Сидашов А.В. Актуализированный курс теор. мех. Учеб. пособ. 2020

Подставляя выражения (5.31) в (5.30) – общее уравнение динамики в обобщенных силах, получим уравнения Лагранжа

Число уравнений Лагранжа (5.32) равно S – числу обобщенных координат, а следовательно, числу степеней свободы механической системы.

Уравнения Лагранжа являются наиболее эффективным методом решения обратных задач при исследовании движения сложных механических систем с геометрическими связями или голономными связями, т.е. сводящимися к геометрическим связям.

Данные уравнения представляют собой дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат (5.21). Если заданы действующие силы и начальные условия движения, то, интегрируя уравнения (5.32), можно найти уравнения движения механической системы в форме системы уравнений (5.24), описывающих изменение обобщенных координат этой системы во времени.

5.6 Порядок решения задач динамики

Применение общих теорем динамики, принципов механики и уравнений Лагранжа 2-го рода делает возможным решение многих практических задач и проводится по следующей методике.

Порядок решения задач динамики

1 Выбор объекта исследования и установление степени его свободы. Выбор способа (метода) решения поставленной задачи.

2 Введение инерциальной системы отсчета и изображение кинематических характеристик элементов объекта исследования в зависимости от выбранного метода решения задачи: от линейных и угловых перемещений, скоростей и ускорений до возможных или обобщенных соответствующих характеристик.

3 Изображение характеристик механического воздействия на элементы объекта исследования в зависимости от выбранного метода решения задачи: всех сил, всех внешних сил, только активных, сил инерции или обобщенных.

4 Составление для выбранного объекта исследования в зависимости от используемого метода решения задачи: а) основного уравнения динамики; б) дифференциальных уравнений движения; в) уравнений одной из общих теорем динамики; г) уравнений одного из принципов механики; д) уравнений Лагранжа 2-го рода.

5 Решение поставленной задачи предполагает умение определять характеристики механического воздействия на объект исследования, а также кинематические характеристики элементов этого объекта и связи между ними.

121

6РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИЕ РАБОТЫ ПО ДИНАМИКЕ

Кусловию расчетно-графических работ Д3 и Д5 прилагаются рис. 6.1–

6.10и 6.36–6.45, а также табл. 6.1 и 6.5, содержащие 10 строк дополнительных данных к условию задачи. Нумерация вариантов от 1 до 0 проставлена на рис. 6.1–6.10 и 6.36–6.45, и в первом столбце табл. 6.1 и 6.5 дополнительных данных. Варианту 0 соответствует строка 10.

Студент выбирает номер варианта рисунка по предпоследней цифре шифра, а номер дополнительных данных в табл. 6.1 и 6.5 – по последней цифре.

Работы, не отвечающие перечисленным требованиям, проверяться не будут, а будут возвращаться для переделки.

6.1 Условие РГР Д3. Применение теоремы об изменении кинетической энергии при исследовании движения механической системы

Механическая система состоит из ступенчатых шкивов 1 и 2, грузов 3 и 4 и однородного катка 5. Точка C5 – центр масс катка 5 совпадает с его центром. Оси ступенчатых шкивов O1 и O2 закреплены неподвижными цилиндрическими шарнирами. Радиусы инерции ступенчатых шкивов равны1 = 0,2 м, 2 = 0,15 м. Радиусы ступеней шкивов R1 = 0,3 м, r1 = 0,1 м и R2 =

0,2 м, r2 = 0,1 м.

Оба груза перемещаются по участкам поверхности, наклоненным под углами 1 (sin 1 = 0,6) и 2 (sin 2 = 0,8) к горизонту (рис. 6.1–6.10). Коэффициент трения скольжения по участку движения груза 3 равен f3 = 0,3, по участку движения груза 4 равен f4 = 0,5. Каток катится без проскальзывания. Коэффициент трения качения катка 5 по горизонтальному участку равен d = 0,08. Тела системы соединены невесомыми нерастяжимыми нитями, намотанными на ступени шкивов так, как показано на рис. 6.1–6.10. Участки нитей параллельны соответствующим плоскостям.

Под действием постоянной силы F система приходит в движение из состояния покоя. При движении системы на шкивы 1 и 2 действуют пары сил с постоянными моментами, соответственно равными M1 и M2.

Значения масс всех тел системы m1, m2, m3, m4, m5, а также значения моментов M1, M2 и силы F заданы в табл. 6.1.

В последнем столбце табл. 6.1 также задано либо перемещение s3 или s4 одного из грузов 3 или 4, либо поворот 1 или 2 шкивов 1 или 2.

Определить в тот момент времени, когда совершено заданное (линейное или угловое) перемещение:

1)значение скорости (линейной или угловой) тела, перемещение которого задано в табл. 6.1;

2)ускорение aC5 центра масс катка, катящегося без проскальзывания;

122

4 Кинетическая энергия вращающегося тела равна полупроизведе-

нию момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости вращения

Tвращ = 0,5 Jz 2.

