Сидашов А.В. Актуализированный курс теор. мех. Учеб. пособ. 2020

Эквивалентными (рис. 1.2) называются такие системы сил, которые оказывают одинаковое механическое воздействие на объект исследования, т.е. их действие по отдельности на один и тот же объект исследования вызывает одинаковое изменение характера механического движения.

Для того чтобы системы сил были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы их главные векторы и главные моменты относительно одинаковых точек (1.2) были равны между собой.

Равнодействующей силой данной системы сил называется сила R, эквивалентная этой системе, т.е. сила, оказывающая на объект исследования такое же механическое воздействие, как и вся система сил (рис. 1.2, б).

Если система сил имеет равнодействующую, то эта равнодействующая равна главному вектору данной системы сил

R = F* = Fk.

Уравновешенной (или эквивалентной нулю) называется такая система сил, которая не оказывает механического воздействия на объект исследования, т.е. не изменяет характер механического движения объекта исследования.

Условия равновесия системы сил. Для того чтобы система сил была уравновешенной, необходимо и достаточно, чтобы её главный вектор и главный момент относительно любой точки были равны нулю:

1.2 Аксиомы статики

Аксиомы статики характеризуют свойства сил и систем сил. Они являются основой для дальнейших исследований особенностей механического взаимодействия материальных тел.

1 Аксиома затвердевания

Если деформируемое тело находится в равновесии, то его равновесие, без изменения системы приложенных сил, не нарушится от наложения на точки тела дополнительных связей, включая превращение деформируемого тела в абсолютно твердое тело.

Эта аксиома не только расширяет область применения теоретической механики при решении различных задач, но и определяет возможность использования одной из основных моделей теоретической механики – модели абсолютно твердого тела.

11

2 Аксиома связей

Всякое механическое взаимодействие между материальными телами или всякую связь, наложенную на объект исследования, можно отбросить и заменить силой или системой сил, являющейся реакцией этой связи.

Эта аксиома устанавливает понятие вектора силы, как количественной меры механического взаимодействия между двумя материальными телами. Фактически весьма сложное реальное явление (механическое взаимодействие) заменяется при исследовании достаточно понятным абстрактным понятием (вектором силы).

3 Аксиома параллелограмма сил

Если точки приложения двух сил совпадают, то их можно заменить одной равнодействующей силой, равной по величине и направлению диагонали параллелограмма, построенного на заданных силах (рис. 1.3, a).

Рис. 1.3. Сложение векторов сил

Точка приложения равнодействующей совпадает с точками приложения заданных сил.

Эта аксиома является фундаментальной аксиомой аналитической геометрии – математического аппарата, созданного для решения различных естественно-научных задач, связанных с явлениями, которые удаётся описать с помощью векторных характеристик.

4 Аксиома о равновесии системы двух сил

Для того чтобы система двух сил была уравновешена, необходимо и достаточно, чтобы величины этих сил были равны, а векторы направлены по одной прямой в разные стороны (рис. 1.3, б).

Эта аксиома является частным случаем предыдущей аксиомы. Но она имеет и самостоятельное «особенное» значение, устанавливая понятие нуля в аналитической геометрии. (Математика древних ацтеков, на основе которой был создан более точный, чем в Европе, календарь, обходилась без понятия нуля.)

12

5 Аксиома добавления-удаления уравновешенной системы сил

Механическое воздействие любой системы сил на объект исследования не изменится, если к ней добавить или отбросить уравновешенную систему сил.

Эта аксиома, как и предыдущая, выполняется только в рамках теоретической механики, когда объект исследования – абсолютно твердое тело. Даже в рамках сопротивления материалов эти аксиомы (4 и 5) не верны, так как подобные системы сил вызывают состояния растяжения-сжатия и не являются уравновешенными.

6 Аксиома о равенстве сил действия и противодействия

Любому механическому воздействию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.

Эта аксиома является предтечей третьего закона Ньютона, выполняющегося (пока ещё не доказано обратного) во всех областях современного естествознания.

