Сидашов А.В. Актуализированный курс теор. мех. Учеб. пособ. 2020

Указания к решению РГР С3

При решении РГР С3 требуется знать:

1 Фермой называется жесткая конструкция, состоящая из прямолинейных стержней, соединенных на концах шарнирами.

2 Места соединения стержней фермы называются узлами. Внешние нагрузки и связи могут быть приложены только в узлах фермы. При этих условиях стержни фермы работают только в режиме растяжения-сжатия (кручение и изгиб стержней исключены).

3 Условие статической определимости фермы

S = 2n – 3.

Здесь S – число стержней, а n – число узлов фермы.

4 Метод вырезания узлов состоит в последовательном выборе объектом исследования каждого узла фермы, составлении аналитических условий равновесия для плоской системы сходящихся сил, действующих на него, и определении усилий в стержнях фермы, являющихся внешними связями соответствующих узлов. Следует начинать с того узла фермы, где сходятся лишь два стержня.

5 Для того чтобы плоская система сходящихся сил находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил этой системы на две координатные оси равнялась нулю.

Fkx = 0, Fky = 0.

6 Метод Риттера состоит в расчленении (мысленном) фермы на две части (содержащие не менее одного стержня) сечением, проходящим через три стержня фермы, и выборе объектом исследования одной из частей.

Форма аналитических условий равновесия для плоской произвольной системы сил, действующей на объект исследования, должна быть выбрана так, чтобы каждое из условий содержало лишь одно из неизвестных усилий в разрезанных стержнях фермы.

Если среди разрезанных стержней нет параллельных, то усилие в каждом стержне определяется из уравнения суммы моментов всех сил относительно точек Риттера.

MOk(Fk) = 0.

Точкой Риттера называется такая точка Ok, в которой пересекаются линии действия двух разрезанных стержней.

Если два разрезанных стержня параллельны, то усилие в третьем стержне определяется из уравнения суммы проекций всех сил на ось, перпендикулярную двум параллельным разрезанным стержням фермы.

42

2.2.1 Пример решения и оформления РГР С3

Плоская ферма, находящаяся в равновесии, закреплена в точке A неподвижным цилиндрическим шарниром, а в точке B – прямолинейным упругим стержнем. Угол наклона стержняBB/ (sin = 0,6) и размеры стержней плоской фермы заданы на рис. 2.54.

К узлам плоской фермы приложены активные три силы. В табл. 2.5 приведены величины этих сил Fk, точки их приложения к плоской ферме и углы k (k = 1, 2, 3) между векторами этих сил и горизонтальными лучами, направленными вправо из их точек приложения (см. рис. 2.43).

Таблица 2.5

Исходные данные примера к РГР С3

Определить реакции внешних связей, наложенных на ферму. Определить усилия в стержнях фермы методом вырезания узлов. Проверить правильность определения усилий в нескольких внутрен-

них стержнях фермы методом Риттера.

0.32 B/

D

Рис. 2.54. Вариант примера РГР С3

Решение РГР С3 состоит из трех частей.

Часть 1. Определение реакций внешних связей, наложенных на ферму.

1 Плоскую ферму (см. рис. 2.54), находящуюся в равновесии, выберем объектом исследования.

2 Заменим связи, наложенные на объект исследования, их реакциями (рис. 2.55).

43

2.1 Реактивная сила RA неподвижного цилиндрического шарнира приложена в точке A и направлена в плоскости произвольным образом. Обозначим проекции силы реакции RA на оси введенной системы координат RAx и

RAy.

Рис. 2.55. Система сил, приложенных к ферме

2.2Реактивная сила SB прямолинейного упругого стержня приложена

вточке B и направлена по линии стержня.

Введём прямоугольную декартову систему координат. Ось x введенной системы координат направим по горизонтали вправо (см. рис. 2.55).

3 Изобразим активные силы Fk, приложенные к ферме (см. рис. 2.55). 4 Составим аналитические условия равновесия для плоской произ-

вольной системы сил, приложенной к ферме:

Fkx = RAx – SB sin – F1 cos – F2 sin + F3 cos = 0;Fky = RAy – SB cos + F1 sin + F2 cos – F3 sin = 0;MA(Fk) = –0,375 F1 sin – 0,24 F2 cos – 0,32 F2 sin + + 0,24 F3 sin – 0,18 F3 cos + 0,24 SB cos = 0.

