Сидашов А.В. Актуализированный курс теор. мех. Учеб. пособ. 2020
.pdf
T4 |
N4 |
|
|
F4 |
|
2 |
a4 |
|
|
m4g |
|
Рис. 6.49. Груз 4
Учитывая законы Амонтона – Кулона (6.28), определим реакцию нити
T42:
T42 = m4[–a4 + g (sin 2 – f2 cos 2)] = 44,98.
Для шкива 2 (рис. 6.50) воспользуемся теоремой об изменении главного кинетического момента относительно его оси вращения
JO2 2 = –M2 + r2 T24 + R2 T25.
Откуда определим реакцию нити T25:
T25 = [m2 22 2 + M2 – T24 r2] /R2 = 40,08.
|
T25 |
N2 |
|
2 |
M2 |
|
|
m2g |
T24 |
|
Рис. 6.50. Шкив 2
Основное уравнение динамики для груза 3 (рис. 6.51) спроецируем на оси, направленные параллельно и перпендикулярно поверхности, вдоль которой скользит этот груз:
m3 a3 = F – T31 – m3 g sin 1 – F3, 0 = N3 –m3 g cos 1.
151
N3 F
1
T31 F3 m3g
Рис. 6.51. Груз 3
Учитывая законы Амонтона – Кулона (6.28), определим реакцию нити
T31:
T31 = F – m3 [a3 + g (sin 1 + f1 cos 1)] = 28,85.
Для шкива 1 (рис. 6.52) воспользуемся теоремой об изменении главного кинетического момента относительно его оси вращения
JO1 1 = M1 – r1 T15 + R1 T13.
N1 |
T13 |
|
|
T15 |
|
1 |
1 |
m1g |
Рис. 6.52. Шкив 1
Откуда определим реакцию нити T15:
T15 = [T13 R1 + M1 – m1 12 1] /r1 = 86,18.
Для однородного цилиндрического катка 5 (рис. 6.53) теорему о движении центра масс спроецируем на оси, направленные параллельно и перпендикулярно поверхности, вдоль которой скользит этот каток:
m5 aС5 = T51 – T52 – F5,
0 = N5 – m5 g.
152
|
M |
N5 |
|
5 |
|
T52 |
|
|
|
T51 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
F5 |
|
|
|
m5g |
Рис. 6.53. Однородный цилиндрический каток 5
Определим силу сцепления F5 и нормальную реакцию под катком N5:
F5 = T51 – T52 – m5 aС5 = 26,03; N5 = m5 g = 200.
Убедимся в правильности полученного решения.
Воспользуемся теоремой об изменении главного кинетического момента катка относительно оси, проходящей через центр масс однородного цилиндрического катка 5, получим:
JС5 5 = 5 F5 – M5.
Определяем силу сцепления F5 из последнего равенства
F5 = (0,5 aС5 + d g) m5 = 26,03.
Из законов Амонтона – Кулона (6.28), определим минимальный коэффициент трения (КТС) скольжения f5:
F5 f5 N5 f5 ≥ F5 /N5 f5 = 0,130.
Силы натяжения нитей и коэффициент трения приведены в табл. 6.7.
|
|
|
|
|
Таблица 6.7 |
|
Натяжение нитей и минимальный КТС |
|
|||
|
|
|
|
|
|
Силы |
T42 |
T25 |
T31 |
T15 |
f5 |
Пример |
44,98 |
40,08 |
28,85 |
86,18 |
0,130 |
Все результаты решения получены в системе СИ.
Дополнительные вопросы к РГР Д5
1 Число координат, определяющих положение механической системы, зависит от количества точек (или тел), входящих в неё, и от числа и вида наложенных связей. Как было показано ранее, у механических систем
153
с геометрическими (голономными) связями число независимых координат, определяющих положение системы, совпадает с числом степеней свободы.
2 Обобщенными координатами называются независимые между собой параметры любой размерности, число которых равно числу степеней свободы механической системы и которые однозначно определяют её положение.
Обобщенные координаты механической системы, имеющей S степеней свободы, будем обозначать
q1, q2, …, qS.
3 При движении механической системы её обобщенные координаты будут изменяться с течением времени. Уравнения, описывающие эти изме-
нения, представляют собой уравнения движения механической системы в обобщенных координатах
q1 = f1(t), q2 = f2(t), …, qS = fS(t).