Две силы – действия и противодействия не являются уравновешенной системой сил, если объектом исследования выбрано одно из двух взаимодействующих тел, так как эти силы не входят в одну систему сил.

1.3 Теоремы статики

Теоремы статики устанавливают особенности и свойства механического воздействия различных систем сил.

1 Теорема о точке приложения силы

Механическое воздействие силы на объект исследования не изменяется при переносе точки приложения силы вдоль линии её действия.

Эта теорема (рис. 1.4, a) применима только в статике, когда объект исследования не совершает механического движения. В противном случае перемещение точки приложения силы, определяя работу силы, изменяет кинетическую энергию объекта исследования при его движении.

Рис. 1.4. Теоремы 1 и 2

13

2 Теорема о трёх силах

Если объект исследования находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке (рис. 1.4, б).

Использование этой теоремы при решении задач, позволяет упростить их решение в тех случаях, когда удаётся доказать, что на объект исследования действует самая простая – сходящаяся система сил.

3 Теорема Пуансо о параллельном переносе силы

Механическое воздействие силы на объект исследования не изменится при переносе точки приложения (рис. 1.5, a) в любой заданный центр O, если вектор силы переносить параллельно самому себе, а к объекту исследования приложить пару сил с моментом, равным моменту этой силы относительно центра O.

В этой теореме сформулирован и доказан эффективный способ преобразования систем сил, используемый далее при доказательстве других теорем.

Рис. 1.5. Теоремы 3 и 4

4 Основная теорема статики

Не изменяя механическое воздействие произвольной системы сил на объект исследования, её можно привести (рис. 1.5, б) в любой заданный центр и заменить одной силой, равной главному вектору этой системы, и одной парой сил с моментом, равным главному моменту данной системы сил относительно заданного центра приведения.

F* = Fk, MO* = MO(Fk).

Основная теорема статики решает вопрос о том, как можно упростить любую систему сил. Из этой теоремы следует, что механическое воздействие на тело может быть либо толкательным, либо вращательным, либо вкручивающим (динамический винт). Других вариантов нет.

5 Теорема о центре системы параллельных сил

Положение центра параллельных сил определяется по формуле

14

Пусть система параллельных сил имеет равнодействующую и точки приложения всех сил этой системы фиксированы. Оказывается, что при одновременном повороте всех сил вокруг их точек приложения на один и тот же угол линия действия равнодействующей этой системы, поворачиваясь на тот же угол, всё время проходит через одну и ту же точку C. Эта точка C называется центром данной системы параллельных сил.

6 Теорема Вариньона

Если система сил имеет равнодействующую R, то момент этой равнодействующей относительно произвольной точки O равен (1.5) сумме моментов всех сил данной системы относительно той же точки (главному моменту) (рис. 1.6, a).

Использование этой теоремы существенно упрощает определение моментов сил в тех случаях, когда определение плеча силы затруднительно.

Рис. 1.6. Теоремы 6 и 7

7 Теорема о главном моменте системы сил

В общем случае сумма моментов всех сил любой системы сил относительно произвольной точки (главный момент) равна сумме момента динамо и момента силы динамо относительно той же точки (рис. 1.6, б).

Общим случаем механического воздействия на тело является динамический винт, определяемый моментом динамо MD и силой динамо FD, направленными по оси динамо (см. рис. 1.6, б).

Отметим, что теорема Вариньона является частным случаем теоремы 7, когда момент динамо MD равен нулю, т.е., когда система сил имеет равнодействующую, равную силе динамо FD.

15

1.4 Порядок решения задач статики

При исследовании большинства задач статики требуется определить, какое механическое противодействие возникает в связях, наложенных на объект исследования, при заданном механическом воздействии или какое механическое воздействие нужно оказать на объект исследования, чтобы в удерживающих его связях возникло заданное механическое противодействие.

Решение таких задач сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений и производится по единой методике. Последовательность действий в этой методике и называется порядок решения задач статики.