5 Решая полученную систему уравнений, определим величины неизвестных реактивных сил RAx, RAx и SB:

SB = (0,375 F1 sin + 0,24 F2 cos + 0,32 F2 sin – 0,24 F3 sin + + 0,18 F3 cos )/(0,24 cos ) = 260,625 Н;

RAx = SB sin + F1 cos + F2 sin – F3 cos = 208,375 Н; RAy = SB cos – F1 sin – F2 cos + F3 sin = 148,5 Н.

6 Проверка. Выберем в качестве моментной точки точку К. Убедимся, что сумма моментов всех сил равна нулю.

MK(Fk) = 0,18 RAx + 0,24 RAy – 0,18 SB sin – 0,135 F1 sin –

–0,18 F1 cos – 0,5 F2 sin = 0.

Ответ: RAx = 208,375 Н; RAy = 148,5 Н; SB = 260,625 Н.

44

Знаки плюс при найденных величинах означают, что их направление совпадает с тем, которое показано на рис. 2.55.

Часть 2. Определим усилия в стержнях фермы методом вырезания узлов.

На рис 2.56 пронумеруем стержни фермы арабскими, а узлы – римскими цифрами.

Рис. 2.56. Нумерация стержней и узлов фермы

Убедимся, что условие статической определимости фермы выполня-

ется:

S = 7 = 2n – 3 = 2 5– 3.

Применяя метод вырезания узлов, будем выбирать объектом исследования каждый узел фермы. Обозначим усилия в стержнях фермы буквами Sk и направим эти силы от узлов, считая каждый стержень фермы растянутым.

По условию задачи sin = 0,6, значит, cos = 0,8 и tg = 0,75.

Из рис. 2.55 следует, что tg CKB = 0,135/0,18 = tg BAK = 0,18/0,24

=tg ADB = 0,24/0,32 = 0,75, т.е. CKB = BAK = ADB = .

1Составим аналитические условия равновесия для плоской системы сходящихся сил, приложенных к узлу I (рис. 2.57):

Fkx = –F1 cos + S1 + S2 sin = 0;

Fky= F1 sin + S2 cos = 0.

Решая полученную систему уравнений, определим:

S2 = –F1 tg = –90 Н;

S1 = F1 cos – S2 sin = 150 Н.

45

4 Составим аналитические условия равновесия для плоской системы сходящихся сил, приложенных к узлу IV (рис. 2.60):

Fkx = –F2 sin + S6 sin = 0;

Fky = F2 cos + S6 cos + S7 = 0.

Рис. 2.60. Равновесие узла IV

Решая полученную систему уравнений, определим

S7 = –F2 cos – S6 cos = –293,1 Н.

Отрицательное усилие в стержне означает, что данный стержень сжат.

Часть 3. Проверка правильности определения усилий в нескольких внутренних стержнях фермы методом Риттера.

Разрежем ферму сечением, проходящим через стержни 1, 3 и 4. Выберем объектом исследования левую часть фермы. Усилия в разре-

занных стержнях фермы будем обозначать S̅k (k = 1, 3, 4) и направлять от узла (рис. 2.61), считая каждый стержень фермы растянутым.

Определим (см. рис. 2.61) положение точек Риттера: О1, О3, О4 – точек, где пересекаются линии действия двух из трех разрезанных стержней фермы.

Составим условия равновесия плоской произвольной системы сил, приложенных к объекту исследования, таким образом, чтобы в каждое из уравнений входило усилие лишь одного из разрезанных стержней:

MО1(Fk) = 0,18 S1 –0,135F1 sin – 0,18F1 cos =0.

MО3(Fk)= 0,24S3 + 0,24F3 sin – 0,18F3 cos – 0,375F1 sin =0.

MО4(Fk)= –0,18S4 cos – 0,135F1 sin – 0,18F3 cos =0.

Из полученных уравнений определим усилия в стержнях фермы:

S1 =F1 (0,75sin + cos ) =150 Н, S3 = 0,375F1 sin / 0,24 = 112,5 Н, S4 = –F3 – 0,75F1 tg = –167,5 Н.

47

2.2.2 Тестовые задания к РГР С3

Рис. 2.66. Тест 2.24

Рис. 2.67. Тест 2.25

Ответы: 2.21: 24; 2.22: 20; 2.23: 100; 2.24: 30; 2.25: 40.

49

Рис. 2.72. Тест 2.30

Ответы: 2.26: 15; 2.27: 7; 2.28: 48; 2.29: 200; 2.30: 28.

50