Сидашов А.В. Актуализированный курс теор. мех. Учеб. пособ. 2020

Чтобы упростить нахождение проекции силы на ось, следует поступать следующим образом.

1 Разложить (мысленно) вектор силы на две в плоских (рис. 1.11, б) или на три в пространственных задачах составляющие, направленные параллельно осям системы координат. Возможность разложения следует из аксиомы 3.

2 Знак проекции будет положительным FY = +F2, если направление составляющей совпадает с направлением координатной оси, и, наоборот,

FX = –F1 (см. рис. 1.11, a).

3 Величина проекции будет равна (рис. 1.11, в) произведению величины проецируемой силы, умноженной на косинус прилежащего или синус противолежащего известного угла: F2 = F cos , F1 = F sin .

Определение момента силы относительно точки

Существуют различные способы определенияMA(F)алгебраического момента силы относительно точки.

1 Использование определения величины момента (1.1).

В этом случае прежде надо определить плечо силы относительно моментной точки. Для этого следует провести линию действия силы, т.е. прямую, вдоль которой направлен вектор силы; опустить перпендикуляр из моментной точки на эту линию (рис. 1.12, a); определить длину этого перпендикуляра:

AE = AD + DE, DE = (BC – CD) cos . CD = AD cos . AD = AC/sin ,

AE = AD + (BC – AD cos ) cos = AC sin + BC cos .

Затем, перемножив найденное плечо на величину силы (1.8), найти алгебраическую величину её момента относительно точки.

Эта величина считается положительной, если сила стремится вращать объект исследования против часовой стрелки, и наоборот.

21

Рис. 1.12. Величина момента силы относительно точки

2 Использование теоремы Вариньона (1.5).

В этом случае прежде надо разложить силу на составляющие так, чтобы упростить определение их плеч: F1 = F sin и F2 = F cos . Для этого линии действия составляющих надо выбирать так, чтобы кратчайшее расстояние от моментной точки до этих прямых было задано или легко определялось (рис. 1.12, б). Затем, используя определение величины момента силы относительно точки, найти алгебраические моменты этих составляющих.

Далее из теоремы Вариньона следует, что алгебраический момент равнодействующей относительно заданной точки равен алгебраической сумме моментов её составляющих относительно той же точки.

MA(F) = MA(F1) + MA(F2) = F1 AC + F2 BC = F (AC sin + BC cos ). (1.9)

Определение момента силы относительно оси

Момент силы относительно оси равен алгебраическому моменту проекции вектора силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью.

Если известен угол между линией действия силы F и плоскостью (рис. 1.13), перпендикулярной оси Z, и расстояние h от линии действия FXY проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси Z, и точкой O пересечения оси Z с плоскостью, то величина момента силы относительно оси может быть определена выражением

22

25

26

Рис. 2.12. Определение проекции силы на ось

4 Момент силы относительно точки.

Алгебраическая величина MO(F̅) момента силы F̅ относительно точки O равна произведению модуля силы F на плечо h.

Плечо силы – кратчайшее расстояние от моментной точки до линии действия силы (h1 и h2 на рис. 2.13):

MO1 (F ) Fh1 , MO2 (F ) Fh2 , MO3 (F ) 0 .

Алгебраическая величина MO(F̅) момента силы F̅ относительно точки O положительна, если под действием силы вращение происходит против часовой стрелки и наоборот.

O2

O3

Рис. 2.13. Алгебраическая величина момента силы относительно точки

5 Теорема Вариньона.

Момент равнодействующей относительно любой точки равен алгеб-

раической сумме моментов её составляющих относительно той же точки: Если

R F1 F2 , то MO (R) MO (F1 ) MO (F2 ) ,

MO (R ) a F1 – b F2= a F sin – b F cos ,

так как F1 = F sin , F2 = F cos (рис. 2.14).

28

Рис. 2.14. Определение момента силы с помощью теоремы Вариньона

2.1.1 Пример решения и оформления РГР С1

Ломаная под прямым углом и углом (sin = 0,6) плоская балка AB закреплена в точке A неподвижным цилиндрическим шарниром, а в точке B

–упругим стержнем. Расстояние между точками на балке равно a = 0,5 м.

Кбалке присоединена невесомая нерастяжимая нить, перекинутая через неподвижный блок. К противоположному концу нити привязан груз весом Р.

Балка AB нагружена парой сил с моментом M, равномерно распределённой нагрузкой интенсивностью q и силой F . Равномерно распределённая нагрузка перпендикулярна линии участка приложения и направлена направо.

Определить реакции связей, наложенных на балку при её равновесии, а также моменты силы F, реакции нити T и реакции стержня S относительно точек приложения остальных двух из этих сил.

Решение

1 Плоскую ломаную балку AB, находящуюся в равновесии, выберем объектом исследования (рис. 2.15).

2 Заменим связи, наложенные на ОИ, их реакциями (рис. 2.16).

2.1 Реактивная сила RA неподвижного цилиндрического шарнира приложена в точке A и направлена в плоскости произвольным образом. Обозначим проекции силы реакции RA на оси введенной системы координат RAx

и RAy.

2.2 Реактивная сила SB прямолинейного упругого стержня приложена в точке B и направлена по линии стержня.

29

Рис. 2.15. Вариант примера к РГР С1

RAy

Рис. 2.16. Система сил, приложенных к балке

3 Изобразим активные силы, приложенные к объекту исследования

(см. рис. 2.16).

3.1Момент пары сил M, величина которого приведена в табл. 2.3.

3.2Равнодействующая равномерно распределённой нагрузки – сила Q, величина которой равна произведению интенсивности нагрузки на длину участка приложения: Q = qa. Точка приложения силы Q находится на середине участка приложения AD. Направление силы Q совпадает с направлением нагрузки.

3.3Реакция нити T приложена в точке D, направлена по нити и равна весу груза P, так как нить невесома и нерастяжима, трения на блоке нет.

3.4Величина, направление и точка приложения силы F даны в табл.

2.2.

4 Составим аналитические условия равновесия для плоской произвольной системы сил, приложенной к объекту исследования:

30