Сидашов А.В. Актуализированный курс теор. мех. Учеб. пособ. 2020

Кинетическая энергия механической системы равна арифметической сумме кинетических энергий тел, входящих в эту систему:

Кинетическая энергия механической системы в начале рассматриваемого перемещения равна нулю, так как все тела находились в покое:

Кинетическая энергия тел, входящих в механическую систему, в конце рассматриваемого перемещения определяется различными выражениями в зависимости от вида движения этих тел:

5 Решая задачу, подставим (6.1а–6.5д) и (6.10) в (6.9), а затем в (6.7), получим:

T= 0,5 m1 ( 1 /r1)2 v2C5 + 0,5 m2 ( 2 /R2)2 v2C5 + 0,5 m3 (R1 /r1)2 v2C5 +

+0,5 m4 (r 2 /R2)2 v2C5+ 0,5 m5 v2C5 + 0,5 m5 ( 5 / 5)2 v2C5,

Подставив (6.2), (6.3) и (6.4) в (6.5а – 6.5в), найдем:

A(m3g) = –m3 g s3 sin 1 = –m3 g sC5 (R1/r1) sin 1 = –270 sC5;

A(m4g) = m4 g s4 sin 2 = m4 g sC5 (r2/R2) sin 2 = 40 sC5;

A(F) = F s3 = F sC5 (R1/r1) = 600 sC5;

A(F3) = –F3 s3 = –f3 m3 g sC5 (R1/r1) cos 1 = –108 sC5;

A(F4) = –F4 s4 = –f4 m4 g sC5 (r2/R2) cos 2 = –15 sC5;

A(M1) = –M1 1 = –M1 sC5/r1 = 120 sC5;

A(M2) = M2 2 = M2 sC5/R2 = –40 sC5;

A(M5) = –M5 5 = –d5 m5 g sC5 = –16 sC5.

131

Определим зависимость суммы работ всех внешних сил, приложенных к механической системе, и перемещения sC5 центра масс катка:

A = (–270 + 40 + 600 – 108 – 15 – 120 + 40 – 16) sC5 = 311 sC5. (6.12)

Подставим последнее, (6.8) и (6.11) в (6.6), определим зависимость скорости центра масс катка от пройденного им расстояния:

Из (6.2) следует, что, когда поворот шкива 1 равен 1 = 5 рад, то в тот момент времени перемещение центра масс катка равно

sC5 = 1 r1 = 0,5 м.

Тогда из (6.13) определим в этот момент скорость центра масс катка:

vC5 = (311 sC5/155)0,5 = 1,002,

а из (6.1б) угловую скорость шкива 1: 1 = vC5 /r1 = 10,02 с–1.

Учитывая, что dvC5 /dt = aC5 и dsC5 /dt = vC5, и дифференцируя (6.13) по времени, получим

310vC5 aC5 = 311 vC5.

Из последнего определим ускорение центра масс катка:

aC5 = 1,003.

Определяя минимальное значение коэффициента трения скольжения между цилиндрическим катком и поверхностью, при котором качение катка происходит без проскальзывания, исследуем движение катка.

Обозначим aС5 – ускорение оси катка, 5 – угловое ускорение катка. Изобразим (рис. 6.14) внешние силы, приложенные к катку при его

движении: m5g – сила тяжести, T51 – сила реакции нити, соединяющей каток со шкивом 1, T52 – сила реакции нити, соединяющей каток со шкивом 2, N5 – нормальная реакция поверхности, F5 – сила сцепления, M5 – момент трения качения.

132

Полной механической энергией E механической системы называется сумма её кинетическойT и потенциальной П энергии:

E = T + П.

2 Потенциальной энергией механической системы называется функция координат материальных точек, входящих в механическую систему

П (x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z2 ,..., xn , yn , zn ) ,

частные производные которой по любой координате, взятые со знаком минус, равны соответствующим проекциям потенциальной силы:

Через каждую точку потенциального поля можно провести единственную изопотенциальную поверхность П(x, y, z) = const. Потенциальное силовое поле полностью заполнено изопотенциальными поверхностями.

Вектор потенциальной силы направлен по нормали к изопотенциальной поверхности в сторону убывания потенциальной энергии.

