между весом груза P и реакциями связей, наложенных на балку, а также между реакциями связей балки.

A4

A5 E

A2

A3 RAY A A1

RAX

Рис. 2.89. Анализ тестового задания 2

Решение

1 Балка, находящаяся в равновесии, – объект исследования.

2 Сила реакция нити, равная весу подвешенного груза P и направленная по линии нити, – активная сила, приложенная к балке.

3 Заменим связи (см. рис. 2.89), наложенные на балку, их реакциями. Сила реакции неподвижного шарнира приложена в точке A и имеет произвольное направление, поэтому изображается двумя своими составляющими RAX и RAY. Сила реакции упругим стержнем SB приложена в точке B и направлена по линии стержня.

4 Аналитические условия равновесия произвольной плоской системы

сил имеют вид: FkX = 0, FkY = 0, MO(Fk) = 0.

5 При составлении уравнений равновесия следует выбирать моментную точку так, чтобы через неё проходили линии действия двух из трех неизвестных сил. Для определения связи между реакцией нити P и силой реакции упругого стержня SB следует выбрать моментной точкой точку A; P и

RAY – A1; P и RAX – A2; SB и RAY – A3; RAY и RAX – A4; SB и RAX – A5:

MA(Fk) = DK P sin – AK P cos – BK SB sin + AK SB cos = 0;

55

MA1(Fk) = – AK P cos – AA1 RAY = 0;

MA2(Fk) = DK P sin – A2K P cos + AA2 RAX = 0;

MA3(Fk) = AK SB cos + AA3 RAY = 0;

MA4(Fk) = – BK SB sin + A4K SB cos + AA4 RAX = 0;

MA5(Fk) = EA5 RAY + AE RAX = 0.

Определим расстояния между точками (см. рис. 2.89).

AA3 = BK = 0,6 м, AA2 = DK = 0,2 м, KA4 = EA4 = EA2 = AA2 = AK/4 = 0,15 м, EA5 = EA4 ctg = 0,2 м.

После этого из полученных уравнений нетрудно определить зависимость между двумя параметрами задачи:

3 P = SB, 12P = –5 RAY, 8 P = 5 RAX, –5 RAY = 4 SB, 15 RAX = 8 SB, –2 RAY = 3 RAX.

56

3 КИНЕМАТИКА

Кинематика (kinematos – движение). В этом разделе исследуется, какое механическое движение могут совершать свободные твердые тела, а также тела, соединенные между собой различным образом, как движутся различные точки этих тел. Кинематика – раздел механики, в котором изучается теория механического движения материальных тел.

Механическое движение – перемещение относительно друг друга тел

впространстве с течением времени.

3.1Кинематика точки

Вэтом разделе кинематики вводятся характеристики механического движения точки:

Расстояние характеризует положение точки относительно другой точки в пространстве. Размерность – метр [м].

Скорость характеризует изменение положения точки относительно другой точки в пространстве с течением времени. Размерность скорости – метр в секунду [м/с].

Ускорение характеризует изменение скорости точки во времени. Размерность ускорения – метр в секунду в квадрате [м/с2].

Определение положения и движения точки

При векторном способе задания движения точки сначала некоторая точка пространства O выбирается за систему отсчета (рис. 3.1, a). Положение любой точки M определяется радиусом-вектором r, начало которого совпадает с точкой O, а конец – с точкой M (см. рис. 3.1, a).

Если известно, как изменяется этот радиус-вектор r во времени, то говорят, что движение точки M задано векторным способом:

Рис. 3.1. Способы задания движения точки

57

Траекторией движущейся точки называется совокупность геометрических положений, которые она занимает в пространстве в процессе своего движения (см. рис. 3.1, a).

Годографом переменного вектора называется совокупность положений, занимаемых концом этого вектора, когда его начало находится в неподвижной точке.

