Сидашов А.В. Актуализированный курс теор. мех. Учеб. пособ. 2020

–0,5 (m1 + m2) v02 = [m2 g(sin – f cos ) – M / ]s.

После подстановки данных получим

–0,5 0,4 4 = [0,1 10(0,6 – 0,5 0,8) – M /0,1] 0,1 M = 1.

6.2 Условие РГР Д5. Применение принципа Д Аламбера – Лагранжа

при исследовании движения механической системы

Механическая система состоит из ступенчатых шкивов 1 и 2, грузов 3 и 4 и однородного катка 5. Точка C5 – центр масс однородного цилиндрического катка 5 совпадает с его центром. Оси ступенчатых шкивов O1 и O2 закреплены неподвижными цилиндрическими шарнирами. Радиусы инерции ступенчатых шкивов равны 1 = 0,2 м, 2 = 0,15 м. Радиусы ступеней

шкивов R1 = 0,3 м, r1 = 0,1 м и R2 = 0,2 м, r2 = 0,1 м.

Оба груза перемещаются по участкам поверхности, наклоненным под углами 1 (sin 1 = 0,6) и 2 (sin 2 = 0,8) к горизонту (рис. 6.36–6.45). Коэффициенты трения скольжения по участку движения груза 3 f3 = 0,3, по участку движения груза 4 f4 = 0,5. Каток катится без проскальзывания. Коэффициент трения качения по горизонтальному участку движения катка 5 d = 0,08. Тела системы соединены друг с другом невесомыми нерастяжимыми нитями, намотанными на ступени шкивов так, как показано на рис. 6.36– 6.45. Участки нитей параллельны соответствующим плоскостям.

При движении системы к грузу 4 приложена постоянная сила F, направленная вдоль поверхности опоры, а на шкивы 1 и 2 действуют пары сил с постоянными моментами, равные M1 и M2.

Значения масс всех тел системы m1, m2, m3, m4, m5, а также значения моментов M1, M2 и силы F заданы в табл. 6.5.

Определить:

1)ускорения всех тел, входящих в механическую систему;

2)натяжение нитей, соединяющих тела механической системы;

3)минимальный коэффициент трения скольжения f5 между катком и поверхностью, при котором каток катится без проскальзывания.

141

Указания к решению РГР Д5

При решении РГР Д5 требуется знать следующее:

1 Силой инерции Fu движущейся материальной точки M называется вектор, равный по модулю произведению массы этой точки на её ускорение и направленный противоположно этому ускорению:

Fu = ma.

2 Принцип Д Аламбера для материальной точки.

Если к системе сил, действующих на движущуюся точку, в любой момент времени добавить силу инерции этой точки, то полученная система сил будет уравновешена:

Fk + Fu = 0.

3 Принцип возможных перемещений – Лагранжа.

Для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на неё активных сил на любом возможном перемещении была равна нулю:

Aak = 0.

4Идеальными связями называются связи, для которых сумма элементарных работ их реакций на любом возможном перемещении механической системы была равна нулю:

Ark = 0.

5Возможными перемещениями механической системы называется совокупность элементарных перемещений точек механической системы, которые допускаются наложенными на неё связями.

143

Возможные (или виртуальные) перемещения должны быть элементарными (бесконечно малыми), чтобы не нарушать геометрии задачи.

Возможные перемещения материальных точек механической системы и возможные углы поворота твердых тел будем обозначать r, S и , для того чтобы не путать с их действительными перемещениями, обозначаемыми dr, dS и d .

6 Число независимых друг от друга возможных перемещений механической системы называется числом степеней свободы этой системы.

У механических систем с геометрическими связями число независимых координат, определяющих положение системы, равно числу степеней свободы.

7 Принцип Д Аламбера – Лагранжа объединяет в себе оба принципа Д Аламбера и Лагранжа (возможных перемещений). Принцип Д Аламбера дает возможность использовать методы решения задач статики в задачах динамики. Принцип Лагранжа является общим методом решения задач статики. Принцип Д Аламбера – Лагранжа является общим методом решения задач динамики.

Принцип Д Аламбера – Лагранжа

При движении механической системы с идеальными связями в каждый момент времени сумма элементарных работ всех действующих на неё активных сил и сил инерции на любом возможном перемещении будет равна нулю.

Aak + Auk = 0.

8 Число уравнений принципа Д Аламбера – Лагранжа (обобщенных уравнений динамики) равно числу степеней свободы механической системы, т.е. числу её независимых друг от друга возможных перемещений.

9 Элементарная работа постоянной силы на возможном перемещении её точки приложения равна произведению модуля силы на возможное перемещение её точки приложения и на косинус угла между вектором силы и направлением возможного перемещения её точки приложения:

A(F) = F S cos .