1 Выбор объекта исследования

Прежде всего, в поставленной задаче одно материальное тело или совокупность материальных тел выбирается объектом исследования.

Объект исследования должен соответствовать одной из моделей, используемых в теоретической механике. Такими моделями являются: материальная точка, абсолютно твердое тело или механическая система.

На выбранный объект исследования должно быть оказано механическое воздействие, заданное в условии задачи, и на него должны быть наложены связи, реакции которых требуется определить по условию задачи.

В некоторых научных исследованиях правильный выбор объекта исследования является залогом успеха решения всей проблемы. Даже в простых учебных задачах выбор объекта исследования бывает неочевиден.

2 Изображение активных сил, приложенных к объекту исследования

Активным называется любое механическое воздействие, которое стремится вывести объект исследования из равновесия.

При решении задач теоретической механики большое значение имеет рисунок. На рисунке должны изображаться только те активные силы, которые приложены непосредственно к объекту исследования.

Рис. 1.7. Виды активных сил

16

Например, если объектом исследования в задаче выбрана балка, изображенная на рис. 1.7, a, то при решении задачи активными силами являются реакция нити T, на которой подвешен груз P, и сила давления G груза G. Силы тяжести грузов P и G не изображаются, так как они непосредственно не приложены к балке.

При изображении (см. рис. 1.7, a) сосредоточенных сил необходимо указывать их точки приложения (A), направление ( ) и величину (T).

Активное воздействие может определяться не только сосредоточенной силой, но и системой сил, эквивалентной одному главному моменту (парой сил). В этом случае на рисунке указывается направление вращения и величина M (или F и d) этого момента (рис. 1.7, б).

Активное воздействие (рис. 1.7, в), заданное в форме равномерно распределенной нагрузки интенсивности q (размерность Н/м), эквивалентно сосредоточенной силе Q, величина которой равна произведению интенсивности на длину пролёта приложения нагрузки: Q = q L.

Вектор Q приложен посредине этого пролёта.

3 Замена связей, наложенных на объект исследования, их реакциями

Среди огромного разнообразия различных связей можно выделить несколько видов, обладающих похожими механическими свойствами, т.е. реакции которых одинаковы. Такими связями являются: гладкая опора, упругая и гибкая связь, шарнирные связи и жесткая заделка. Реакции каждого вида связей изображаются следующим образом (рис. 1.8).

Рис. 1.8. Простые виды связей

Гладкой опорой называется модель такой связи, когда объект исследования опирается на другое материальное тело, поверхность которого можно считать идеально гладкой (рис. 1.8, a). Примерами такой связи могут являться пол, стул, стол, стена и т.д.

Реакция гладкой опоры направлена перпендикулярно поверхности опоры или (в случае ребристой опоры) поверхности объекта исследования

(N3).

Реакция гладкой опоры является силой противодействия силы давления на эту опору.

17

Гибкой связью называется модель такой связи, когда объект исследования привязан к другому материальному телу (рис. 1.8, б). Гибкая связь считается невесомой (по сравнению с объектом исследования) и нерастяжимой. Примерами такой связи являются нить, веревка, трос, цепь и т.д.

Реакция гибкой связи направлена по касательной к гибкой связи. Реакция гибкой связи является силой противодействия силе натяже-

ния гибкой связи.

Упругой связью называется модель такой связи, когда объект исследования присоединен к другому материальному телу посредством третьего тела, прикрепленного к обоим телам шарнирами. Упругая связь считается невесомой (по сравнению с объектом исследования) и недеформируемой (рис. 1.8, в). Примерами такой связи являются стержни, бруски, палочки и т.д.

Реакция упругой связи направлена по прямой линии, проходящей через шарнирные соединения. Реакция прямолинейных (T3 и S3) гибко-упру- гих связей направлена по линии самих связей (см. рис. 1.8).

Реакция упругой связи является силой противодействия усилию этой связи, работающей в режимах растяжения-сжатия.