4 Производные обобщенных координат по времени называются обобщенными скоростями механической системы
q1 , q2 ,..., qS .
5 Величину Qm называют обобщенной силой, соответствующей обобщенной координате qm. Обобщенная сила Qm равна отношению суммы элементарных работ всех действующих на механическую систему сил на перемещении, вызванном приращением qm, к величине этого перемещения
Qm |
Fk |
rk |
Am . |
||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
k 1 |
qm |
|
qm |
|||
6 Для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы все обобщенные силы, соответствующие выбранным для системы обобщенным координатам, были равны нулю:
Q1a 0 , Q2a 0 ,…, QSa 0 .
7 Уравнения Лагранжа являются наиболее эффективным методом решения обратных задач при исследовании движения сложных механических систем с геометрическими связями или сводящимися к геометрическим (голономным) связям.
d |
T |
|
|
T |
a |
|
|
|
|
|
|
|
Qm . |
|
|
|
||||
|
|
|
|
qm |
||
dt |
qm |
|
|
|||
Здесь T – кинетическая энергия механической системы, выраженная через обобщенные координаты и обобщенные скорости этой системы:
T T (q1 , q2 ,..., qS , q1 , q2 ,..., qS ) .
154
6.2.2 Тестовые задания к РГР Д5
O
a
Рис. 6.54. Тест 6.21
Тест 6.21
С каким ускорением a движется по горизонтальной плоскости тележка, если нить, на которой подвешен груз, отклоняется от вертикали на угол (sin = 0,6)?
O
a
Рис. 6.55. Тест 6.22
Тест 6.22
Какова сила натяжения нити T в тот момент времени, когда при движении тележки с ускорением a нить, на которой подвешен груз, отклонена от вертикали на угол (sin = 0,6)?
Масса груза равна m = 0,8 кг. g = 10 м/с2.
|
|
|
|
|
c |
Тест 6.23 |
||||||
|
|
|
|
Каково удлинение пружины жесткости |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
c = 10 Н/м, к которой прикреплен груз массой |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m = 0,5 кг, опирающийся на гладкую горизон- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тальную поверхность тележки, движущейся с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рис. 6.56. Тест 6.23 |
ускорением a = 2 м/с2 относительно инерциаль- |
|||||||||||
ной системы отсчета? |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a
Рис. 6.57. Тест 6.24
Тест 6.24 Груз не скользит по негладкой поверхно-
сти тележки, наклоненной к горизонту под углом (sin = 0,6), если ускорение тележки
a ≥ amin.
Определить amin, если коэффициент трения скольжения груза по поверхности f = 0,5.
a
Рис. 6.58. Тест 6.25
Тест 6.25 Груз не скользит по негладкой поверхно-
сти тележки, наклоненной к горизонту под углом (sin = 0,6), если ускорение тележки
a ≤ amax.
Определить amax, если коэффициент трения скольжения груза по поверхности f = 0,5.
Ответы: 6.21: a = 0,75 g; 6.22: T = 10; 6.23: = 0,1; 6.24: amin = 2g/11; 6.25: amax = 2g.