10 Элементарная работа пары сил с постоянным моментом равна произведению момента пары сил на возможный угол поворота тела, к которому приложена пара сил:

A(M) = M .

Если пара сил способствует вращению, то её элементарная работа положительна, если препятствует – отрицательна.

11 Если твердое тело движется поступательно, силы инерции точек твердого тела приводятся к равнодействующей, проходящей через центр

144

масс этого тела и равной произведению массы тела на ускорение его центра масс:

Ru = M aC.

12 Если твердое тело вращается, то система сил инерции твердого тела приводится к паре сил с моментом, равным произведению момента инерции тела относительно оси вращения на угловое ускорение тела:

MuCz = JCz .

6.2.1 Пример решения и оформления РГР Д5

Механическая система состоит из ступенчатых шкивов 1 и 2, грузов 3 и 4 и однородного катка 5. Радиусы инерции ступенчатых шкивов равны1 = 0,2 м, 2 = 0,15 м. Радиусы ступеней шкивов – R1 = 0,3 м, r1 = 0,1 м и

R2 = 0,2 м, r2 = 0,1 м.

Оба груза перемещаются по участкам поверхности, наклоненным под углами 1 (sin 1 = 0,6) и 2 (sin 2 = 0,8) к горизонту. Коэффициент трения скольжения по участку движения груза 3 f1 = 0,3, по участку движения груза 4 f2 = 0,5. Каток катится без проскальзывания. Коэффициент трения качения по горизонтальному участку движения катка 5 d = 0,08. Тела системы соединены друг с другом невесомыми нерастяжимыми нитями, намотанными на ступени шкивов. Участки нитей параллельны соответствующим плоскостям.

При движении системы к грузу 4 приложена постоянная сила F, на шкивы 1 и 2 действуют пары сил с постоянными моментами, равными соответственно M1 и M2 (рис. 6.46).

Рис. 6.46. Вариант примера РГР Д5

Определить:

1)ускорения всех тел, входящих в механическую систему;

2)натяжение нитей, соединяющих тела механической системы;

3)минимальный коэффициент трения скольжения f5 между катком и поверхностью, при котором каток катится без проскальзывания.

145

Решение

1 Выберем объектом исследования механическую систему, состоящую из ступенчатых шкивов 1 и 2, грузов 3 и 4 и однородного цилиндрического катка 5, соединенных между собой невесомыми нерастяжимыми нитями (см. рис. 6.46). При движении нити не ослабевают, а тела не отрываются от поверхностей, т.е. механическая система неизменяема. У выбранного объекта исследования одна степень свободы. При исследовании движения неизменяемой механической системы воспользуемся принципом Д Аламбера – Лагранжа.

2 Изобразим (рис. 6.47) кинематические характеристики ускорений всех тел механической системы.

1 1

s42 a4

Рис. 6.47. Кинематические характеристики механической системы

Ускорения поступательно движущихся грузов a3, a4 и центра масс однородного катка aC5 направлены параллельно поверхностям, вдоль которых движутся эти тела. Угловые ускорения шкивов 1, 2 и катка 5 направлены по часовой стрелке.

Выразим ускорения всех тел (см. рис. 6.47) через ускорение центра масс катка aC5:

146

Каток 5 катится по поверхности без проскальзывания, т.е. движется плоскопараллельно. Точка контакта K – МЦС катка. Угловая скорость при плоскопараллельном движении равна отношению скорости любой точки тела к расстоянию от этой точки до МЦС. Расстояние от точки C до МЦС: CK = 5. 5 – радиус колеса. Поэтому угловая скорость катка 5 равна отношению скорости vC5 центра катка к его радиусу качения 5.

5 = vC5 / 5.

Учитывая, что в последнем равенстве 5 не меняется при качении без проскальзывания, и продифференцировав его по времени, получим

Касательное ускорение точки, лежащей на малом радиусе вращающего шкива 1, равно произведению углового ускорения шкива 1 на расстояние (r1) от этой точки до оси вращения O1. Так как касательное ускорение точки, лежащей на малом радиусе шкива 1, равно ускорению aC5 центра катка, то угловое ускорение шкива 1 1 равно отношению ускорения aC5 центра катка к малому радиусу r1 шкива 1.

Ускорение a3 груза 3 равно касательному ускорению точки, лежащей на большом радиусе вращающего шкива 1, которое равно произведению углового ускорения шкива 1 1 на расстояние (R1) от этой точки до оси вращения O1.

Касательное ускорение точки, лежащей на большом радиусе вращающего шкива 2, равно произведению его углового ускорения 2 на расстояние (R2) от этой точки до оси вращения O2. Так как касательное ускорение точки, лежащей на большом радиусе шкива 2, равно ускорению aC5 центра катка, то угловое ускорение шкива 2 2 равно отношению ускорения aC5 центра катка к большому радиусу R2 шкива 2.