Траектория движущейся точки является годографом её радиуса-вектора. При координатном способе задания движения точки вместо произвольной системы отсчета берется прямоугольная декартовая система координат OXYZ (рис. 3.1, б). Положение любой точки M определяется тремя

скалярными величинами x, y, z, называемыми координатами этой точки. Координаты точки равны расстояниям до координатных плоскостей. Если известно, как изменяются координаты точки во времени, то го-

ворят, что движение точки M задано координатным способом:

При естественном способе задания движения точки задаются:

1)траектория движения точки (рис. 3.1, в);

2)начало отсчета – точка O на траектории;

3)направление отсчета ( );

4)длина дуги траектории s = OM, определяющей положение точки M на траектории.

Если известно, как изменяется длина дуги траектории s во времени, то говорят, что движение точки M задано естественным способом:

Определение скорости точки

Вектор скорости движущейся точки равен первой производной по времени от её радиуса-вектора и направлен по касательной (рис. 3.2, a) к траектории движущейся точки.

Рис. 3.2. Вектор скорости точки

58

Пусть положение осей введенной (рис. 3.2, б) прямоугольной декартовой системы координат OXYZ определяют орты (векторы, модули которых равны единице) i, j и k. Вектор скорости точки в системе координат OXYZ можно представить в виде

V = VX i + VY j + VZ k.

Проекции вектора скорости точки на оси введенной системы координат связаны с координатами точки следующими выражениями:

Проекции вектора скорости движущейся точки равны первым производным по времени от соответствующих координат точки.

При естественном способе задания оказывается, что производная ра- диуса-вектора по длине дуги траектории равна орту касательной – вектору, направленному по касательной, модуль которого равен единице:

Алгебраическая величина скорости точки (V ) равна первой производ-

ной по времени от длины дуги её траектории.

Если V = ds/dt > 0, то вектор скорости точки направлен в сторону положительного отсчета длины дуги траектории и – наоборот (рис. 3.2, в).

Определение ускорения точки

Вектор ускорения движущейся точки равен первой производной по времени от её вектора скорости или второй производной по времени от её радиуса-вектора.

Вектор ускорения точки в системе координат OXYZ можно представить в виде

a = aX i + aY j + aZ k.

Проекции вектора ускорения точки на оси введенной системы координат связаны с координатами точки следующими выражениями:

59

Проекции вектора ускорения движущейся точки равны вторым производным по времени от соответствующих координат.

При естественном способе задания оказывается, что вектор ускорения точки можно представить в виде суммы двух составляющих – касательного и нормального ускорений (см. рис. 3.2, в):

a = a + an.

Касательное ускорение точки характеризует изменение вектора её скорости по величине. Вектор касательного ускорения направлен по касательной к траектории движущейся точки в ту же сторону, что и вектор скорости точки, когда движение точки ускоренное, и в обратную сторону, когда движение замедленное. Величина касательного ускорения равна первой производной по времени от величины скорости точки

Если касательное ускорение точки равно нулю, то точка движется рав-

номерно.

Нормальное ускорение точки характеризует изменение вектора её скорости по направлению. Вектор нормального ускорения направлен по главной нормали к траектории движущейся точки в сторону вогнутости траектории. Величина нормального ускорения равна отношению квадрата скорости точки к радиусу кривизны её траектории

Если нормальное ускорение точки равно нулю, то точка движется пря-

молинейно.

Зная касательное и нормальное ускорение точки, её полное ускорение a можно построить (см. рис. 3.2, в), как диагональ прямоугольника со сторонами, равными a и an.

Величина полного ускорения точки определяется по теореме Пифагора. Полное ускорение точки характеризует изменение вектора скорости

этой точки во времени (и по величине и по направлению).

Классификация движения точки

1 Если a = 0, an = 0, то точка движется равномерно прямолинейно, и её полное ускорение равно нулю: a = 0.

2Если a = 0, an 0, то точка движется равномерно криволинейно, и её полное ускорение равно нормальному ускорению: a = an (3.10).

3Если a 0, an = 0, то точка движется неравномерно прямолинейно,

иеё полное ускорение равно касательному ускорению: a = a (3.9).

4Если a 0, an 0, то точка движется неравномерно криволинейно,

имодуль её полного ускорения определяется по теореме Пифагора.

60