5 Момент инерции вращающегося тела равен произведению массы тела на квадрат радиуса инерции относительно оси вращения

Jz = m 2.

6 Кинетическая энергия тела, движущегося плоскопараллельно (катя-

щегося), равна сумме полупроизведения массы тела на квадрат скорости его центра масс и полупроизведения момента инерции тела относительно центральной оси вращения на квадрат угловой скорости тела

Tплоск = 0,5 M vC2 + 0,5 JzC 2.

7 Работа силы тяжести тела равна произведению силы тяжести на изменение вертикальной координаты центра масс этого тела

A(M g) = Mg(zC0.– zC1) = M g hC.

8 Работа постоянной силы на прямолинейном перемещении её точки приложения равна произведению модуля силы на перемещение её точки приложения и на косинус угла между вектором силы и направлением перемещения её точки приложения

A(F) = F s cos .

9 Работа пары сил с постоянным моментом равна произведению момента пары сил на угол поворота тела, к которому приложена пара сил

A(M) = M .

Если пара сил способствует вращению, то её работа положительна, если препятствует – отрицательна.

10 При качении по прямолинейной поверхности на твердое колесо действует момент трения качения M, величина которого равна произведению коэффициента трения качения d, радиуса качения колеса и величины контактного давления N между колесом и поверхностью

M = d N.

При качении без проскальзывания сила сцепления между колесом и поверхностью не может превышать предельного значения, равного силе трения скольжения.

Fсц Fтр.

125

11 Величина силы трения скольжения равна произведению коэффициента трения скольжения f на величину контактного давления N между колесом и поверхностью

Fтр = f N.

12 Если известно значение какой-либо тригонометрической функции угла, то можно определить не только значения остальных его тригонометрических функций, но и значение самого угла как в градусах, так и в радианах.

Например, если sin = 0,6, то cos = (1 – sin2 )0,5 = 0,8. Тогда tg = sin /cos = 0,75 и ctg = cos /sin = 4/3.

Этот угол нетрудно определить и в радианах и в градусах.

= arccos0,8 = 0,6435 рад или = 36 52/, так как 2 радиан = 360 .

6.1.1 Пример решения и оформления РГР Д3

Механическая система (рис. 6.11) состоит из ступенчатых шкивов 1 и 2, грузов 3 и 4 и однородного катка 5. Радиусы инерции ступенчатых шкивов равны 1 = 0,2 м, 2 = 0,15 м. Радиусы ступеней шкивов равны R1 = 0,3 м,

r1 = 0,1 м и R2 = 0,2 м, r2 = 0,1 м.

Оба груза перемещаются по участкам поверхности, наклоненным под углами 1 (sin 1 = 0,6) и 2 (sin 2 = 0,8) к горизонту. Коэффициент трения скольжения по участку движения груза 3 f3 = 0,3, по участку движения груза 4 f4 = 0,5. Каток катится без проскальзывания. Коэффициент трения качения по горизонтальному участку движения катка 5 d = 0,08.

Под действием силы F система приходит в движение из состояния покоя. При движении системы на шкивы 1 и 2 действуют пары сил с постоянными моментами, равными M1 и M2.

Рис. 6.11. Вариант примера РГР Д3

Определить в тот момент времени, когда поворот шкива 1 1 = 5 рад:

1)значение 1 угловой скорости шкива 1;

2)ускорение aC5 центра масс катка, катящегося без проскальзывания;

126

3) минимальный коэффициент трения скольжения f5 между катком и поверхностью, при котором каток катится без проскальзывания.

Решение

1 Выберем объектом исследования механическую систему, состоящую из ступенчатых шкивов 1 и 2, грузов 3 и 4 и однородного цилиндрического катка 5, соединенных между собой невесомыми нерастяжимыми нитями (см. рис. 6.11). При движении нити не ослабевают, а тела не отрываются от поверхностей, т.е. механическая система неизменяема.

2 Движение неизменяемой механической системы рассмотрим на том её перемещении, когда поворот шкива 1 1 = 5 рад. Будем обозначать s3, s4 и sС5 расстояния, которые проходят грузы 3, 4 и центр масс катка 5. Обозначим 1, 2 и 5 углы, на которые поворачиваются шкивы 1, 2 и каток при рассматриваемом перемещении неизменяемой механической системы.

Изобразим (рис. 6.12) скоростные кинематические характеристики всех тел механической системы в конце рассматриваемого перемещения. Скорости грузов v3, v4 и центра масс однородного катка vC5 направлены параллельно поверхностям, вдоль которых движутся эти тела. Угловые скорости шкивов 1, 2 и катка 5 направлены по часовой стрелке.

v3

Рис. 6.12. Кинематические характеристики механической системы

127

Выразим все скорости (см. рис. 6.12) через скорость центра масс катка vC5.

Каток 5 катится по поверхности без проскальзывания, т.е. движется плоскопараллельно. Точка контакта K – МЦС катка. Угловая скорость при плоскопараллельном движении равна отношению скорости любой точки тела к расстоянию от этой точки до МЦС. Расстояние от точки C до МЦС: CK = 5. 5 – радиус колеса. Поэтому угловая скорость катка 5 равна отношению скорости vC5 центра катка к его радиусу качения 5.