Ускорение a4 груза 4 равно касательному ускорению точки, лежащей на малом радиусе вращающего шкива 2, которое равно произведению углового ускорения шкива 2 2 на расстояние (r2) от этой точки до оси вращения

O2.

Будем обозначать s3, s4 и sС5 возможные перемещения грузов 3, 4 и центра масс катка, а 1, 2 и 5 – возможные повороты шкивов 1, 2 и поворот катка при движении неизменяемой механической системы.

147

Выразим возможные перемещения элементов механической системы через возможное перемещение центра масс катка sC5.

Возможные перемещения и возможные углы поворотов движущихся тел пропорциональны соответствующим элементарным перемещениям и углам поворотов, которые, в свою очередь, пропорциональны соответствующим линейным и угловым скоростями, а следовательно, линейным и угловым ускорениям. Поэтому отношения между возможными перемещениями и возможными углами поворотов движущихся тел будут такими же, как и отношения между соответствующими линейными и угловыми ускорениями:

3 Изобразим (рис. 6.48) все активные силы, приложенные к объекту исследования: силу F и моменты M1 и M2, вес шкивов m1g, m2g, вес грузов m3g, m4g и вес однородного катка m5g, реакции поверхностей опоры N3, N4 и N5, силы трения скольжения F3 и F4, силу сцепления F5, момент трения качения M5.

Рис. 6.48. Силы, приложенные к механической системе

Определим силы трения скольжения и момент трения качения из законов Амонтона – Кулона:

Сила трения скольжения равна произведению коэффициента трения скольжения на величину нормальной реакции поверхности скольжения.

148

Момент трения качения равен произведению коэффициента трения качения на радиус качения и величину нормальной реакции поверхности качения.

Определим силы реакции поверхностей опоры N3 и N4 – из основного уравнения динамики для грузов 3 и 4, а N5 – из теоремы о движении центра масс катка 5.

Произведение массы груза на вектор его ускорения равно сумме всех приложенных к нему сил. Произведение массы катка на вектор ускорения его центра масс равно сумме всех внешних приложенных к нему сил. Так как ускорение грузов и центра масс катка направлены вдоль поверхности, то из проекции основного уравнения динамики и теоремы о движении центра масс механической системы на перпендикулярную поверхности ось получаем

К системе активных сил, действующих на объект исследования, добавим (см. рис. 6.48) главные векторы и главные моменты сил инерции движущихся тел.

Величины главных векторов сил инерций движущихся тел равны произведению масс этих тел на ускорение их центров масс:

Главные векторы сил инерции тел F3u, F4u и F5u (см. рис. 6.48) направлены в стороны, обратные векторам ускорения их центров масс (см. рис.

6.47).

Величины главных моментов сил инерций движущихся тел равны произведению моментов инерции этих тел относительно осей, проходящих через их центр масс, на угловое ускорение этих тел:

Векторы главных моментов сил инерции тел M1u, M2u и M5u (см. рис. 6.48) направлены в стороны, обратные векторам их угловых ускорений (см.

рис. 6.47).

Определим моменты инерции, входящие в выражения (6.31):

5 Решая задачу, подставим выражения (6.26)–(6.32) в уравнение (6.33), получим:

149

FsC5 R1 /r1 + M1 sC5 /r1 – M2 sC5 /R2 – m3 g sin 1 sC5 R1 /r1 –

–f1 m3 g cos 1 sC5 R1 /r1 + m4 g sin 2 sC5 r2 /R2 –

–f2 m4 g cos 2 sC5 r2 /R2 – d 5 m5 g sC5 / 5 – m1 aC5 sC5 12 /r12 –

–m2 aC5 sC5 22 /R22 – m3 aC5 sC5 R12 /r12 – m4 aC5 sC5 r22 /R22 –

Так как sС5 0, разделим выражение (6.34) на sС5. Затем введем следующие обозначения и вычислим их значения:

Ф1 = F R1 /r1 + M1 /r1 – M2 /R2 – m3 g (sin 1 + f1 cos 1) R1 /r1 + + m4 g (sin 2 – f2 cos 1) r2 /R2 – d m5 g = 311.

Ф2 = m1( 1/r1)2 + m2( 2/R2)2 + m3(R1/r1)2 + m4(r2/R2)2 + 1,5m5 = 310.

Определим натяжение нитей, соединяющих элементы механической системы между собой, выбирая объектом исследования каждое тело.

Основное уравнение динамики для груза 4 (рис. 6.49) спроецируем на оси, направленные параллельно и перпендикулярно поверхности скольжения груза:

m4 a4 = –T42 + m4 g sin 2 – F4,

0 = N4 – m4 g cos 2.

150