3 Проекции потенциальной силы F , с которой силовое поле действует на материальные точки, являются заданными функциями координат:

Fx = Fx(x, y, z), Fy = Fy(x, y, z), Fz = Fz(x, y, z).

Вектор потенциальной силы F, с которой силовое поле действует на материальные точки, направлен по касательной к силовой линии.

Через каждую точку поля можно провести единственную силовую линию. Силовое поле полностью заполнено силовыми линиями.

4 Работа потенциальной силы F определяется только конечным M1(x1k, y1k, z1k) и начальным M0(x0k, y0k, z0k) положениями каждой материальной точки механической системы в потенциальном поле:

= П(x0k, y0k, z0k) – П(x1k, y1k, z1k).

5 Если положить значение потенциальной энергии в начальном положении точки равным нулю П(x0, y0, z0) = 0, – то потенциальная энергия в любой точке потенциального силового поля равна работе потенциальной силы при перемещении этой точки из данного положения в нулевое:

П(x1, y1, z1) = –A0,1 = A1,0.

134

6.1.2 Тестовые задания к РГР Д3

Ответы: 6.1: f = 0,25; 6.2: v0 = 3; 6.3: s = 4; 6.4: v0 = 1; 6.5: L = 0,5.

135

Ответы: 6.6: L = 0,15; 6.7: = 5; 6.8: L = 0,12; 6.9: = 10; 6.10: = 1.

136

Ответы: 6.11: M = 2; 6.12: m =0,3; 6.13: f =0,5; 6.14: v = 2; 6.15: s = 1.

137

Ответы: 6.16: v1 = 4; 6.17: a1 = 4; 6.18: s1 = 1; 6.19: s1 = 2; 6.20: s = 1.

138

Примеры решения тестовых заданий к РГР Д3

Тестовое задание

Диск радиусом = 0,1 м, масса которого m1 = 0,3 кг распределена по его ободу, вращается вокруг неподвижного центра O. К концу невесомой нерастяжимой нити, намотанной на диск, прикреплен груз массой m2 = 0,1 кг, скользящий вниз по негладкой поверхности, наклоненной под углом (sin = 0,6) к горизонту. Начальная скорость груза равна v0 = 2 м/с. Коэффициент трения скольжения груза по негладкой поверхности равен f = 0,5. g = 10 м/с2.

Определим, чему равен момент M пары сил, приложенных к диску, если при его действии груз остановился, пройдя расстояние (рис. 6.35), равное s = 0,1 м.

Рис. 6.35. Пример для выполнения тестового задания

Решение

1 Выберем объектом исследования неизменяемую механическую систему (см. рис. 6.35), состоящую из диска и груза, соединенных невесомой нерастяжимой нитью. При движении нить не ослабевает, а груз не отрывается от поверхности.

2 Движение неизменяемой механической системы рассмотрим на перемещении, когда груз проходит расстояние s, а диск поворачивается на угол .

В начале рассматриваемого перемещения скорость груза v0 направлена параллельно поверхности вниз. Угловая скорость диска 0 направлена по часовой стрелке.

3 Изобразим (см. рис. 6.35) силу тяжести диска m1g и силу тяжести груза m2g, реакцию неподвижного цилиндрического шарнира N1 и реакцию поверхности опоры N2, силу трения скольжения F, момент M пары сил, приложенных к диску.

4 При исследовании движения механической системы на рассматриваемом перемещении используем теорему об изменении кинетической энергии

139

Кинетическая энергия механической системы равна арифметической сумме кинетических энергий тел, входящих в эту систему:

Кинетическая энергия механической системы в конце рассматриваемого перемещения равна нулю, так как все тела останавливаются в покое:

Формула кинетической энергии тел зависит от вида их движения:

Работа некоторых внешних сил на рассматриваемом перемещении по различным причинам равна нулю.

A(N1) = A(m1g) = 0, так как точки приложения этих сил не перемеща-

ются.

A(N2) = 0: сила перпендикулярна перемещению точки приложения. Работа остальных сил определяется известными формулами:

Определим силу трения скольжения из законов Амонтона – Кулона:

Определим силу реакции поверхности опоры N2 из основного уравнения динамики для груза:

Подставив (6.23), (6.24) и (6.25) в (6.19), найдем

Ake = [m2 g (sin – f cos ) – M / ]s.

Подставив последнее и (6.22) в (6.15), найдем

140