Скорость точки, лежащей на малом радиусе вращающего шкива 1, равна произведению угловой скорости шкива 1 на расстояние (r1) от этой точки до оси вращения O1. Так как скорость точки, лежащей на малом радиусе шкива 1, равна скорости vC5 центра катка, то угловая скорость шкива 11 равна отношению скорости vC5 центра катка к малому радиусу r1 шкива 1.

Скорость v3 груза 3 равна скорости точки, лежащей на большом радиусе вращающего шкива 1, которая равна произведению угловой скорости шкива 1 1 на расстояние (R1) от этой точки до оси вращения O1.

Скорость точки, лежащей на большом радиусе вращающего шкива 2, равна произведению его угловой скорости 2 на расстояние (R2) от этой точки до оси вращения O2. Так как скорость точки, лежащей на большом радиусе шкива 2, равна скорости vC5 центра катка, то угловая скорость шкива 2 2 равна отношению скорости vC5 центра катка к большому радиусу R2 шкива 2.

Скорость v4 груза 4 равна скорости точки, лежащей на малом радиусе вращающего шкива 2, которая равна произведению угловой скорости шкива 2 2 на расстояние (r2) от этой точки до оси вращения O2.

Выразим все перемещения через перемещение центра масс катка sC5. Перемещения и углы поворотов движущихся тел пропорциональны соответствующим элементарным перемещениям и углам поворотов, которые, в свою очередь, пропорциональны соответствующим линейным и угловым скоростями. Поэтому отношения между перемещениями и углами

128

поворотов движущихся тел будут такими же, как и отношения между соответствующими линейными и угловыми скоростями (6.1а – 6.1д):

5 = sC5 / 5, 1 = sC5 /r1, s3 = sC5 R1 /r1, 2 = sC5 /R2, s4 = sC5 r2 /R2. (6.2)

3 Изобразим (рис. 6.13) все внешние силы, приложенные к объекту исследования: вес шкивов m1g, m2g, вес грузов m3g, m4g и вес однородного катка m5g, реакции неподвижных цилиндрических шарниров N1 и N2, реакции поверхностей опоры N3, N4 и N5, силы трения скольжения F3 и F4, силу сцепления F5, момент трения качения M5, заданную силу F, моменты M1 и M2.

Рис. 6.13. Силы, приложенные к механической системе

Определим силы трения скольжения и момент трения качения из законов Амонтона – Кулона:

Сила трения скольжения равна произведению коэффициента трения скольжения на величину нормальной реакции поверхности скольжения.

Момент трения качения равен произведению коэффициента трения качения на радиус качения и величину нормальной реакции поверхности качения.

Определим силы реакции поверхностей опоры N3 и N4 – из основного уравнения динамики для грузов 3 и 4, а N5 – из теоремы о движении центра масс катка 5.

Произведение массы груза на вектор его ускорения равно сумме всех приложенных к нему сил. Произведение массы катка на вектор ускорения его центра масс равно сумме всех внешних приложенных к нему сил. Так как ускорение грузов и центра масс катка направлены вдоль поверхности,

129

то из проекции основного уравнения динамики и теоремы о движении центра масс механической системы на перпендикулярную поверхности ось получаем

Приведем формулы определения работ, изображенных (см. рис. 6.13) сил на рассматриваемом перемещении.

Работа некоторых внешних сил на рассматриваемом перемещении по различным причинам равна нулю.

1A(N1) =A(N2) =A(m1g) =A(m2g) = 0, так как точки приложения этих сил не перемещаются.

2A(N3) =A(N4) =A(m5g) =0, так как векторы этих сил перпендикулярны перемещениям их точек приложения.

3A(N5) =A(F5) = 0, так как точка приложения этих сил совпадает с мгновенным центром скоростей катка.

Работа остальных сил определяется по известным формулам:

A(M g) = Mg(zC0.– zC1) = M g hC, A(F) = F s cos , A(M) = M . (6.5)

Работа силы тяжести равна произведению силы тяжести на изменение вертикальной координаты точки приложения силы тяжести (с плюсом при перемещении вниз и с минусом при перемещении вверх):

Работа постоянной силы на прямолинейном перемещении равна произведению величины силы на перемещение её точки приложения и на косинус угла между направлением перемещения её точки приложения и вектором силы:

Работа момента пары сил равна произведению величины момента пары на угол поворота тела, к которому приложена пара сил (с плюсом при повороте, совпадающим с направлением момента пары, и с минусом при повороте в противоположном направлении):

4 При исследовании движения неизменяемой механической системы на рассматриваемом перемещении воспользуемся теоремой об изменении её кинетической энергии

Изменение кинетической энергии неизменяемой механической системы на некотором её перемещении равно сумме работ всех внешних сил, приложенных к этой механической системе, вычисленной на этом перемещении.

130