155
|
|
Тест 6.26 |
|
|
|
|
|
Два груза массами m1 |
и m2 |
соединены не- |
|
1 |
|
весомыми нитями со ступенчатым диском. Угол |
|||
|
|
наклона негладкой опоры |
(f = 0,5) равен |
||
|
2 |
(sin = 0,6). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определить |
минимальное |
соотношение |
|
Рис. 6.59. Тест 6.26 |
масс грузов m1/m2 |
при равновесии, если 2r = R. |
|||
|
|
Тест 6.27 |
|
|
|
|
|
Два груза массами m1 |
и m2 |
соединены не- |
|
1 |
|
весомыми нитями со ступенчатым диском. Угол |
|||
|
|
наклона негладкой опоры (f = 0,5) равен (sin |
|||
|
2 |
= 0,6). |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Определить максимальное соотношение |
|||
Рис. 6.60. Тест 6.27 |
масс грузов m1/m2 |
при равновесии, если 2r = R. |
|||
|
|
Тест 6.28 |
|
|
|
|
|
Два груза массами m1 |
и m2 |
соединены не- |
|
1 |
|
весомыми нитями со ступенчатым диском. Угол |
|||
|
|
наклона негладкой опоры равен (sin = 0,6). |
|||
|
2 |
Определить минимальный коэффициент |
|||
|
|||||
|
|
трения скольжения f при |
равновесии, если |
||
Рис. 6.61. Тест 6.28 |
2r = R и m1 = 2m2. |
|
|
|
|
|
|
Тест 6.29 |
|
|
|
|
|
Два груза массами m1 |
и m2 |
соединены не- |
|
1 |
|
весомыми нитями со ступенчатым диском. Угол |
|||
|
|
наклона негладкой опоры равен (sin = 0,6). |
|||
|
2 |
Определить минимальный коэффициент |
|||
|
|||||
|
|
трения скольжения f при |
равновесии, если |
||
Рис. 6.62. Тест 6.29 |
2r = R и m1 = 4m2. |
|
|
|
|
|
|
Тест 6.30 |
|
|
|
O |
|
Два груза массами m1 |
и m2 |
соединены не- |
|
C |
|
растяжимыми нитями с невесомым подвижным |
|||
|
блоком и ступенчатым диском. |
|
|||
m1 |
m2 |
|
|||
Определить |
соотношение |
масс грузов |
|||
Рис. 6.63. Тест 6.30 |
m1/m2 при равновесии, если r = 0,1 м, R = 0,2 м. |
||||
|
|
|
|
||
Ответы: 6.26: m1/m2 = 2; 6.27: m1/m2 = 10; 6.28: f = 0,5; 6.29: f = 0,125; |
|||||
6.30: m1/m2 = 1. |
|
|
|
|
|
156
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тест 6.31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Два груза массами m1 = 0,3 кг и m2 = 0,8 кг |
|
|
|
O |
|
|
|
||||
|
|
|||||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
соединены невесомыми и нерастяжимыми ни- |
m1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
m2 |
тями с невесомым ступенчатым диском. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определить a2 ускорение груза 2, если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 6.64. Тест 6.31 |
r = 0,1 м, R = 0,2 м. |
|||||||||
|
||||||||||
1
2
Рис. 6.65. Тест 6.32
Тест 6.32
Два груза массами m1 = 6 кг и m2 = 1 кг соединены нерастяжимыми нитями со ступенчатым (2r = R) диском.
Определить, пренебрегая трением, ускорение a1 груза 1, скользящего по плоскости, наклоненной под углом (sin = 0,6) к горизонту.
1
2
Рис. 6.66. Тест 6.33
Тест 6.33
Два груза массами m1 = 11 кг и m2 = 1 кг соединены нерастяжимыми нитями со ступенчатым (3r = R) диском.
Определить, пренебрегая трением, ускорение a1 груза 1, скользящего по плоскости, наклоненной под углом (sin = 0,6) к горизонту.
1
2
Рис. 6.67. Тест 6.34
Тест 6.34
Два груза массами m1 = 6 кг и m2 = 1 кг соединены нерастяжимыми нитями со ступенчатым (2r = R) диском.
Определить, пренебрегая трением, натяжение нити груза 2, скользящего по плоскости, наклоненной под углом (sin = 0,6) к горизонту.
1
2
Рис. 6.68. Тест 6.35
Тест 6.35
Два груза массами m1 = 11 кг и m2 = 1 кг соединены нерастяжимыми нитями со ступенчатым (3r = R) диском.
Определить, пренебрегая трением, натяжение нити груза 2, скользящего по плоскости, наклоненной под углом (sin = 0,6) к горизонту.
Ответы: 6.31: a2 = 0,1 g; 6.32: a1 = 0,16 g; 6.33: a1 = 0,18 g; 6.34: Т2 = 13,2; 6.35: Т2 = 15,4.
157
Пример решения тестового задания к РГР Д5
Тестовое задание
Два груза массами m1 и m2 соединены нерастяжимыми нитями со ступенчатым (с радиусами r и R) диском (рис. 6.69). Груз 1 скользит по поверхности, наклоненной под углом (sin = 0,6) к горизонту. Коэффициент трения скольжения груза 1 по поверхности равен f.
1
2
Рис. 6.69. Схема движения грузов
Определить состояние механической системы в зависимости от величин заданных параметров.
Решение
1 Выберем объектом исследования неизменяемую механическую систему (см. рис. 6.69). При движении нить не ослабевает, а груз 1 не отрывается от поверхности.