Неподвижным шарниром называется модель (рис. 1.9, a) такой связи, когда объект исследования присоединен к другому неподвижному материальному телу посредством третьего тела, вокруг которого возможен поворот. Примерами неподвижного шарнира являются гвоздь, шуруп, оконные или дверные петли, крепление усика антенны и т.д.

Рис. 1.9. Непростые виды связей

Реакция (RA) неподвижного сферического шарнира имеет произвольное направление в пространстве и изображается в виде трех взаимно перпендикулярных составляющих.

Реакция (RB) неподвижного цилиндрического шарнира расположена в плоскости, перпендикулярной оси шарнира, и изображается в виде двух взаимно перпендикулярных составляющих, расположенных в этой плоскости.

Если тело, к которому объект исследования прикреплен шарниром, может перемещаться, то моделью такой связи является подвижный шарнир. Например, ползун в шатунно-кривошипном механизме.

Реакция (RC) подвижного шарнира направлена перпендикулярно плоскости, по которой перемещается подвижный шарнир (см. рис. 1.9, a).

18

Реакция шарнирных связей является силой противодействия силе давления на эти связи.

Жесткой заделкой называется модель такой связи, когда объект исследования присоединен к другому материальному телу посредством внедрения (рис. 1.9, б), исключающего возможность любого относительного перемещения. Примером такой связи является балка, вмурованная в стену.

Реакция жесткой заделки изображается в виде системы сил, состоящей из главного момента MA, называемого реактивным моментом, и главного вектора, называемого реакцией жесткой заделки. Реакция жесткой заделки имеет произвольное направление и изображается в виде взаимно перпендикулярных составляющих RAX и RAY (см. рис. 1.9, б).

Реакция жесткой заделки и её реактивный момент являются системой сил противодействия любому механическому воздействию на эту связь.

4 Составление аналитических условий равновесия для системы сил, действующих на объект исследования

Вид и число аналитических уравнений равновесия зависит от того, какая система сил приложена к объекту исследования и какими свойствами обладает эта система сил.

Системой сходящихся сил (рис. 1.10, a) называется такая система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке O.

Основное свойство: любая система сходящихся сил имеет равнодействующую, равную векторной сумме всех сил данной системы.

Системой пар сил (рис. 1.10, б) называется система, состоящая из пар сил. Парой сил называется система двух сил, направленных по параллельным линиям в разные стороны и равных по величине.

Основное свойство: главный вектор равен нулю, действие пары сил на тело определяется её главным моментом, называемым моментом пары сил.

Системой параллельных сил (рис. 1.10, в) называется система сил, линии действия которых параллельны между собой.

Основное свойство: главные вектор и момент относительно любой точки у любой системы параллельных сил перпендикулярны.

19

Плоской (произвольной) системой сил называется система сил, линии действия которых лежат в одной плоскости.

Основное свойство: главный вектор и главный момент относительно любой точки в плоскости плоской системы сил перпендикулярны.

Пространственной произвольной системой сил называется система сил с линиями действия, произвольно направленными в пространстве.

Основное свойство: только эта система сил может быть эквивалентна динамическому винту.

Классификация аналитических условий равновесия представлена в табл. 1.1.

5 Решение полученной системы уравнений

По результатам классификации составляется требуемое число уравнений равновесия в форме: 1) суммы проекций сил на оси, 2) суммы моментов сил относительно точки, 3) суммы моментов сил относительно оси.

Для того чтобы задача была разрешима, нужно, чтобы число неизвестных, входящих в систему линейных уравнений, было равно числу уравнений. Если это равенство не наблюдается, то задача не может быть решена методами статики (или при решении допущена ошибка).

Решение системы линейных уравнений, как правило, удается получить путём последовательного определения неизвестных и не представляет труда. Основная сложность решения задач сводится к умению определять проекции сил на оси, моменты сил относительно точек и осей.

Определение проекции сил на ось

Проекция вектора силы на ось равна длине отрезка, заключенного между проекциями начала и конца силы на эту ось (рис. 1.11, a). Проекцию силы можно определить как произведение модуля силы на косинус угла между вектором силы и положительным направлением оси

20