2 Изобразим (рис. 6.70) кинематические характеристики ускорений и возможные перемещения всех тел механической системы.
|
|
a1
s1
s2 
a2
Рис. 6.70. Кинематические характеристики
Ускорения грузов a1 и a2 связаны с угловым ускорением диска следующими равенствами:
a1 = r и a2 = R. |
(6.36) |
Возможные перемещения тел связаны аналогичными равенствами:
s1 = r и s2 = R . |
(6.37) |
158
3 Изобразим (рис. 6.71) все активные силы, приложенные к объекту исследования: силы тяжести грузов m1g и m2g, силу трения F.
F1u |
F2u |
|
|
F m1g |
m2g |
Рис. 6.71. Система сил
К системе активных сил, действующих на объект исследования, добавим (см. рис. 6.71) силы инерции движущихся тел
F1u = a1 m1 и F2u = a2 m2. |
(6.38) |
4 Для выбранного объекта исследования составим уравнение принципа Д Аламбера – Лагранжа (обобщенное уравнение динамики)
m2 g s2 – m1 g s1 sin – F s1 – F1u s1 –F2u s2 = 0. |
(6.39) |
5 Подставим в уравнения (6.39) выражения (6.36–6.38) и получим
(m2 g R –m1 gr sin – F r – (m1 r 2 + m2 R2)) = 0. |
(6.40) |
Так как 0, разделим выражение (6.39) на и определим |
|
= (m2 g R –m1 g r sin – F r) /(m1 r 2 + m2 R2). |
(6.41) |
Откуда следует, что механическая система движется вправо 1) ускоренно, если в (6.40) 0; 2)равномерно или находится в равновесии, если = 0;
3) замедленно до остановки, если в (6.40) 0.
Если механическая система движется влево, то на рис. 6.70 ускорения и возможные перемещения всех тел механической системы надо направить в противоположные стороны, а на рис. 6.71 в противоположные стороны надо направить силы инерции и силу трения.
В этом случае выражение (6.41) примет вид
= (m1 g r sin – m2 g R – F r) /(m1 r2 + m2 R2). |
(6.42) |
Откуда следует, что механическая система движется влево ускоренно, если в (6.41) 0,движется влево равномерно или находится в равновесии, если = 0, движется влево замедленно до остановки, если в (6.41) 0.
Сила трения в (6.41) и (6.42) определяется из закона Амонтона – Ку-
лона.
159
Библиографический список
1 Никитин, Н.Н. Курс теоретической механики : учебник для машиностроит. и приборостроит. спец. вузов / Н.Н. Никитин. – 8-е изд., стер., –
СПб. : Лань, 2016. – 720 с.
2Яблонский, А.А. Курс теоретической механики : учебник /А.А. Яблонский, В.М. Никифорова. – 9-е изд., стер. – СПб. : Лань, 2004. – 768 с.
3Кильчевский, Н.А., Основы теоретической механики / Н.А. Кильчевский, Н.И. Ремизова, Е.Н. Кильчевская − 2 изд. – Киев : Высш. шк., 1986.
4Бать, М.И. Теоретическая механика в примерах и задачах. Т. 1. Статика : учеб. пособие / М.И. Бать, Г.Ю. Джанелидзе, А.С. Кельзон . – 10-е
изд., стер. – СПб : Лань, 2015. – 640 с.
5Бутенин, Н.В. Курс теоретической механики : в 2 т. / Н.В. Бутенин, Я.Л. Лунц, Д.Р. Меркин. – 11-е изд., стер. – СПб. : Лань, 2016. – 736 с.
6Тарг, С.М. Краткий курс теоретической механики : учеб. для втузов
/С.М. Тарг. – 13-е изд. – М. : Высш. шк., 2003. – 416 с.
7Попов, М.В. Теоретическая механика. Краткий курс / М.В. Попов.
– М. : Наука, 1986.
8Мещерский, И.В. Задачи по теоретической механике : учеб. пособие / И.В. Мещерский. – 51-е изд., стер. – СПб. : Лань, 2016. – 448 с.
9Сборник задач для курсовых работ по теоретической механике. / под ред. А.А. Яблонского. – М. : Интеграл-Пресс, 2000. – 378 с.
10Сидашов, А.В. Теоретическая механика : учеб. пособие / А.В. Сидашов, В.П. Шехов, Е.А. Василькова ; ФГБОУ ВО РГУПС. – Ростов н/Д,
2019. – 116 с.
160